高考中立体几何的解法探索--毕业论文

存档编号赣南师范学院学士学位论文高考中立体几何的解法探索教学学院数学与计算机科学学院届别2014届专业数学与应用数学学号100700079姓名指导教师完成日期2014年5月4日作者声明本毕业论文（设计）是在导师的指导下由本人独立撰写完成的，没有剽窃、抄袭、造假等违反道德、学术规范和其他侵权行为。对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。因本毕业论文（设计）引起的法律结果完全由本人承担。毕业论文（设计）成果归赣南师范学院所有。特此声明。作者专业：数学与应用数学作者学号：100700079作者签名：（手写有效）年月日（手填时间）高考中立体几何的解法探索ThesolutiontothecollegeentranceexaminationinsolidgeometryexploreLanJinling目录内容摘要………………………………………………………………………1关键词………………………………………………………………………1Abstract………………………………………………………………………1Keywords………………………………………………………………………11立体几何在高考中的现状……………………………………………………32立体几何在高考中的考点解析…………………………………………42.1空间几何体的结构及其三视图和直观图问题……………………………42.2立体几何求表面积和体积问题……………………………………………42.3立体几何中点、线、面位置问题………………………………………51.2.4立体几何中空间角、距离求值问题………………………………………62.5向量法在立体几何中的应用………………………………………………83立体几何考点解法探索…………………………………………………103.1空间几何体结构解法探索……………………………………………103.2立体几何点线面位置判定方法…………………………………………113.3立体几何空间角、空间距离的计算……………………………………123.4用向量法解立体几何…………………………………………………134.总结……………………………………………………………………………15参考文献…………………………………………………………………………16摘要立体几何高中数学的重点内容，是从中学到大学继续深造学习的必备基础知识.立体几何在高考试卷中主要体现在点与线、点与面、线与线、线与面、面与面之间位置、距离、夹角问题的考查，并且一般都采用一题两解的模式，既可以用综合法解答，又可以用向量法解答.吴厚荣在文献[4]中发现学生更倾向于选择向量法，而且有部分同学认为向量法是万能的，在遇到用综合法比较好做而用向量法比较难做时往往无从下手.陈雪梅在文[5]中对位置关系与角的度量的教学效果进行了调查研究认为向量的引入没有加重学生的思维负担.向量法相比综合法可以减少一些复杂的思维和推理过程，提高解题效率，并易为学生接受，但有一些问题通过适当作图运用综合法可以减少像向量法中计算的繁琐，面对不同的问题应该选择出合适的解法.本文就是对于不同类型的立体几何问题归类探索其解法，通过历年高考中立体几何实例找出其解法，探索其解法并归纳总结.关键词：高考；立体几何；向量AbstractSolidgeometry,theimportantcontentofhighschoolmathistolearnfromtheuniversitycontinuetofurtherstudythenecessarybasicknowledgestudy.Solidgeometryinthecollegeentranceexaminationexaminationpapermainlyembodiedinthepointandlineandpointandplane,lineandline,lineandsurface,position,distance,Anglebetweensurfaceandsurfaceproblemofexamination,andgenerallyadoptedthesolutionofaproblem,canusesyntheticmethodtosolve,andcanusethevectormethodtosolve.WuHourongfoundintheliterature[4]studentstendtochoosethevectormethod,andhasapartofthestudentsthoughtthatvectormethodisuniversal,tomeetwithsyntheticmethodisbettertodo,butwiththevectormethodisdifficulttodooftendonotknowhowtostart.WhenChenXuemeiinpaper[5]forthemeasurementofpositionandAngleoftheteachingeffectoftheinvestigationandstudyfeelthattheintroductionofthevectorisnoburdenofaggravatingthemindsofstudents.Comparedwiththesyntheticmethodcanreducesomecomplexvectormethodofthinkingandreasoningprocess,improvetheefficiencyofproblemsolving,andeasyforstudentstoaccept,buttherearesomeproblemswithproperdrawingusingsyntheticmethodcanreduceasvectormethodinthecalculationoftrival,facedifferentissuesshouldchoosetheappropriatesolution.Thispaperistheproblemfordifferenttypesofsolidgeometryclassification,explorethesolutionthroughthecalendaryeartheuniversityentranceexaminsolidgeometryinstancetofindoutthesolution,andexplorethemethodandgeneralizations.Keywords:Theuniversityentranceexam;solidgeometry;vector1.