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2.6菱形2.6.1菱形的性质1.掌握菱形的性质.(重点)2.会用菱形的性质进行计算或证明.(重点、难点)一、菱形的概念有_________相等的平行四边形.二、菱形的性质如图,菱形ABCD中,AB=AD.一组邻边∵四边形ABCD是菱形,也是平行四边形,∴AB=___,AD=___,OA=___,OB=___,又∵AB=AD,∴AB=___=AD=___,在等腰△ABD中,∵OB=___,∴AO___BD,且AO_____∠BAD.同理可得OC_____∠BCD,OB平分______,OD平分______.CDBCOCODCDBCOD⊥平分平分∠ABC∠ADC【总结】菱形的性质:(1)菱形具有平行四边形的所有性质.(2)菱形的四条边都_____.(3)菱形的两条对角线_____________,并且每一条对角线_____一组对角.(4)菱形是轴对称图形,它的_________________就是它的对称轴.(5)菱形也是_________图形,_____________是对称中心.相等互相垂直平分平分对角线所在的直线中心对称对角线的交点(打“√”或“×”)(1)菱形的对角线互相垂直且相等.()(2)菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形.()(3)菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半.()(4)菱形的对角相等.()(5)菱形的邻边互相垂直.()×√√√×知识点1菱形的性质的应用【例1】如图所示,在菱形ABCD中,CE⊥AB于E,CF⊥AD于F.求证:AE=AF.【思路点拨】连接AC→菱形的性质→∠BAC=∠DAC→△ACE≌△ACF→AE=AF【自主解答】连接AC.∵四边形ABCD是菱形,∴AC平分∠BAD,即∠BAC=∠DAC.在△ACE和△ACF中,∠AEC=∠AFC=90°,∠BAC=∠DAC,AC=AC,∴△ACE≌△ACF.∴AE=AF.【总结提升】菱形性质的应用1.边、角之间的关系,可以将问题转化到全等三角形中,进行有关边、角的位置或数量关系的证明、计算.2.对角线的性质,可以将问题转化到直角三角形或等腰三角形中,进行有关边角的证明、计算.3.菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形,两对全等的等腰三角形,常结合勾股定理或等腰三角形的性质进行有关角的证明、计算,有时也与角平分线的性质结合解题.知识点2菱形的有关计算【例2】如图所示,在菱形ABCD中,E是AB的中点,且DE⊥AB,AB=a.(1)求∠ABC的度数.(2)求对角线AC的长.(3)求菱形ABCD的面积.【思路点拨】(1)连接BD,先判断△ABD的形状,再求∠ABC的度数.(2)先求BO的长,再由勾股定理计算AO的长,进而得AC的长.(3)由菱形的面积等于两对角线长乘积的一半,求菱形ABCD的面积.【自主解答】(1)连接BD,交AC于点O.∵四边形ABCD是菱形,∴AD=AB.∵E是AB的中点,且DE⊥AB,∴AD=BD,∴△ABD是等边三角形,∴∠ABC=60°×2=120°.(2)∵四边形ABCD是菱形，∴AC,BD互相垂直平分，∴∴OA＝∴AC＝2AO＝(3)S菱形ABCD＝111OBBDABa222＝＝＝．222213ABOBa(a)a22＝＝，3a．2113ACBD3aaa222ggg＝＝．【总结提升】菱形的相关计算如果菱形两对角线长为a,b，则其边长为周长为面积为221ab2，222ab，1ab.2题组一:菱形的性质的应用1.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,下列说法错误的是()A.AB∥DCB.AC=BDC.AC⊥BDD.OA=OC【解析】选B.菱形的对边平行且相等,所以AB∥DC;菱形的对角线一定垂直,所以AC⊥BD;菱形的对角线互相平分,所以OA=OC;菱形的对角线不一定相等.2.(2013·本溪中考)如图,在菱形ABCD中,∠BAD=2∠B,E,F分别为BC,CD的中点,连接AE,AC,AF,则图中与△ABE全等的三角形(△ABE除外)有()A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.先由菱形的性质得出AD∥BC,由平行线的性质得到∠BAD+∠B=180°,又∠BAD=2∠B,求出∠B=60°,则∠D=∠B=60°,△ABC与△ACD是全等的等边三角形,再根据E,F分别为BC,CD的中点,即可求出与△ABE全等的三角形(△ABE除外)有△ACE,△ACF,△ADF.3.如图所示,在平面直角坐标系中,菱形MNPO的顶点P的坐标是(3,4),则顶点M,N的坐标分别是()A.M(5,0),N(8,4)B.M(4,0),N(8,4)C.M(5,0),N(7,4)D.M(4,0),N(7,4)【解析】选A.