初中数学竞赛专题选讲-非负数(含答案)

初中数学竞赛专题选讲(初三.4)非负数一、内容提要1.非负数的意义：在实数集合里，正数和零称为非负数.a是非负数，可记作a≥0,读作a大于或等于零，即a不小于零.2.初中学过的几种非负数：⑴实数的绝对值是非负数.若a是实数，则a≥0.⑵实数的偶数次幂是非负数.若a是实数，则a2n≥0（n是正整数）.⑶算术平方根是非负数，且被开方数也是非负数.若a是二次根式，则a≥0，a≥0.⑷一元二次方程有实数根时，根的判别式是非负数，反过来也成立.若二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，则b2－4ac≥0.若b2－4ac≥0(a≠0)，则二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根.⑸数轴上，原点和它的右边所表示的数是非负数，几何中的距离，图形中的线段、面积、体积的量数也都是非负数.3.非负数的性质：⑴非负数集合里，有一个最小值，它就是零.例如：a2有最小值0（当a=0时），1x也有最小值0（当x=－1时）.⑵如果一个数和它的相反数都是非负数，则这个数就是零.若a≥0且－a≥0，则a=0；如果a－b≥0且b－a≥0，那么a－b=0.⑶有限个非负数的和或积仍是非负数.例如：若a，b，x都是实数数，则a2+b2≥0,a×b≥0,a2x≥0.⑷若几个非负数的和等于零，则每一个非负数也都只能是零.例如若1a（b＋3）2+12c=0那么0120)3(012cba即0120301cba∴5.031cba.二、例题例1.求证：方程x4+3x2+2x+6=0没有实数根证明：把方程左边分组配方，得（x4+2x2+1）+(x2+2x+1)+4=0即（x2+1）2+(x+1)2=－4∵（x2+1）2＞0，(x+1)2≥0，∴（x2+1）2+(x+1)2≥0.但右边是－4.∴不论x取什么实数值，等式都不能成立.∴方程x4+3x2+2x+6=0没有实数根.例2.a取什么值时，根式)1)(2()1)(2(aaaa有意义？解：∵二次根式的被开方数（a－2）()1a与(a－2)(1－)a都是非负数，且（a－2）()1a与(a－2)(1－)a是互为相反数，∴（a－2）()1a＝0.（非负数性质2）∴a－2=0；或1a=0.∴a1=2,a2=1,a3=－1.答：当a=2或a=1或a=－1时，原二次根式有意义.例3.要使等式（2－31x）2+48162xxx＝0成立，x的值是＿＿＿＿.解：要使原等式成立∵（2－31x）2≥0，∴48162xxx≤0.∴48162xxx＝44xx＝－1，(x－4≠0)∴（2－31x）2＝1，且x－40.即041)3122xx－（解得493xxx或＝∴x=3.答：x的值是3.例4.当a,b取什么实数时，方程x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0有实数根？解：∵当△≥0时，方程有实数根.解如下不等式：［2（1＋a）］2－4(3a2+4ab+4b2+2)≥0－8a2－16ab－16b2+8a－4≥0，2a2+4ab+4b2－2a+1≤0，（a+2b）2+(a－1)2≤0①∵（a+2b）2≥0且(a－1)2≥0，得（a+2b）2+(a－1)2≥0②∴只有当（a+2b）2＝0且(a－1)2＝0不等式①和②才能同时成立.答：当a=1且b=－21时，方程x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0有实数根.三、练习1.已知在实数集合里xx33有意义，则x=____.2.要使不等式（a+1）2≤0成立，实数a=_____.3.已知1212bba＝0，则a=＿＿,b=＿＿,a100b101=____.4.把根号外因式移到根号里：①－aa=＿＿＿，②bb=＿＿＿＿，③－cc1=＿＿＿＿.5.如果ab,那么)()(3bxax等于（）（A）（x+a）))((bxax.(B)（x+a）))((bxax.(C)－（x+a）))((bxax.(D)－（x+a）))((bxax.6.已知a是实数且使aa=x,则x=＿＿＿＿.7.已知a,b是实数且a2111bb.化简1214422abbaaba后的值是＿＿＿＿.8.当x=＿＿时，3－（x＋2）有最大值＿＿＿.9.已知：,141ca且a1,4c都是整数.求a,c的值.10.求方程x2+y2+x2y2+6xy+4=0的实数解.11.求适合不等式2x2+4xy+4y2－4x+4≤0的未知数x的值.12.求证：不论k取什么实数值，方程x2+(2k+1)x－k2+k=0都有不相等的实数解.13.比较a2+b2+c2与ab+bc+ca的大小.14.已知方程组azxyaxzyzxyzyx112的解x,y,z都是非负数.求a的值.参考答案1.32.－13.1，－1，－14.①－3a，②－3b，③c5.C6.0。因为左边a≤0，右边x≥0。7.－a。∵b=1,a218.x=－2,最大值39.0,141,01ca.4,2;4,05,1cacaca；10.222,2yxyx；1112yx12.△＝8k2+1……13.用求差法，配方（乘上2×0.5）14.－a41＜1