专题24第4章解三角形之其他类型备战2021中考数学解题方法系统训练教师版

24第4章解三角形之其他类型学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，两根竹竿AB和AD都斜靠在墙CE上，测得,CABCAD，则两竹竿的长度之比ABAD等于（）A．sinsinB．coscosC．sinsinD．coscos【答案】D【解析】【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题．【详解】根据题意：在Rt△ABC中，cosACAB，则cosACAB，在Rt△ACD中，cosACAD，则cosACAD，∴coscoscoscosACABACAD．故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．2．我国北斗导航装备的不断更新，极大方便人们的出行．某中学组织学生利用导航到C地进行社会实践活动，到达A地时，发现C地恰好在A地正北方向，导航显示路线应沿北偏东60°方向走到B地，再沿北偏西37°方向走才能到达C地．如图所示，已知A，B两地相距6千米，则A，C两地的距离为()．(参考数据sin53°≈0.80，cos53°≈0.60)A．12千米B．(3+43)千米C．(3+53)千米D．(12﹣43)千米【答案】B【解析】【分析】作BD⊥AC，在Rt△ABD中求得AD、BD，利用sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，求得tan53°的值，再在Rt△BCD中求得CD，由AC=AD+CD即可得到结论．【详解】如图，作BD⊥AC于点D，则∠BAD=60°、∠DBC=53°，在Rt△ABD中，AB=6，AD=12AB=162=3，BD=3AD=33，∵sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，∴tan53°=sin534cos533，在Rt△BCD中，∵tan53°=43CDBD，∴CD=43BD=43，AC=AD+CD=3+43(千米)，故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，利用同角三角函数的关系求得tan53°的值是解题的关键．3．如图，在四边形ABCD中ABCD，90ABCBCD，3AB，3BC，把RtABC沿着AC翻折得到RtAEC，若3tan2AED，则线段DE的长度为（）A．63B．73C．32D．275【答案】B【解析】【分析】根据已知，易求得23AC，延长CD交AE于F，可得2AFCF，则=1EF，再过点D作DGEF，设3DGx，则2GEx，7EDx，12FGx，在tRFGD中，根据3FGGD，代入数值，即可求解．【详解】解：如图∵90B，3BC，3AB，∴30BAC，∴23AC，∵90DCB，∴//ABCD，∴30DCA，延长CD交AE于F，∴2AFCF，则=1EF，=60EFD，过点D作DGEF，设3DGx，则2GEx，7EDx，∴12FGx，∴在tRFGD中，3FGGD，即312=3xx，解得：1=3x，∴73ED．故选B．【点睛】本题目考查三角形的综合，涉及的知识点有锐角三角函数、折叠等，熟练掌握三角形的有关性质，正确设出未知数是顺利解题的关键．4．如图，在△ABC中，sinB=13，tanC=2，AB=3，则AC的长为（）A．2B．52C．5D．2【答案】B【解析】【分析】过A点作AH⊥BC于H点，先由sin∠B及AB=3算出AH的长，再由tan∠C算出CH的长，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的长．【详解】解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示：由1sin=3AHBAB，且=3AB可知，=1AH，由tan=2AHCCH，且=1AH可知，12CH，∴在RtACH中，由勾股定理有：2222151()22ACAHCH．故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解．5．如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比）1:0.75i，山坡坡底C点到坡顶D点的距离45mCD，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为（）（参考数据：sin280.47，cos280.88，tan280.53）A．76.9mB．82.1mC．94.8mD．112.6m【答案】B【解析】【分析】构造直角三角形，利用坡比的意义和直角三角形的边角关系，分别计算出DE、EC、BE、DF、AF，进而求出AB．【详解】解：如图，由题意得，∠ADF＝28°，CD＝45，BC＝60，在RtDEC中，∵山坡CD的坡度i＝1：0.75，∴DEEC＝10.75＝43，设DE＝4x，则EC＝3x，由勾股定理可得CD＝5x，又CD＝45，即5x＝45，∴x＝9，∴EC＝3x＝27，DE＝4x＝36＝FB，∴BE＝BC+EC＝60+27＝87＝DF，在RtADF中，AF＝tan28°×DF≈0.53×87≈46.11，∴AB＝AF+FB＝46.11+36≈82.1，故选：B．【点睛】本题考查直角三角形的边角关系，掌握坡比的意义和直角三角形的边角关系是正确计算的前提．6．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝35，BE＝2，则tan∠CDB的值是（）A．12B．2C．52D．55【答案】B【解析】【分析】如图，设AD=x则AE=x-2。利用cosA=AEAD邻边斜边，求出x,再利用勾股定理和解直角三角形边角关系求出解即可.