过P作PE⊥OM,∵顶点P的坐标是(3,4),∴OE=3,PE=4,∴OP=5,∵四边形MNPO是菱形,∴OM=OP=5,∴点M的坐标为(5,0),过点N作NF⊥OM于点F,则△POE≌△NMF,∴MF=OE=3,∴OF=5+3=8,∴点N的坐标为(8,4).4.如图,菱形ABCD的对角线的长分别是2和5,P是对角线AC上任一点(点P不与点A,C重合),且PE∥BC交AB于点E,PF∥CD交AD于点F,则阴影部分的面积是.【解析】由条件知PE∥BC，PF∥CD，可得PE∥AF，PF∥AE，∴四边形AEPF为平行四边形，这样容易得到S△POF＝S△AOE，∴S阴影＝S△ABC＝答案：ABCD1115SACBD2222g菱形．525.如图所示,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,DE∥AC交BC的延长线于点E.求证:DE=BE.12【证明】∵ABCD是菱形,∴AD∥BC,AB=BC=CD=DA.又∵∠ABC=60°,∴BC=AC=AD.∵DE∥AC,∴ACED为平行四边形.∴CE=AD=BC,DE=AC.∴DE=CE=BC,∴DE=BE.126.如图,菱形ABCD中,E,F分别是BC,CD上的点,∠B=∠EAF=60°,∠BAE=18°,求∠CEF的度数.【解析】连接AC.∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,∠ACB=∠ACF.又∵∠B=60°,∴△ABC是等边三角形,∴∠BAC=∠ACB=60°,AB=AC.∴∠ACF=∠B=60°.∵∠EAF=∠BAC=60°,∴∠BAE=∠CAF,∴△ABE≌△ACF,∴AE=AF,∴△AEF是等边三角形,∴∠AEF=60°.又∵∠AEF+∠CEF=∠B+∠BAE,∠BAE=18°,∴∠CEF=18°.题组二：菱形的有关计算1.(2013·巴中中考)如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD的周长是()【解析】选C.∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=4，∴AC⊥BD，OA=AC=3，OB=BD=2，AB=BC=CD=AD，∴在Rt△AOB中，∴菱形的周长是A24B16C413D23．．．．121222ABOAOB13，4AB413．2.(2013·扬州中考)如图,在菱形ABCD中,∠BAD=80°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,垂足为E,连接DF,则∠CDF等于()A.50°B.60°C.70°D.80°【解析】选B.如图,连接BF,∵在菱形ABCD中,∠BAD=80°,∴∠FAB=∠DCF=40°,∵EF垂直平分AB,∴AF=BF,则∠FAB=∠FBA=40°,∴∠CFB=∠FAB+∠FBA=80°,∴在△CDF中,∠CDF=60°.3.(2013·随州中考)如图,在菱形ABCD中,∠BAD=120°.已知△ABC的周长是15,则菱形ABCD的周长是()A.25B.20C.15D.10【解析】选B.∵AC是菱形ABCD的对角线,∠BAD=120°,∴∠BAC=60°.∵AB=BC,∴△ABC是等边三角形.∵△ABC的周长是15,∴边长AB=5.∴菱形ABCD的周长为5×4=20.【归纳整合】含有60°或120°内角的菱形的性质(1)短的对角线与菱形相邻的两边构成的三角形是等边三角形.(2)菱形的两条对角线把菱形分成的四个全等的直角三角形中的较小锐角为30°，可利用这一特殊边角关系解决问题.(3)如果菱形的边长为a，那么菱形的面积为23a.24.如图,菱形ABCD的边长是2cm,E是AB的中点,且DE⊥AB,则菱形ABCD的面积为cm2.【解析】因为E是AB的中点，所以AE=1cm,又因为DE⊥AB,所以在Rt△ADE中，DE=所以菱形的面积为答案：22ADAE413cm，2ABDE23cm.g235.如图,在菱形ABCD中,E是AB的中点,作EF∥BC,交AC于点F.如果EF=4,求CD.【解析】∵E为AB的中点,EF∥BC,∴F为AC的中点,∴EF=BC,又EF=4,∴BC=8,∵四边形ABCD为菱形,∴BC=CD,∴CD=8.126.若菱形ABCD的周长为12cm,相邻两角的比为5∶1,那么菱形对边间的距离是多少?【解析】如图,过A作AE⊥BC,∵∠BAD∶∠B=5∶1且∠BAD+∠B=180°,∴∠B=30°,∴AE=AB,∵菱形ABCD的周长是12cm,∴AB=12÷4=3(cm),∴AE=cm.12327.已知菱形的周长为40cm,两条对角线之比为3∶4,求菱形的面积.【解析】如图,∵菱形ABCD的周长是40cm,∴AB=10cm.∵OA=AC,OB=BD,AC∶BD=4∶3,∴OA∶OB=4∶3.设OA=4x,OB=3x,由勾股定理,得(4x)2+(3x)2=102,解得x=2.那么OA=8,OB=6.∴AC=16,BD=12,S菱形ABCD=AC·BD=×16×12=96(cm2).12121212【想一想错在哪？】已知菱形的周长为24,一条对角线长为8,求菱形的面积.提示:菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半.