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第二十二章二次函数22.1二次函数的图像和性质第二十二章二次函数22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质考场对接题型一抛物线的平移考场对接例题1将抛物线y=x2-4x-3向左平移3个单位长度,再向上平移5个单位长度,得到抛物线的函数解析式为().A．y=(x+1)2-2B．y=(x-5)2-2C．y=(x-5)2-12D．y=(x+1)2-12分析∵y=x2-4x-3=(x-2)2-7,∴将抛物线y=x2-4x-3向左平移3个单位长度,再向上平移5个单位长度,得到的抛物线的函数解析式为y=(x-2+3)2-7+5,即y=(x+1)2-2.A锦囊妙计由抛物线的平移确定解析式的方法因为在平移的过程中,抛物线的开口方向、大小都不变,即二次项系数不变,所以做这类题时,只要将题干中二次函数的一般式变形为顶点式,再根据“左加右减,上加下减”即可得到平移后的抛物线的函数解析式.题型二借助二次函数的图像判断其系数的符号或数量关系D例题2如图22-1-19所示,已知抛物线y=ax2+bx+c,下列结论：①abc0；②2a+b0；③2a-b0；④a+b+c0；⑤ab+c0.其中正确的有().A．1个B．2个C．3个D．4个分析图像特征相应关系延伸结论开口向上a0abc0,2a+b0①正确,②正确对称轴在y轴左侧b0抛物线与y轴的交点在y轴负半轴上c0对称轴在直线x=-1的右侧--12a-b0③错误当x=1时,对应的点在x轴的上方y0a+b+c0④正确当x=-1时,对应的点在x轴的下方y0a-b+c0⑤正确锦囊妙计二次函数的图像特征与a,b,c的关系作用说明a决定开口方向a0开口向上a0开口向下c决定与y轴的交点的位置,交点坐标为(0,c)c0交点在y轴正半轴上c=0抛物线过原点c0交点在y轴负半轴上-𝐛𝟐𝐚决定对称轴的位置,对称轴为直线x=-𝐛𝟐𝐚b=0对称轴为y轴ab0(a,b同号)对称轴在y轴左侧ab0(a,b异号)对称轴在y轴右侧(-𝐛𝟐𝐚,𝟒𝐚𝐜−𝐛𝟐𝟒𝐚)决定顶点的位置题型三求二次函数的解析式例题3在平面直角坐标系中,已知抛物线与x轴交于点A(1,0)和点B,顶点为P(-1,4),求此抛物线所对应的函数解析式.解设抛物线所对应的函数解析式为y=a(x+1)2+4(a≠0),将点A的坐标代入,解得a=-1,∴抛物线所对应的函数解析式为y=-(x+1)2+4,即y=-x2-2x+3.例题4已知一个二次函数的图像经过A(-1,0),B(3,0),C(4,-5)三点,求这个二次函数的解析式.解∵二次函数的图像与x轴的两个交点为A(-1,0),B(3,0),∴设所求的二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-3)(a≠0).∵函数图像经过点C(4,-5),∴-5=a×5×1,∴a=-1.∴二次函数的解析式为y=-(x+1)(x-3),即y=-x2+2x+3.例题5已知一个二次函数的图像经过点A(-1,3),B(3,3),C(2,6),求该二次函数的解析式.解∵二次函数的图像经过点A(-1,3),B(3,3),∴二次函数图像的对称轴为直线x=1,∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+k(a≠0).将A(-1,3),C(2,6)代入函数解析式,得3=4a+k,6=a+k,解得a=-1,k=7.∴二次函数的解析式为y=-(x-1)2+7,即y=-x2+2x+6.锦囊妙计确定二次函数解析式的三种方法(1)一般式：若已知抛物线上三个普通点的坐标,可设一般式y=ax2+bx+c(a≠0)来求二次函数的解析式；(2)顶点式：若已知抛物线的顶点坐标(对称轴和最值),可设顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)来求二次函数的解析式；(3)交点式：若已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标,可设交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)来求二次函数的解析式.题型四利用抛物线的对称性解题例题6二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表：二次函数y=ax2+bx+c图像的对称轴为直线x=________,x=2对应的函数值y=_________.x…-3-20135…y…70-8-9-57…1-8分析由表格知(-3,7)和(5,7)是抛物线上关于对称轴对称的两点,所以抛物线的对称轴为直线x==1,则当x=2与x=0时,对应的函数值相等,所以x=2对应的函数值y=-8.例题5如图22-1-20,抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A,B(m+2,0),与y轴相交于点C,点D在该抛物线上,坐标为(m,c),则点A的坐标是_________.分析由题意知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C(0,c),又D(m,c),所以抛物线的对称轴是直线x=.设点A的坐标为(x,0),由A,B两点关于抛物线对称轴对称,得解得x=-2,所以点A的坐标为(-2,0).