【详解】解：设菱形ABCD边长为x，∵BE＝2，∴AE＝x﹣2，∵cosA＝35，∴AEAD＝35，∴2xx＝35，∴x＝5，∴AE＝5﹣2＝3，∴DE＝22ADAE＝4，∴tan∠CDB＝tan∠DBE＝DEBE＝42＝2．故选：B．【点睛】本题考查了菱形性质，解直角三角形边角关系转化，以及勾股定理.此题利用等角的三角函数值相等进行转化求解.7．如图，一艘快艇从O港出发，向西北方向行驶到M处，然后向正东行驶到N处，再向西南方向行驶，共经过1.5小时回到O港，已知快艇的速度是每小时50海里，则M，N之间的距离是（）海里A．752﹣75B．7575244C．752D．502【答案】A【解析】【分析】先证出△MON为等腰直角三角形，OM＝ON＝22MN，根据题意可得OM+OM+MN＝75，由此即可求得M，N之间的距离．【详解】如图所示：由题意得：∠NOC＝45°，∠MOD＝45°，∴∠MON＝90°，∵MN∥x轴，∴∠MNO＝∠NOC＝45°，∠NMO＝∠MOD＝45°，∴△MON为等腰直角三角形，∴OM＝ON＝22MN，∵OM+OM+MN＝50×1.5＝75（海里），∴22MN+22MN+MN＝75，解得：MN＝（752﹣75）海里，即M，N之间的距离是（752﹣75）海里；故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方位角问题，根据题意证得△MON为等腰直角三角形是解决问题的关键．二、填空题8．2018年10月21日，河间市诗经国际马拉松比赛拉开帷幕，电视台动用无人机航拍技术全程录像．如图，是无人机观测AB两选手在某水平公路奔跑的情况，观测选手A处的俯角为30，选手B处的俯角为45º．如果此时无人机镜头C处的高度CD＝20米，则AB两选手的距离是_______米．【答案】20203【解析】【分析】在两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可；【详解】由已知可得30A，45B，CD=20，∵CDAB于点D，∴在RtACD△中，90CDA，tanCDAAD，∴2020333AD，在RtBCD中，90CDB，45B，∴20DBCD，∴20320ABADDB．故答案为20203．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，准确理解和计算是解题的关键．9．某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为_____．(参考数据：tan37°≈34，tan53°≈43)【答案】300m【解析】【分析】如图，作CE⊥BA于E．设EC=xm，BE=ym．由题意可构建方程组求出x，y即可解决问题．【详解】解：如图，作CE⊥BA于E．设EC=xm，BE=ym．在Rt△ECB中，tan53°=ECEB，即43xy，在Rt△AEC中，tan37°=ECAE，即34105xy，解得x=180，y=135，∴AC=2222ECAE180240=300(m)，故答案为：300m．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用方程思想解决问题．10．如图，AC是高为30米的某一建筑，在水塘的对面有一段以BD为坡面的斜坡，小明在A点观察点D的俯角为30°，在A点观察点B的俯角为45，若坡面BD的坡度为1:3，则BD的长为__________．【答案】30103【解析】【分析】延长CB、AD交于F点，作DEBF，由题意得：30,45AFCABC，13tan33DBF，30ACmBC，30DBF，设DEx，则3BExEF，2BDx，2330330BFx，解出x即可得出答案．【详解】解：延长CB、AD交于F点，作DEBF小明在A点观察点D的俯角为30°，在A点观察点B的俯角为4530,45AFCABC30ACmBC在RtACF中，303,(30330)CFmBFm又坡面BD的坡度为1:3则13tan33DBF30DBF设DEx，则3BExEF，2BDx23BFx2330330x解得：1553x230103BDx（米）故答案为：30103．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，根据俯角、坡度的定义得出角的关系，利用特殊的三角函数值、构造直角三角形是解题的关键，属于中考常考题型．三、解答题11．（材料阅读）2020年5月27日，2020珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛峰，将用中国科技“定义”世界新高度．其基本原理之一是三角高程测量法，在山顶上立一个规标，找到2个以上测量点，分段测量山的高度，再进行累加．因为地球面并不是水平的，光线在空气中会发生折射，所以当两个测量点的水平距离大于300m时，还要考虑球气差，球气差计算公式为f＝20.43dR（其中d为两点间的水平距离，R为地球的半径，R取6400000m），即：山的海拔高度＝测量点测得山的高度+测量点的海拔高度+球气差．（问题解决）某校科技小组的同学参加了一项野外测量某座山的海拔高度活动．如图，点A，B的水平距离d＝800m，测量仪AC＝1.5m，觇标DE＝2m，点E，D，B在垂直于地面的一条直线上，在测量点A处用测量仪测得山项觇标顶端E的仰角为37°，测量点A处的海拔高度为1800m．（1）数据6400000用科学记数法表示为；（2）请你计算该山的海拔高度．（要计算球气差，结果精确到0.01m）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】（1）6.4×106；（2）2399.54m【解析】【分析】（1）科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．（2）如图，过点C作CH⊥BE于H．解直角三角形求出DB，加上海拔高度，加上球气差即可