立体几何的在高考中的现状从近几年高考试题来看，文理均以选择题、填空题、解答题各一道，共23分.其考小题推陈出新，考查的重点在于基础知识，以基本位置关系的判定与柱、锥、球的角、距离、体积计算为主.考大题全面考查，主要考查学生对基本知识，基本方法，基本技能的理解、掌握和应用情况，以空间线面的位置关系和有关数量关系计算为主.《考试说明》中明确指出：能根据条件画出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及相互关系；能对图形进行分解、组合与变换；会运用图形与图表形象地揭示问题的本质.立体几何以它的内容决定了其试题在考查空间想象能力的作用，由于它的公理化体系的处理，又决定了立体几何是考查演绎思维的最好素材，空间向量的引入更为解决立体几何问题提供了新的方法.1.1考察形式与特点立体几何是高考的必考内容.从近几年的高考可以看出，考察的形式与特点是：（1）以选择题、填空题的形式考察基础知识.如线面位置关系的判断，空间角与距离的求解，体积的计算，与球有关的组合体问题，空间图形中动点轨迹问题等.其中线面位置关系的判定又常会与命题、充要条件等有关知识融合在一起进行考察.（2）以解答题的形式考察立体几何的综合问题，如空间平行与垂直关系的论证，空间角与距离的求解，探索性问题，展开与折叠问题，定值与最值问题等.立体几何的解答题一般作为整套试卷的中档题出现，有2到3问，各问之间在解答时具有一定的连贯性.（3）立体几何试题中，考察线面的位置关系以及角与距离的求解和综合性问题时，往往是以多面体（棱柱、棱锥等）为载体进行考察的，但也有考察球体为载体的可能.（4）立体几何求解方法可以利用传统的综合法，也可以利用空间向量的方法，并且多数情况下利用向量方法求解会更容易一些.1.2命题热点与趋势（1）空间几何体的结构，三视图，直观图的判断.（2）立体几何与球有关的组合体.（3）空间几何体点，线，面位置判定.（4）立体几何空间角度、距离的计算.（5）图形的展开与折叠问题.（6）几何体表面积及体积的计算.2．高考中立体几何考点解析2.1空间几何体的结构及其三视图和直观图三视图是新课标新增的内容，柱、锥、台、球的定义及相关性质，与面积体积相关的三视图的还原是高考热点.准确理解柱、锥、台、球的定义，真正把握几何体的结构特征，把握三视图和几何体之间的关系及斜二测画法的作图规则要领，拓展空间思维能力.下面以三视图的判断为例：例1：(2012年湖南，第3题)某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则不可能是该几何体的俯视图的是（D）.ABCD解析：由正视图和俯视图→判断原几何图形→结论.A图是两个圆柱的组合体的俯视图；B图是一个四棱柱与一个圆柱的组合体俯视图；C图是一个底面为等腰三角形的三棱柱与一个四棱柱的组合体俯视图.采用排除法故选D.2.2立体几何求表面积和体积问题给定空间几何体求表面积和体积或由三视图得出几何体的直观图求其表面积和体积是高考的热点.要解决此类问题要熟记空间几何体的表面积和体积公式，由于表面积和体积往往与求高联系密切，因此要熟练掌握常见几何体(如棱柱、棱锥、棱台)的高、侧高的求法，加强空间想象能力与运算能力.下面以求体积问题为例：例2：（2013年高考新课标1（理），第8题）某几何体的三视图如图2所示,则该几何体的体积为（A）.图3图2A．168B．88C．1616D．816解析：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图3，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4．所以长方体的体积=4×2×2=16，半个圆柱的体积=×22×π×4=8π,所以这个几何体的体积是16+8π．2.3立体几何空间点、线、面的位置问题空间点、线、面的位置关系有相交（主要是垂直）、平行、异面关系，理解空间直线、平面位置关系的定义是解题的基础，平面的基本性质即公理和定理是推理的主要依据，备考时应熟练掌握平面的基本性质及线线、线面、面面三种位置关系，尤其是异面直线的判定及线、面垂直的判定是重难点.下面以线面平行、线面垂直的判定为例：例3：（2010年茂名模考,第18题）如图4，在直角梯形ABCD中，∠B＝90°，DC∥AB，BC＝CD＝12AB＝2，G为线段AB的中点，将△ADG沿GD折起，使平面ADG⊥平面BCDG，得到几何体A－BCDG.图4(1)若E，F分别为线段AC，AD的中点，求证：EF∥平面ABG；(2)求证：AG⊥平面BCDG.解：(1)证明：依题意，折叠前后CD、BG位置关系不改变∴CD∥BG.∵E、F分别为线段AC、BD的中点∴在△ACD中，EF∥CD∴EF∥BG，又EF⊄平面ABG，BG⊂平面ABG∴EF∥平面ABG.(2)证明：将△ADG沿GD折起后，AG、GD位置关系不改变∴AG⊥GD，又平面ADG⊥平面BCDG，平面ADG∩平面BCDG＝GD，AG⊂平面AGD∴AG⊥平面BCDG.2.4立体几何空间角、距离求值问题空间角有异面直线所成角、线面所成角、二面角，距离有点点、点线、点面，线线、线面、面面距离，空间角和距的计算是历年高考考查的重点，经常出现在大题，应对这类为题要熟练掌握线面平行和垂直的判定与性质，在此基础上要灵活掌握各种空间角和距离的求解过程.下