第六章 三角函数【数学竞赛讲义】

第六章三角函数一、基础知识定义1角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。定义2角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α|=rL,其中r是圆的半径。定义3三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数sinα=ry,余弦函数cosα=rx,正切函数tanα=xy，余切函数cotα=yx，正割函数secα=xr,余割函数cscα=.yr定理1同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tanα=cot1,sinα=csc1，cosα=sec1；商数关系：tanα=sincoscot,cossin；乘积关系：tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα；平方关系：sin2α+cos2α=1,tan2α+1=sec2α,cot2α+1=csc2α.定理2诱导公式（Ⅰ）sin(α+π)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα,cot(π+α)=cotα;（Ⅱ）sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα,cot(-α)=cotα;（Ⅲ）sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan=(π-α)=-tanα,cot(π-α)=-cotα;（Ⅳ）sin2=cosα,cos2=sinα,tan2=cotα（奇变偶不变，符号看象限）。定理3正弦函数的性质，根据图象可得y=sinx（x∈R）的性质如下。单调区间：在区间22,22kk上为增函数，在区间232,22kk上为减函数，最小正周期为2.奇偶数.有界性：当且仅当x=2kx+2时，y取最大值1，当且仅当x=3k-2时,y取最小值-1。对称性：直线x=k+2均为其对称轴，点（k,0）均为其对称中心，值域为[-1，1]。这里k∈Z.定理4余弦函数的性质，根据图象可得y=cosx(x∈R)的性质。单调区间：在区间[2kπ,2kπ+π]上单调递减，在区间[2kπ-π,2kπ]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性：偶函数。对称性：直线x=kπ均为其对称轴，点0,2k均为其对称中心。有界性：当且仅当x=2kπ时，y取最大值1；当且仅当x=2kπ-π时，y取最小值-1。值域为[-1，1]。这里k∈Z.定理5正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(xkπ+2)在开区间(kπ-2,kπ+2)上为增函数,最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（kπ，0），（kπ+2，0）均为其对称中心。定理6两角和与差的基本关系式：cos(αβ)=cosαcosβsinαsinβ,sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ;tan(αβ)=.)tantan1()tan(tan定理7和差化积与积化和差公式:sinα+sinβ=2sin2cos2,sinα-sinβ=2sin2cos2,cosα+cosβ=2cos2cos2,cosα-cosβ=-2sin2sin2,sinαcosβ=21[sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ=21[sin(α+β)-sin(α-β)],cosαcosβ=21[cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=-21[cos(α+β)-cos(α-β)].定理8倍角公式:sin2α=2sinαcosα,cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,tan2α=.)tan1(tan22定理9半角公式:sin2=2)cos1(,cos2=2)cos1(,tan2=)cos1()cos1(=.sin)cos1()cos1(sin定理10万能公式:2tan12tan2sin2,2tan12tan1cos22,.2tan12tan2tan2定理11辅助角公式：如果a,b是实数且a2+b20，则取始边在x轴正半轴，终边经过点(a,b)的一个角为β，则sinβ=22bab,cosβ=22baa，对任意的角α.asinα+bcosα=)(22basin(α+β).定理12正弦定理：在任意△ABC中有RCcBbAa2sinsinsin，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边，R为△ABC外接圆半径。定理13余弦定理：在任意△ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边。定理14图象之间的关系：y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象；经左右平移得y=sin(x+)的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的1，得到y=sinx(0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(,0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移个单位得到y=Asinx的图象。定义4函数y=sinx2,2x的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx(x∈[-1,1])，函数y=cosx(x∈[0,π])的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx(x∈[-1,1]).函数y=tanx2,2x的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x∈[-∞,+∞]).y=cosx(x∈[0,π])的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(x∈[-∞,+∞]).定理15三角方程的解集，如果a∈(-1,1)，方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina,n∈Z}。方程cosx=a的解集是{x|x=2kxarccosa,k∈Z}.如果a∈R，方程tanx=a的解集是{x|x=kπ+arctana,k∈Z}。恒等式：arcsina+arccosa=2；arctana+arccota=2.定理16若2,0x，则sinxxtanx.二、方法与例题1．结合图象解题。例1求方程sinx=lg|x|的解的个数。【解】在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=lg|x|的图象（见图），由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解。2．三角函数性质的应用。例2设x∈(0,π),试比较cos(sinx)与sin(cosx)的大小。【解】若,2x，则cosx≤1且cosx-1，所以cos0,2x，所以sin(cosx)≤0,又0sinx≤1,所以cos(sinx)0，所以cos(sinx)sin(cosx).若2,0x，则因为sinx+cosx=2cos22sin222xx(sinxcos4+sin4cosx)=2sin(x+4)≤22，所以0sinx2-cosx2，所以cos(sinx)cos(2-cosx)=sin(cosx).综上，当x∈(0,π)时，总有cos(sinx)sin(cosx).例3已知α，β为锐角，且x·（α+β-2）0，求证：.2sincossincosxx【证明】若α+β2，则x0，由α2-β0得cosαcos(2-β)=sinβ,所以0sincos1，又sinαsin(2-β)=cosβ,所以0sincos1，所以.2sincossincossincossincos00xx若α+β2，则x0，由0α2-β2得cosαcos(2-β)=sinβ0,所以sincos1。又0sinαsin(2-β)=cosβ，所以sincos1，所以2sincossincossincossincos00xx，得证。注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。3．最小正周期的确定。例4求函数y=sin(2cos|x|)的最小正周期。【解】首先，T=2π是函数的周期（事实上，因为cos(-x)=cosx，所以co|x|=cosx）；其次，当且仅当x=kπ+2时，y=0（因为|2cosx|≤2π）,所以若最小正周期为T0，则T0=mπ,m∈N+，又sin(2cos0)=sin2sin(2cosπ)，所以T0=2π。4．三角最值问题。例5已知函数y=sinx+x2cos1，求函数的最大值与最小值。【解法一】令sinx=4304sin2cos1,cos22x,则有y=).4sin(2sin2cos2因为4304，所以42，所以)4sin(0≤1，所以当43，即x=2kπ-2(k∈Z)时，ymin=0，当4，即x=2kπ+2(k∈Z)时，ymax=2.【解法二】因为y=sinx+)cos1(sin2cos1222xxx,=2（因为(a+b)2≤2(a2+b2)），且|sinx|≤1≤x2cos1，所以0≤sinx+x2cos1≤2，所以当x2cos1=sinx，即x=2kπ+2(k∈Z)时,ymax=2，当x2cos1=-sinx，即x=2kπ-2(k∈Z)时,ymin=0。例6设0π，求sin)cos1(2的最大值。【解】因为0π，所以220，所以sin20,cos20.所以sin2（1+cos）=2sin2·cos22=2cos2cos2sin22222≤322232cos2cos2sin22=.9342716当且仅当2sin22=cos22,即tan2=22,=2arctan22时，sin2(1+cos)取得最大值934。例7若A，B，C为△ABC三个内角，试求sinA+sinB+sinC的最大值。【解】因为sinA+sinB=2sin2BAcos2sin22BABA,①sinC+sin23sin223cos23sin23CCC,②又因为3sin243cos43sin223sin2sinCBACBACBA，③由①，②，③得sinA+sinB+sinC+sin3≤4sin3,所以sinA+sinB+sinC≤3sin3=233,当A=B=C=3时，（sinA+sinB+sinC）max=233.注：三角函数的有界性、|sinx|≤1、|cosx|≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。5．换元法的使用。例8求xxxxycossin1cossin的值域。【解】设t=sinx+cosx=).4sin(2cos22sin222