数列数列的概念

第六章数列知识要点探究一：观察法求数列通项探究二：由nS求na[例3]根据下列条件，确定数列{an}的通项公式．(1)a1＝1，an＋1＝3an＋2；(2)a1＝1，an＝n－1nan－1(n≥2)；(3)已知数列{an}满足an＋1＝an＋3n＋2，且a1＝2，求an.探究三由数列的递推公式求通项解析：(1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴an＋1＋1an＋1＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1.(2)∵an＝n－1nan－1(n≥2)，∴an－1＝n－2n－1an－2，…，a2＝12a1.以上(n－1)个式子相乘得an＝a1·12·23·…·n－1n＝a1n＝1n.(3)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n3n＋12(n≥2)．当n＝1时，a1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式，∴an＝32n2＋n2.点评：已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解.当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；当出现anan－1＝f(n)时，用累乘法求解．变式训练3根据下列条件，求数列的通项公式an.(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n；(2)在数列{an}中，an＋1＝n＋2nan，a1＝4；(3)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝2an＋1；(4)在数列{an}中，an＋1＝3a2n，a1＝3.解析：(1)由an＋1－an＝2n，把n＝1,2,3，…，n－1(n≥2)代入，得(n－1)个式子．累加即可得(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋22＋23＋…＋2n－1，所以an－a1＝21－2n－11－2，即an－a1＝2n－2，所以an＝2n－2＋a1＝2n－1.当n＝1时，a1＝1也符合，所以an＝2n－1(n∈N*)．(2)由递推关系an＋1＝n＋2nan，a1＝4，有an＋1an＝n＋2n.于是有a2a1＝3，a3a2＝42，a4a3＝53，…，an－1an－2＝nn－2，anan－1＝n＋1n－1，将这(n－1)个式子累乘，得ana1＝nn＋12.所以当n≥2时，an＝nn＋12a1＝2n(n＋1)．当n＝1时，a1＝4符合上式，所以an＝2n(n＋1)(n∈N*)．(3)由an＋1＝2an＋1，得an＋1＋1＝2(an＋1)．令bn＝an＋1，所以{bn}是以2为公比的等比数列．所以bn＝b1·2n－1＝(a1＋1)·2n－1＝2n＋1，所以an＝bn－1＝2n＋1－1(n∈N*)．(4)由已知，an＞0，在递推关系式两边取对数，有lgan＋1＝2lgan＋lg3.令bn＝lgan，则bn＋1＝2bn＋lg3.所以bn＋1＋lg3＝2(bn＋lg3)，所以{bn＋lg3}是等比数列．所以bn＋lg3＝2n－1·2lg3＝2nlg3.所以bn＝2nlg3－lg3＝(2n－1)lg3＝lgan.所以an＝32n－1.[例4]已知数列{an}的通项an＝(n＋1)1011n(n∈N＋)，试问该数列{an}中有没有最大项？若有，求最大项的项数；若没有，说明理由．探究四数列单调性及其应用解析：∵an＋1－an＝(n＋2)1011n＋1－(n＋1)1011n＝1011n9－n11.当n＜9时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n＞9时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an；故a1＜a2＜a3＜…＜a9＝a10＞a11＞a12＞…，所以数列中有最大项为第9,10项．变式(2011·浙江)若数列{n(n＋4)23n}中的最大项是第k项，则k＝__________.解析：设数列为an，则an＋1－an＝(n＋1)(n＋5)23n＋1－n(n＋4)23n＝23n23n2＋6n＋5－n2－4n＝2n3n＋1(10－n2)，所以当n≤3时，an＋1＞an；当n≥4时，an＋1＜an.因此，a1＜a2＜a3＜a4，a4＞a5＞a6＞…，故a4最大，所以k＝4.1.(2013·铜陵月考)在各项均为正数的数列{an}中，对任意m，n∈N*都有am＋n＝am·an.若a6＝64，则a9等于()A．256B．510C．512D．1024解析：令m＝n＝3，得a6＝a23，解得a3＝8，再令m＝3，n＝6，得a9＝a3·a6＝512.答案：C能力提升2．(2013·江西联考)已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋2，若对于n∈N*，都有an＋1＞an成立，则实数k的取值范围是()A．k＞0B．k＞－1C．k＞－2D．k＞－3解析：由an＋1＞an，得(n＋1)2＋k(n＋1)＋2－n2－kn－2＞0，即k＞－2n－1，当n＝1时，－2n－1取最大值－3，故k＞－3，选D.答案：D3．(2013·淄博质检)数列{an}，满足a1＝1，a2＝12，并且an(an－1＋an＋1)＝2an＋1an－1(n≥2)，则数列的第2010项为()A.12100B.122010C.12010D.1100解析：由a1＝1，a2＝12，且an(an－1＋an＋1)＝2an＋1an－1(n≥2)，得a3＝13，a4＝14，…，a2010＝12010.答案：C4．(2013·枣庄期末)数列{an}中，a1＝a，a2＝b，且满足an＋1＝an＋an＋2，则a2012的值为()A．bB．b－aC．－bD．－a解析：由a1＝a，a2＝b及an＋1＝an＋an＋2，得a3＝b－a，a4＝－a，a5＝－b，a6＝a－b，a7＝a，a8＝b，a9＝b－a，a10＝－a，a11＝－b，…，此数列的周期为6，故a2012＝a335×6＋2＝a2＝b.答案：A5．(2013·唐山模拟)在数列{an}中，a1＝1，an＋1－an＝2n＋1，则数列的通项an＝__________.解析：已知a1及an－an－1＝f(n)，可以用累加法求an.a2－a1＝2×1＋1，a3－a2＝2×2＋1，…，an－an－1＝2×(n－1)＋1，累加可得an－a1＝2(1＋2＋…＋n－1)＋n－1，∴an＝n2.答案：n26.规律总结│等差数列的概念及运算知识要点双基固化能力提升规律总结│等比数列的概念及运算知识要点双基固化能力提升规律总结│等差、等比数列的性质及应用知识要点双基固化能力提升规律总结│简单递推数列知识要点双基固化能力提升规律总结│数列求和知识要点双基固化能力提升规律总结