(-2,0)锦囊妙计抛物线的对称性(1)若抛物线上两点的纵坐标相等,则说明这两点关于抛物线的对称轴对称,对称轴是这两点所连线段的垂直平分线；(2)若抛物线过点(m,y1),(n,y1),则抛物线的对称轴为直线x=.题型五系数相关的两函数图像的推断C例题5函数y=ax+b(a≠0)和y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系内的图像可能是().a的取值b的取值函数y=ax+b(a≠0)的图像特征函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像特征结论a0b0经过第一、二、三象限开口向上,对称轴在y轴左侧C符合b0经过第一、三、四象限开口向上,对称轴在y轴右侧a0b0经过第一、二、四象限开口向下,对称轴在y轴右侧b0经过第二、三、四象限开口向下,对称轴在y轴左侧分析锦囊妙计平面直角坐标系中的双图像问题在同一平面直角坐标系中,推断系数相关的两函数图像时,有两种方法：一种是先利用其中一个较简单的函数图像,确定系数的取值范围,再用另一个较复杂的函数图像来验证,从而找出答案；另一种是利用系数的取值范围不同,进行分类讨论,得出答案.题型六求二次函数的最值例题9已知函数y=x2-2x-3,当自变量x分别在下列取值范围内时,求函数的最大值和最小值：(1)0＜x＜2；(2)2≤x≤3.分析首先确定二次函数的图像的对称轴,然后根据对称轴的位置及自变量的取值范围确定函数的最值.解由y=x2-2x-3=(x-1)2-4,得图像的对称轴为直线x=1.(1)∵a=1＞0,∴图像的开口向上,∴当x=1时,函数有最小值-4,无最大值.(2)∵a=1＞0,对称轴为直线x=1,∴当x＞1时y随着x的增大而增大,∴当x=2时函数有最小值22-2×2-3=-3,当x=3时函数有最大值32-2×3-3=0.锦囊妙计确定二次函数最大(小)值的方法求二次函数的最大(小)值时,如果所给自变量的取值范围包含顶点的横坐标,那么函数的最大(小)值为顶点的纵坐标；如果所给自变量的取值范围不包含顶点的横坐标,那么要先确定函数在自变量取值范围内的增减性,再利用函数的增减性确定函数的最大(小)值.题型七二次函数与几何综合题例题10如图22-1-22,在矩形ABCD中,AB=10cm,BC=20cm.P,Q两点同时从点A出发,分别以1cm/s和2cm/s的速度沿A—B—C—D—A的路线运动,当点Q回到点A时,P,Q两点同时停止运动,设点P,Q的运动时间为ts.当点P,Q分别在AB边和BC边上运动时,设以P,B,Q为顶点的三角形的面积为Scm2,请写出S关于t的函数解析式及自变量t的取值范围.锦囊妙计动态几何问题在确定图形中变量之间的数量关系时,常建立函数模型或不等式模型求解；在确定图形之间的位置关系或求特殊值时,常建立方程模型求解.题型八二次函数的综合探究问题例题10如图22-1-23,在平面直角坐标系中,二次函数的图像交坐标轴于A(-1,0),B(4,0),C(0,-4)三点,P是直线BC下方抛物线上的一个动点．(1)求这个二次函数的解析式.(2)是否存在点P,使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由.(3)动点P运动到什么位置时,△PBC的面积最大？求出此时点P的坐标和△PBC的最大面积.分析(1)由A,B,C三点的坐标,利用待定系数法可求得二次函数的解析式；(2)由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上,则可求得点P的纵坐标,将其代入抛物线的函数解析式可求得点P的横坐标；(3)过点P作PE⊥x轴,交x轴于点E,交直线BC于点F,用点P的坐标可表示出PF的长,则可表示出△PBC的面积,利用二次函数的性质可求得△PBC的面积的最大值及此时点P的坐标．解(1)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0).把A,B,C三点的坐标代入,可得a-b+c=0,16a+4b+c=0c=-4,解得a=1,b=-3,c=-4,∴二次函数的解析式为y=x2-3x-4.(2)作线段OC的垂直平分线DP,交OC于点D,交BC下方的抛物线于点P,如图22-1-24①.易知PO=PC,此时P为满足条件的点.∵C(0,-4),∴D(0,-2),∴点P的纵坐标为-2,将其代入抛物线的函数解析式,可得x2-3x-4=-2,解得x=(不合题意,舍去)或x=,∴存在满足条件的点P,其坐标为(,-2).(3)∵点P在抛物线上,∴可设P(t,t2-3t-4).过点P作PE⊥x轴于点E,交直线BC于点F,如图22-1-24②.∵B(4,0),C(0,-4),∴直线BC的函数解析式为y=x-4,∴F(t,t-4),∴PF=(t-4)-(t2-3t-4)=-t2+4t,∴S△PBC=S△PFC+S△PFB=PF·OE+PF·BE=PF·(OE+BE)=PF·OB=(-t2+4t)×4=-2(t-2)2+8,∴当t=2时,S△PBC的最大值为8,此时t2-3t-4=-6,∴当点P的坐标为(2,-6)时,△PBC的最大面积为8.锦囊妙计解决二次函数与其他知识的综合性问题的一般思路将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起的问题一般难度较大．解这类问题的关键是善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识,将函数问题转化为方程问题,并注意挖掘题目中的一些隐含条件．谢谢观看！