(第4题图)ABCNM(第2题图)中国教育学会中学数学教学专业委员会2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题(本卷满分120分,考试时间120分钟)一、选择题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)在下列各小题中,均给出四个答案,其中有且只有一个正确答案,请将正确答案的字母代号填入题后的括号里,不填、多填或错填均为零分.1.从长度是2cm,2cm,4cm,4cm的四条线段中任意选三条线段,这三条线段能够组成等腰三角形的概率是()A.41B.31C.21D.12.如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,AN⊥BN于N,且AB=10,BC=15,MN=3,则△ABC的周长为()A.38B.39C.40D.413.已知1xy,且有09201152xx,05201192yy,则yx的值等于()A.95B.59C.52011D.920114.已知直角三角形的一直角边长是4,以这个直角三角形的三边为直径作三个半圆(如图所示),已知两个月牙形(带斜线的阴影图形)的面积之和是10,那么以下四个整数中,最接近图中两个弓形(带点的阴影图形)面积之和的是()A.6B.7C.8D.95.设a,b,c是△ABC的三边长,二次函数2)2(2bacxxbay在1x时取最小值b58,则△ABC是()A.等腰三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形6.计算机中的堆栈是一些连续的存储单元,在每个堆栈中数据的存入、取出按照“先进后出”的原则,如图,堆栈(1)中的2个连续存储单元已依次存入数据b,a,取出数据的顺序是a,b;堆栈(2)的3个连续存储单元已依次存入数据e,d,c,取出数据的顺序是c,d,e,现在要从这两个堆栈中取出5个数据(每次取出1个数据),则不同顺序的取法的种数有()A.5种B.6种C.10种D.12种baedc(1)(2)(第5题图)二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)7.若04122xx,则满足该方程的所有根之和为.8.(人教版考生做)如图A,在ABCD中,过A,B,C三点的圆交AD于E,且与CD相切,若AB=4,BE=5,则DE的长为.8.(北师大版考生做)如图B,等边三角形ABC中,D,E分别为AB,BC边上的两个动点,且总使AD=BE,AE与CD交于点F,AG⊥CD于点G,则FGAF.9.已知012aa,且3222322324axaaxaa,则x.10.元旦期间,甲、乙两人到特价商店购买商品,已知两人购买商品的件数相同,且每件商品的单价只有8元和9元两种.若两人购买商品一共花费了172元,则其中单价为9元的商品有件.11.如图,已知电线杆AB直立于地面上,它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上,如果CD与地面成o45,∠A=o60,CD=4m,BC=)2264(m,则电线杆AB的长为m.12.实数x与y,使得yx,yx,xy,yx四个数中的三个有相同的数值,则所有具有这样性质的数对),(yx为.三、解答题(本大题共3个小题,每小题20分,共60分)13.(本题满分20分)已知:))(())(())((axcxcxbxbxax是完全平方式.求证:cba.(第11题图)ABCD(第8题图A)BCDAEGFECBA(第8题图B)D14.(本题满分20分)如图,将OA=6,AB=4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中,动点M,N以每秒1个单位的速度分别从点A,C同时出发,其中点M沿AO向终点O运动,点N沿CB向终点B运动,当两个动点运动了t秒时,过点N作NP⊥BC,交OB于点P,连接MP.(1)点B的坐标为;用含t的式子表示点P的坐标为;(2)记△OMP的面积为S,求S与t的函数关系式(0t6);并求t为何值时,S有最大值?(3)试探究:当S有最大值时,在y轴上是否存在点T,使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分,且三角形的面积是△ONC面积的31?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.OABCPNMxyOABCxy(备用图)(第14题图)15.(本题满分20分)对于给定的抛物线baxxy2,使实数p,q适合于)(2qbap.(1)证明:抛物线qpxxy2通过定点;(2)证明:下列两个二次方程,02baxx与02qpxx中至少有一个方程有实数根.