2011年高考一轮课时训练(理)11.2.2空间角的概念及其求法和空间距离的求法 (通用版)

第二节空间角的概念及其求法和空间距离的求法一、选择题1．(2008年福建)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A.63B.265C.155D.105解析：连A1C1与B1D1交与O点，再连BO，则∠OBC1为BC1与平面BB1D1D所成角.sin∠OBC1＝OC1BC1，OC1＝2，BC1＝5∴sin∠OBC1＝25＝105.答案：D2．(2008年四川延考)一个正方体的展开图如右图所示，B，C，D为原正方体的顶点，A为原正方体一条棱的中点．在原来的正方体中，CD与AB所成角的余弦值为()A.510B.105C.55D.1010解析：还原正方体如下图所示，设AD＝1，则AB＝5，AF＝1，BE＝EF＝22，AE＝3，CD与AB所成角等于BE与AB所成角，所以余弦值为cos∠ABE＝5＋8－92×5×22＝1010，选D.答案：D3．设E，F是正方体AC1的棱AB和D1C1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A1ECF成60°角的对角线的数目是()A．0B．2C．4D．6解析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，并设正方体的棱长为1，则A1(1,0,0)，E1，12，0，C(0,1,0)．设平面A1ECF的法向量为n＝(x，y，z)，则由A1E→·n＝0及EC→·n＝0，可得x＝z＝12y，于是可取n＝(1,2,1).AB1→＝DC1→＝(0,1,1)，D1B1→＝DB→＝(1,1,0)，而且可计算得到这四个向量与向量n所成的角为30°，于是这四个向量与平面A1ECF所成的角为60°.而其它的面对角线所在的向量均不满足条件．答案：C4．如右图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G＝λ(0≤λ≤1)，则点G到平面D1EF的距离为()A.3B.22C.2λ3D.55解析：因为A1B1∥EF，G在A1B1上，所以G到平面D1EF的距离即是A1到面D1EF的距离，即是A1到D1E的距离，D1E＝52，由三角形面积可得所求距离为1×1252＝55，故选D.答案：D5．(2009年重庆卷)已知二面角α－l－β的大小为50°，P为空间中任意一点，则过点P且与平面α和平面β所成的角都是25°的直线的条数为()A．2B．3C．4D．5答案：B二、填空题6．(2009年四川卷)如右图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．解析：作BC的中点N，连接AN，则AN⊥平面BCC1B1，连接B1N，则B1N是AB1在平面BCC1B1的射影，∵B1N⊥BM，∴AB1⊥BM.即异面直线AB1和BM所成的角的大小是90°.答案：90°7．(2008年四川延考)已知∠AOB＝90°，C为空间中一点，且∠AOC＝∠BOC＝60°，则直线OC与平面AOB所成角的正弦值为_________．解析：由对称性知点C在平面AOB内的射影D必在∠AOB的平分线上，作DE⊥OA于E，连结CE，则由三垂线定理CE⊥OE，设DE＝1⇒OE＝1，OD＝2，又∠COE＝60°，CE⊥OE⇒OC＝2，所以CD＝OC2－OD2＝2，因此直线OC与平面AOB所成角的正弦值sin∠COD＝22.答案：228．PA，PB，PC是从P点引出的三条射线，他们之间每两条的夹角都是60°，则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为________________．答案：33三、解答题66，高CD9．如右图所示，等腰三角形△ABC的底边AB＝＝3，点E是线段BD上异于B、D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE＝x，V(x)表示四棱锥P－ACEF的体积．(1)求V(x)的表达式；(2)当x为何值时，V(x)取得最大值？(3)当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值．解析：(1)由折起的过程可知，PE⊥平面ABC，SΔABC＝96，S△BEF＝x2108·S△BDC＝612x2，V(x)＝63x9－112x2(0＜x＜36)．(2)V′(x)＝639－14x2，所以x∈(0,6)时，V′(x)＞0，V(x)单调递增；6＜x＜36时V′(x)＜0，V(x)单调递减；因此x＝6时，V(x)取得最大值126；(3)过F作MF∥AC交AD于M，则BMAB＝BFBC＝BEBD＝BE12AB，MB＝2BE＝12，PM＝62，MF＝BF＝PF＝636BC＝6354＋9＝42，在△PFM中，cos∠PFM＝84－7242×2＝17，∴异面直线AC与PF所成角的余弦值为17.10．(2008年四川延考卷)如右图所示，一张平行四边形的硬纸片ABC0D中，AD＝BD＝1，AB＝2.沿它的对角线BD把△BDC0折起，使点C0到达平面ABC0D外点C的位置．(1)证明：平面ABC0D⊥平面CBC0；(2)如果△ABC为等腰三角形，求二面角A－BD－C的大小．解析：(1)证明：因为AD＝BC0＝BD＝1，AB＝C0D＝2，所以∠DBC0＝90°，∠ADB＝90°.因为折叠过程中，∠DBC＝∠DBC0＝90°，所以DB⊥BC，又DB⊥BC0，故DB⊥平面CBC0.又DB⊂平面ABC0D，所以平面ABC0D⊥平面CBC0.(2)法一：如右图，延长C0B到E，使BE＝C0B，连结AE，CE.因为AD綊BE，BE＝1，DB＝1，∠DBE＝90°，所以AEBD为正方形，AE＝1.由于AE，DB都与平面CBC0垂直，所以AE⊥CE，可知AC＞1.因此只有AC＝AB＝2时，△ABC为等腰三角形．在Rt△AEC中，CE＝AC2－AE2＝1，又BC＝1，所以△CEB为等边三角形，∠CBE＝60°.由(1)可知，BD⊥BC，BD⊥BE，所以∠CBE为二面角A－BD－C的平面角，即二面角A－BD－C的大小为60°.法二：以D为坐标原点，射线DA，DB分别为x轴正半轴和y轴正半轴，建立如右图的空间直角坐标系D－xyz，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，D(0,0,0)．由(1)可设点C的坐标为(x,1，z)，其中z＞0，则有x2＋z2＝1.①因为△ABC为等腰三角形，所以AC＝1或AC＝2.若AC＝1，则有(x－1)2＋1＋z2＝1.由此得x＝1，z＝0，不合题意．若AC＝2，则有(x－1)2＋1＋z2＝2.②联立①和②得x＝12，z＝32.故点C的坐标为12，1，32.由于DA⊥BD，BC⊥BD，所以DA→与BC→夹角的大小等于二面角A－BD－C的大小．又DA→＝(1,0,0)，BC→＝12，0，32，cos〈DA→，BC→〉＝DA→·BC→|DA→||BC→|＝12.所以〈DA→，BC→〉＝60°，即二面角A－BD－C的大小为60°.