华南理工大学高等数学统考试卷下册统考试卷及解答 1998

共5页第1页1998等数学下册统考试卷及解答一、试解下列各题1、[4分]设是由zzyx2222所确定的立体，试将dvzyxf),(22化成球面坐标下的三次积分。解：在球坐标下zzyx2222为22cos,02cos,02补充02，从而2cos2222222000(,)sin,cossinfxyzdvddfd2、[4分]设L是在右半平面内的任意一条闭的光滑曲线，试证明Ldyxdxxy012解：当0x时2211,,,yxyPQPQxxx由定理故有Ldyxdxxy012二、试解下列各题1、[3分]设yxz，求yxzz,解：1,lnyyxyzyxzxx2、[3分]设xyz2，求xz解：2ln22ln2xyxyxzyy3、[3分]设pgfzpygxfu,,),()()(可导，求zyxuuu,,解：()()(),()()(),()()()xyzufxgypzufxgypzufxgypz三、试解下列各题1、[3分]设na单调减少，且收敛于0，问级数1nna是否收敛？解：1nna不一定收敛。例如1nan单调减少，且收敛于0，但11nn发散；而21nan单调减少，且收敛于0，但211nn收敛。2、[3分]试证：级数1ln1nnn是发散的。证：令lnln1lnxxxfxxe，lnlnlnln1limlim0lnlim1xxxxxxxxxeeee共5页第2页所以1lim10lnnnn，从而级数1ln1nnn是发散的。四、计算下列各题1、[6分]利用极坐标计算二重积分dxyxdyaya002222)(（0a）解：22:0,0Dxayya在极坐标下为222:0cossin,0sin,0,02Drarrara224422220000()248aayaaadyxydxdrrdr2、[6分]设),(yxf为连续函数，交换二次积分dxyxfdyy1202),(dxyxfdyy010),(的积分次序。解：由上下限知积分区域D两部分为21,20yyx及10,0yyx，作图发现即为22:10,2Dxxyx故原式22012,xxdxfxydy3、[6分]计算dxdyzdzdxydydzx222，其中是立方体ax0，ay0，az0表面的外侧，0a。解：22200022aaaxdydzydzdxzdxdyxyzdvdxdyxyzdz22233000000222322aaaaaazadxxzyzdydxxayadyxaadxa或由对称2223000263aaaxdydzydzdxzdxdyxyzdvdxdyzdza五、解答下列各题1、[5分]求全微分方程0)42(232yyxyxyy的通解。解：原式即23232424(2)0,20xxydxdxxydyydxxdyydydxdyyyyy共5页第3页22222222222()0,0,xxdxydydxxddxyyxyycyyyy为通解另解法：233244(2)0,1yxxydxdxxydyPQyyy,2233220,11024022,(2)(02)()1xyyxxuxyydxxydyydyydxyyxxyyyyy由此推出222xxyycy为通解2、[5分]已知yxxeyxPsin),(2，yxyxQcos),(2，试问是否存在函数),(yxu，使得QdyPdxdu？解：因为(,)cosyPxyxy(,)2cos,xyQxyxyPxy所以不存在函数),(yxu，使得QdyPdxdu六、解答下列各题1、[5分]判别级数1211nnen的敛散性。解：221121(1)111,limlim1111nnnnnnnnunneueuene故正项级数1211nnen的收敛2、[5分]设)(xf在],[LL内有连续的导函数，且)]()(LfLf。已知)(xf展成以L2为周期的傅立叶级数的系数为,...2,1,,,0nbaann。试用nnbaa,,0表示)(xf的傅立叶级数的系数,...2,1,,,0nBAAnn解：0110LLLLAfxdxfxLL111cos[cos]sinLLLnLLLnxnxnnxAfxdxfxfxdxLLLLLLL共5页第4页10sin,1,2,...LnLnnxnfxdxbnLLLL111sin[sin]cosLLLnLLLnxnxnnxBfxdxfxfxdxLLLLLLL10cos,1,2,...LnLnnxnfxdxanLLLL注意用fx的展开式求导来推不给分！因缺乏理论依据。七、解答下列各题1、[7分]利用二重积分计算由曲面222,0,1,xyzyyxz所围成的曲顶矩体的体积解：211122222261111(1)3DxVxydxdydxxydyxxxdx1246011111682(1)2335321105xxxdx2、[7分]利用曲线积分计算椭圆圆周)20(sincosttbytax所围成的面积。解：2011sinsincoscos22LSxdyydxbtatatbtdtab3、[7分]试求在极坐标下由(1cos)(0)raa所确定图形的面积。解：由(1cos)(0)raa知0(1cos),ra(1cos)224000(1cos)4cos2aDSddrdradad2242203138cos84222atdtaa八、解答下列各题1、[6分]利用近似公式2319231)1(xxx时，试估计当05.0x时所产生的最大误差。解：1233214(1)13981xxxx在1,1内收敛共5页第5页1323214(1)13981xxxx当05.0x时，3143510.0581162100002、[6分]求微分方程022yyy的一条积分曲线，使其在点)1,0(处有水平切线。解：特征方程21,212220,1,cossinxrrriyecxcx为通解由过点)1,0(知01211cos0sin0,1eccc由在点)1,0(处有水平切线知0022200,0cos0sin0sin0cos0,1yececc。从而cossinxyexx为所要求的特解3、[6分]设)(xyxz，其中是具有连续导数的函数，试消去建立),(yxz所满足的一个一阶偏微分方程。解：,1(),0(),()zzzzuxyyuxuxxxyuxxyxyxy即zzxyxxy为),(yxz所满足的一个一阶偏微分方程。