圆锥曲线——仿射变换

韧天行健，君子以自强不息；地势坤，君子以厚德载物。1仿射变换一、将坐标进行伸缩变换，实现化椭为圆仿射变换定理一：若经过椭圆的对称中心的直线构成的直径三角形，则两条弦的斜率乘积22abkkBCAC.仿射变换定理二：baSS'（拉伸短轴）；abSS''（压缩长轴）.拉伸短轴后点的坐标变化：),(),(00'00ybaxAyxA，横坐标不变，纵坐标拉伸ba倍.斜率的变化：如图纵坐标拉伸了ba倍，故kbak'，由于1''''CBCAkk.22''''abkabkabkkCBCABCAC，'''CBAABCSabS（水平宽不变，铅垂高缩小）.压缩长轴后点的坐标变化：),(),(00'00yxabAyxA，纵坐标不变，横坐标缩小ab倍.斜率的变化：如图横坐标缩小了ab倍，故kbak'，由于1''''CBCAkk.22''''abkabkabkkCBCABCAC，'''CBAABCSbaS（水平宽扩大，铅垂高不变）.例1（2013·新课标）椭圆134:22yxC的左、右顶点分别为21AA、，点P在C上且直线2PA斜率的取值范围是1,2，那么直线1PA斜率的取值范围是（）A.43,21；B.43,83；C.1,21；D.1,43.例2（2016·北京）已知椭圆1:2222byaxC过点)1,0(),0,2(BA两点.（1）求椭圆C的方程及离心率；韧天行健，君子以自强不息；地势坤，君子以厚德载物。2（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.例3（2014·新课标Ⅰ）已知点)2,0(A，椭圆)0(1:2222babyaxE离心率为23，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为332，O为坐标原点.（1）求E的方程；（2）设过点A的直线l与E相交于QP、两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程.二、椭圆的角平分线定理仿射变换定理三：若点BA,是椭圆)0(12222babyax上的点，AB与椭圆长轴交点为N，在长轴上一定存在一个点M，当且仅当2axxNM时，BMNAMN，即长轴为角平分线.若点BA,是椭圆)0(12222babyax上的点，AB与椭圆短轴交点为N，在短轴上一定存在一个点M，当且仅当2byyNM时，BMNAMN，即短轴为角平分线.韧天行健，君子以自强不息；地势坤，君子以厚德载物。3例4（2018·全国卷Ⅰ）设椭圆12:22yxC的右焦点为F，过F的直线l与C交于BA,两点，点M的坐标为)0,2(.（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：OMBOMA.三、放射变换后圆心角为直角问题仿射变换定理四：若以椭圆12222byax的对称中心引出两条直线交椭圆于BA,两点，且22abkkOBOA，则经过仿射变换后1''OBOAkk，所以AOBS为定值.仿射变换定理五：若椭圆12222byax上三点MBA,,，满足①22abkkOBOA；②2abSAOB；③))2,0((,cossinOBOAOM，三者等价.例5（2011·山东）已知直线l与椭圆123:22yxC交于),(),,(2211yxQyxP两不同点，且OPQ的面积26OPQS，其中O为坐标原点.（1）证明2221xx和2221yy均为定值；（2）设线段PQ的中点为M，求PQOM的最大值；（3）椭圆C上是否存在点GED,,，使得26OEGODGODESSS？若存在，判断DEG的形状；若不存在，请说明理由.例6（2016·浙江二模）已知椭圆)0(1:2222babyaxC经过点)54,56(，其离心率为23，设MBA,,韧天行健，君子以自强不息；地势坤，君子以厚德载物。4是椭圆C上的三点，且满足))2,0((,sincosOBOAOM，其中O为坐标原点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）证明：OAB的面积是一个常数.四、中点弦与中垂线问题（无需点差法也可证明）仿射变换定理六：中点弦问题，22abkkABOP；中垂线问题，22abkkMPOP，且202202,bycyaxcxNM.拓展1：椭圆内接ABC中，若原点O为重心，则仿射后一定得到''COB为120的等腰三角形；'''CBA为等边三角形.拓展2：椭圆内接的平行四边形OAPB，BPA,,在椭圆上，则仿射后一定得到菱形'''BPOA.例7（2015·新课标Ⅱ）已知椭圆)0(9:222mmyxC，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点BA,，线段AB的中点为M.（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点),3(mm，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，请说明理由.例8（2015·浙江）已知椭圆1222yx上两个不同的点BA,关于直线21mxy对称.（1）求实数m的取值范围；（2）求AOB面积的最大值（O为坐标原点）.五、利用仿射变换解决椭圆与圆结合的面积问题若椭圆内含有圆与直线相切，如图直线AB与圆相切于P，交椭圆12222byax于点BA,，求OABS的最大值.韧天行健，君子以自强不息；地势坤，君子以厚德载物。5首先进行仿射变换：22222221ryxbyax，令222'22'22'2'''raybxayxybayxx，拉伸后可知，''OBAAOBSabS，故当''2sin21''OBAaSOBA最大时，90''OBA，关键在于看''OBA的取值范围；根据几何性质，''BA平行于x轴时，''OBA最小，''BA平行于y轴时，''OBA最大.例9（2018·武汉模拟）已知椭圆)0(1:2222babyaxC的右焦点为)0,2(，离心率为36.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C相交于BA,两点，且以AB为直径的圆经过原点O，求证：点O到直线AB的距离为定值；（3）在（2）的条件下，求OAB面积的最大值.