平面向量的综合应用

专题研究平面向量的综合应用专题讲解题型一向量与平面几何(1)(2016·江苏)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，BA→·CA→＝4，BF→·CF→＝－1，则BE→·CE→的值是________．【解析】(坐标法)以D为坐标原点，BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设B(－a，0)，C(a，0)，A(b，c)，则E(23b，23c)，F(13b，13c)，BA→＝(b＋a，c)，CA→＝(b－a，c)，BF→＝(b3＋a，c3)，CF→＝(b3－a，c3)，BE→＝(23b＋a，23c)，CE→＝(23b－a，23c)，由BA→·CA→＝b2－a2＋c2＝4，BF→·CF→＝b29－a2＋c29＝－1，解得b2＋c2＝458，a2＝138，则BE→·CE→＝49(b2＋c2)－a2＝78.快速解法(基向量法)设BD→＝a，DF→＝b，则BA→·CA→＝(a＋3b)·(－a＋3b)＝9|b|2－|a|2＝4，BF→·CF→＝(a＋b)·(－a＋b)＝|b|2－|a|2＝－1，解得|a|2＝138，|b|2＝58，则BE→·CE→＝(a＋2b)·(－a＋2b)＝4|b|2－|a|2＝78.【答案】78(2)已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB边上任意一点，则CP→·(BA→－BC→)的最大值为________．【解析】方法一：(坐标法)以C为原点，建立平面直角坐标系如图所示，设P点坐标为(x，y)且0≤y≤3，0≤x≤4，则CP→·(BA→－BC→)＝CP→·CA→＝(x，y)·(0，3)＝3y，当y＝3时，取得最大值9.方法二：(基向量法)∵CP→＝CA→＋AP→，BA→－BC→＝CA→，∴CP→·(BA→－BC→)＝(CA→＋AP→)·CA→＝CA→2＋AP→·CA→＝9－AP→·AC→＝9－|AP→||AC→|cos∠BAC＝9－3|AP→|cos∠BAC.∵cos∠BAC为正且为定值，∴当|AP→|最小即|AP→|＝0时，CP→·(BA→－BC→)取得最大值9.【答案】9★状元笔记平面几何问题的向量解法(1)坐标法．把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法．适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解．思考题1(1)(2017·天津大联考)如图所示，平行四边形ABCD中，AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°，E为DC的中点，那么AC→与EB→所成角的余弦值为()A.77B．－77C.714D．－714【解析】AC→＝AB→＋AD→，|AC→|2＝|AB→＋AD→|2＝7；EB→＝AB→－AE→＝12AB→－AD→，|EB→|2＝|12AB→－AD→|2＝1.故AC→·EB→＝(AB→＋AD→)·(12AB→－AD→)＝12，cos〈AC→，EB→〉＝AC→·EB→|AC→||EB→|＝714.故选C.【答案】C(2)(2017·山东质检)在△ABC中，已知向量AB→＝(cos18°，cos72°)，BC→＝(2cos63°，2cos27°)，则△ABC的面积等于()A.22B.24C.33D.2【解析】由已知得，|AB→|＝cos218°＋cos272°＝1，|BC→|＝4cos263°＋4cos227°＝2，AB→·BC→＝2cos18°cos63°＋2cos72°cos27°＝2cos18°cos63°＋2sin18°sin63°＝2cos45°＝2，故cos(π－B)＝AB→·BC→|BC→||AB→|＝22，所以cosB＝－22，故sinB＝22，所以△ABC的面积等于12×2×1×22＝22.【答案】A题型二平面向量与三角函数(2015·广东，理)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝(22，－22)，n＝(sinx，cosx)，x∈(0，π2)．(1)若m⊥n，求tanx的值；(2)若m与n的夹角为π3，求x的值．【解析】(1)∵m⊥n，∴m·n＝0.故22sinx－22cosx＝0，∴tanx＝1.(2)∵m与n的夹角为π3，∴cos〈m，n〉＝m·n|m|·|n|＝22sinx－22cosx1×1＝12，故sin(x－π4)＝12.又x∈(0，π2)，∴x－π4∈(－π4，π4)，x－π4＝π6，即x＝5π12，故x的值为5π12.【答案】(1)1(2)5π12★状元笔记向量与三角函数综合题的解法解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键：准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数的问题解决．思考题2(2013·江苏)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0βαπ.(1)若|a－b|＝2，求证：a⊥b；(2)设c＝(0，1)，若a＋b＝c，求α，β的值．【解析】(1)由题意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以1－2a·b＋1＝2.所以a·b＝0.故a⊥b.(2)因为a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)＝(0，1)，所以cosα＋cosβ＝0，sinα＋sinβ＝1，由此得cosα＝cos(π－β)，由0βπ，得0π－βπ.又0απ，所以α＝π－β.代入sinα＋sinβ＝1，得sinα＝sinβ＝12，又αβ，所以α＝5π6，β＝π6.【答案】(1)略(2)α＝5π6，β＝π6题型三向量与解三角形在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量m＝(2sinB，2－cos2B)，n＝(2sin2(π4＋B2)，－1)，m⊥n.(1)求角B的大小；(2)若a＝3，b＝1，求c的值．【解析】(1)∵m⊥n，∴m·n＝0，∴(2sinB)·[2sin2(π4＋B2)]＋(2－cos2B)·(－1)＝0.∴2sinB·[1－cos(π2＋B)]＋cos2B－2＝0.∴2sinB＋2sin2B＋(1－2sin2B)－2＝0.∴sinB＝12.∵0Bπ，∴B＝π6或B＝5π6.(2)∵a＝3b，∴B＝π6.方法一：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB.∴c2－3c＋2＝0，∴c＝1或c＝2.方法二：由正弦定理，得bsinB＝asinA.即112＝3sinA，∴sinA＝32.∵0Aπ，∴A＝π3或A＝2π3.若A＝π3，∵B＝π6，∴C＝π2，∴c＝2.若A＝2π3，则C＝π－2π3－π6＝π6，∴c＝b＝1.综上所述，c＝1或c＝2.【答案】(1)π6或5π6(2)c＝1或c＝2★状元笔记本例的第(1)小题，利用向量垂直的充要条件将问题转化为三角方程，使问题获得解决．第(2)小题的方法一、方法二突出了余弦定理和正弦定理的应用．本例不仅考查了解三角形的技巧和方法，还注重了分类讨论思想的考查．思考题3在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，C＝2A，cosA＝34.(1)求cosC，cosB的值；(2)若BA→·BC→＝272，求边AC的长．【解析】(1)cosC＝cos2A＝2cos2A－1＝2×(34)2－1＝18，∴sinC＝378，sinA＝74.∴cosB＝－cos(A＋C)＝sinAsinC－cosAcosC＝74×378－34×18＝916.(2)∵BA→·BC→＝272，∴accosB＝272，即ac＝24.①又asinA＝csinC，C＝2A，∴c＝2acosA＝32a.②由①②解得a＝4，c＝6.∴b2＝a2＋c2－2accosB＝16＋36－2×4×6×916＝25.∴b＝5，即边AC的长为5.【答案】(1)cosC＝18cosB＝916(2)5题型四向量与不等式(2017·衡水中学调研卷)已知O是坐标原点，点A(－1，2)，若点M(x，y)为平面区域x＋y≥2，x≤1，y≤2，上的一个动点，则OA→·OM→的取值范围是()A．[－1，0]B．[0，1]C．[1，3]D．[1，4]【解析】作出点M(x，y)满足的平面区域，如图所示阴影部分所示，设z＝OA→·OM→，因为A(－1，2)，M(x，y)，所以z＝OA→·OM→＝－x＋2y，即y＝12x＋12z.平移直线y＝12x，由图像可知，当直线y＝12x＋12z经过点C时，截距最大，此时z最大，最大值为4，当直线y＝12x＋12z经过点B时，截距最小，此时z最小，最小值为1，故1≤z≤4，即1≤OA→·OM→≤4.【答案】D★状元笔记利用向量的载体作用，可以将向量与线性规划数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明朗化．思考题4设e1，e2是平面内两个不共线的向量，AB→＝(a－1)e1＋e2，AC→＝be1－2e2(a0，b0)，若A，B，C三点共线，则1a＋2b的最小值是()A．2B．4C．6D．8【思路】由A，B，C三点共线，得a，b的关系式，再利用基本不等式，即可求出1a＋2b的最小值．【解析】因为A，B，C三点共线，所以(a－1)×(－2)＝1×b，所以2a＋b＝2.因为a0，b0，所以1a＋2b＝2a＋b2·(1a＋2b)＝2＋2ab＋b2a≥2＋22ab·b2a＝4(当且仅当2ab＝b2a，即a＝12，b＝1时取等号)．【答案】B题型五向量与解析几何(2017·江西省宜春中学与新余一中联考)已知F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左，右焦点，若在双曲线的右支上存在一点M，使得(OM→＋OF2→)·F2M→＝0(其中O为坐标原点)，且|MF1→|＝3|MF2→|，则双曲线的离心率为()A.5－1B.3＋12C.5＋12D.3＋1【解析】∵F2M→＝OM→－OF2→，∴(OM→＋OF2→)·F2M→＝(OM→＋OF2→)·(OM→－OF2→)＝0，即|OM→|2－|OF2→|2＝0，∴|OF2→|＝|OM→|＝c.在△MF1F2中，边F1F2上的中线等于|F1F2|的一半，可得MF1→⊥MF2→.∵|MF1→|＝3|MF2→|，∴可设|MF1→|＝3λ，|MF2→|＝λ(λ0)，得(3λ)2＋λ2＝4c2，解得λ＝c，∴|MF1→|＝3c，|MF2→|＝c，∴根据双曲线定义得2a＝|MF1→|－|MF2→|＝(3－1)c，∴双曲线的离心率e＝2c2a＝3＋1.【答案】D★状元笔记向量在解析几何中的作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题关键是利用向量的意义、运算，脱去“向量外衣”；(2)工具作用：利用a⊥b⇔a·b＝0；a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题．思考题5(2017·重庆巴蜀中学月考)已知F1，F2分别为椭圆C：x29＋y28＝1的左、右焦点，点E是椭圆C上的动点，则EF1→·EF2→的最大值、最小值分别为()A．9，7B．8，7C．9，8D．17，8【解析】由题意可知椭圆的左、右焦点坐标分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，设E(x，y)(－3≤x≤3)，则EF1→＝(－1－x，－y)，EF2→＝(1－x，－y)，所以EF1→·EF2→＝x2－1＋y2＝x2－1＋8－89x2＝x29＋7，所以当x＝0时，EF1→·EF2→有最小值7，当x＝±3时，EF1→·EF2→有最大值8，故选B.【答案】B课外阅读三角形的“心”的向量表示及应用三角形各心的概念介绍重心：三角形的三条中线的交点；垂心：三角形的三条高线的交点；内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)；外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)．根据概念，可知各心的特征条件．比如：重心将中线长度分成2∶1；垂线与对应边垂直；角平分线上的任意点到角两边的距离相等；外心到三角形各顶点的距离相等．三角形各心的向量表示(1)O是△ABC的重心⇔OA→＋OB→＋OC→＝0；(2)O是△ABC的垂心⇔OA→·OB→＝OB→·OC