例10（2018·江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点)21,3(，焦点)0,3(),0,3(21FF，圆的直径为21FF.（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.韧天行健，君子以自强不息；地势坤，君子以厚德载物。6①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于BA,两点，若OAB的面积为762，求直线l的方程.六、定比分点和弦长公式仿射变换定理七：定比分点的比值不变性原理，CBACCBACyyyyxxxxBCCABCCACBAC''''''''''''.仿射变换定理八：弦长公式的转化，纵向拉伸并不改变横向的性质，设),(),,(2211yxByxA，则2122212''212)(111xxkbaxxkBAxxkAB，即222'')(11kbakBAAB.例11（2011·重庆）如图，椭圆O的中心为原点，离心率22e，一条准线的方程是22x.（1）求椭圆的标准方程；（2）设动点P满足ONOMOP2，其中NM、是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为21，问：是否存在定点，使得PF与点P到直线102:xl的距离之比为定值；若存在，求点F的坐标，若不存在，说明理由.例12（2016·四川）已知椭圆)0(1:2222babyaxE的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线3:xyl与椭圆有且只有一个公共点T.（1）求椭圆E的方程及点T的坐标；（2）设O是坐标原点，直线'l平行于OT，与椭圆E交于不同的两点BA、，且与直线l交于点P.求证：存在常数，使得PBPAPT2，并求的值.韧天行健，君子以自强不息；地势坤，君子以厚德载物。7例13（2016·重庆模拟）椭圆)0(1:2222babyaxC，作直线l交椭圆于QP,两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，设直线l的斜率为1k，直线OM的斜率为2k，3221kk.（1）求椭圆C的离心率；（2）设直线l与x轴交于点)0,5(D，且满足DQDP2，当OPQ的面积最大时，求椭圆C的方程.达标训练1（2018·三明期末）设椭圆)0(1:2222babyaxM的离心率为22，且内切于圆422yx.（1）求椭圆M的方程；（2）若直线mxy2交椭圆于两点，椭圆上一点)2,1(P，求PAB面积的最大值.2（2018·龙海期末）已知点)2,0(A，椭圆)0(1:2222babyaxE的离心率为23，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为332，O是坐标原点.（1）求E的方程；（2）设过点A的直线l与E相交于QP,两点，当OPQ的面积最大时，求直线l的方程.3.如图，已知CBA、、是长轴为4的椭圆上的三点，点A是长轴的右顶点，BC过椭圆中心O，且韧天行健，君子以自强不息；地势坤，君子以厚德载物。80BCAC，ACBC2.（1）求椭圆的标准方程；（2）若过C关于y轴对称的点D作椭圆的切线DE，则AB与DE有什么位置关系？证明你的结论.4（2016·佛山二模）已知点M是圆4:22yxC上一动点，点D是M在x轴上的投影，P为线段MD上一点，且与点Q关于原点O对称，满足ODOMQP.（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）过点P做E的切线l与圆C相交于BA,两点，当QAB面积取最大值时，求l的方程.5（2018·株洲期末）椭圆141622yx上的两点BA、关于直线0322yx对称，则弦AB的中点坐标为（）A.)21,1(；B.)1,21(；C.)2,21(；D.)21,2(.6（2016·兰州模拟）已知椭圆C的焦点坐标是)0,1()0,1(21FF、，过点2F垂直于长轴的直线l交椭圆C于DB、两点，且3BD.（1）求椭圆C的方程；（2）过定点)2,0(P且斜率为k的直线l与椭圆C相交于不同两点NM、，试判断：在x轴上是否存在点)0,(mA，使得以ANAM,为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由.韧天行健，君子以自强不息；地势坤，君子以厚德载物。97（2018·抚顺模拟）已知离心率为21的椭圆)0(1:2222babyaxC，右焦点在椭圆上的点的距离的最大值为3.（1）求椭圆C的方程；（2）设点BA,是椭圆C上的两个动点，直线OBOA,与椭圆的另一个交点分别为11,BA，且直线OBOA,的斜率之积等于43，问四边形11BABA的面积S是否为定值？请说明理由.8（2017·淮北一模）已知椭圆1416:221yxC，直线)0(:1mmkxyl与圆1)1(:222yxC相切且与椭圆1C交于BA,两点.（1）若线段AB中点的横坐标为34，求m的值；（2）过原点O作1l的平行线2l交椭圆于DC,两点，设CDAB，求的最小值.9（2012·山东）如图，椭圆)0(1:2222babyaxM的离心率为23，直线ax和by所围成的矩形ABCD的面积为8.（1）求椭圆M的标准方程；（2）设直线)(:Rmmxyl与椭圆M有两个不同的交点QP,，l与矩形ABCD有两个不同的交点TS,，求STPQ的最大值及取得最大值时m的值.韧天行健，君子以自强不息；地势坤，君子以厚德载物。1010（2019·成都模拟）已知椭圆)0(1:2222babyaxC的离心率为23，且以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线02yx相切.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若一条不过原点的直线l与椭圆相交于BA