2019秋高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列 第1课时 等比数列的概念与通项公式课件 新人教A

第二章数列2．4等比数列第1课时等比数列的概念与通项公式[学习目标]1.通过实例，理解等比数列的概念并会简单应用．(重点)2.掌握等比中项的概念并会应用．3.掌握等比数列的通项公式，了解其推导过程．(重点，难点)[知识提炼·梳理]1．等比数列的概念(1)定义：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数．(2)公比：这个常数叫做等比数列的公比．(3)公比的表示：q．2．等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，其满足的关系式为ab＝G2．3．等比数列的通项公式首项是a1，公比是q(q≠0)的通项公式为an＝a1·qn－1(a1≠0，q≠0)．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．()(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．()(3)常数列一定为等比数列．()(4)任何两个数都有等比中项．()解析：(1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列．(2)错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零．(3)错误，当常数列不为零时，该数列才是等比数列．(4)错误，当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则公比q＝()A.12B．－12C．2D．－2解析：因为a2＝a1q＝2①，a5＝a1q4＝14②，由②÷①，得q3＝18，所以q＝12.答案：A3．若数列{an}是等比数列，则下列数列中一定成等比数列的有()①{a2n}；②{a2n}；③{lgan}；④1an；⑤{|an|}；⑥{can}(c为常数且不等于0)；⑦{an±k}(k≠0)．A．6个B．5个C．4个D．3个解析：①、②、④、⑤、⑥均为等比数列，共5个．答案：B4．在等比数列{an}中，a1＝18，q＝2，则a4与a8的等比中项为()A．±4B．4C．±14D.14解析：由题意得(±a6)2＝a4·a8，因为a1＝18，q＝2，所以a4与a8的等比中项为±a6＝±4.答案：A5．在等比数列{an}中，a4＝27，q＝－3，则a7＝________．解析：a4＝a1q3＝a1(－3)3＝27，故a1＝－1，a7＝a1q6＝－1×(－3)6＝－729.答案：－729类型1等比数列的通项公式[典例1]在等比数列{an}中，(1)a4＝2，a7＝8，求an；(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.解：(1)法一因为a4＝a1q3，a7＝a1q6，所以a1q3＝2，a1q6＝8.两式相除得q3＝4，从而q＝34，而a1q3＝2，于是a1＝2q3＝12.所以an＝a1qn－1＝22n－53.法二因为a7＝a4q3，所以q3＝4.所以an＝a4qn－4＝2·(34)n－4＝22n－53.(2)法一因为a2＋a5＝a1q＋a1q4＝18，a3＋a6＝a1q2＋a1q5＝9，所以两式相除得q＝12，从而a1＝32.又an＝1，所以3212n－1＝1，即26－n＝20，所以n＝6.法二因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝12.由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32.由an＝a1qn－1＝1，知n＝6.归纳升华1．在已知a1和q的前提下，利用公式an＝a1qn－1可求出等比数列中任意一项．2．在通项公式中知道a1、q、n、an四个量中的任意三个，可求得另一个量．[变式训练]在等比数列{an}中，(1)已知an＝128，a1＝4，q＝2，求n；(2)已知an＝625，n＝4，q＝5，求a1；(3)已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式．解：(1)因为an＝a1·qn－1，所以4·2n－1＝128，所以2n－1＝32，所以n－1＝5，n＝6.(2)a1＝anqn－1＝62554－1＝5，故a1＝5.(3)a3＝a1·q2，即8＝2q2，所以q2＝4，所以q＝±2.当q＝2时，an＝a1qn－1＝2·2n－1＝2n，当q＝－2时，an＝a1qn－1＝2(－2)n－1＝(－1)n－12n，所以数列{an}的公比为2或－2，对应的通项公式分别为an＝2n或an＝(－1)n－12n.类型2等比数列的判定、证明[典例2](2018·全国卷Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝ann.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；(3)求{an}的通项公式．解：(1)由条件可得an＋1＝2（n＋1）nan.将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得an＋1n＋1＝2ann，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得ann＝2n－1，所以an＝n·2n－1.归纳升华判断或证明一个数列为等比数列的常用方法1．定义法：an＋1an＝q(q为常数且q≠0)等价于{an}是等比数列．2．等比中项法：a2n＋1＝anan＋2(n∈N*且an≠0)等价于{an}是等比数列．3．通项公式法：an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)等价于{an}是等比数列．[变式训练]已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{bn}的通项公式．(1)证明：因为an＋Sn＝n，①所以an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②②—①得an＋1－an＋an＋1＝1，所以2an＋1＝an＋1，所以2(an＋1－1)＝an－1，所以an＋1－1an－1＝12.由a1＋a1＝1知，a1＝12，所以a1－1＝12－1＝－12≠0，所以{an－1}是等比数列．又cn＝an－1，所以首项c1＝－12，公比q＝12，所以{cn}是以－12为首项，12为公比的等比数列．(2)解：由(1)可知cn＝－12·12n－1＝－12n，因为cn＝an－1，所以an＝cn＋1＝1－12n，所以当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－12n－[1－12n－1]＝12n－1－12n＝12n.又b1＝a1＝12，代入上式也符合，所以bn＝12n.类型3等比中项[典例3]已知在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．解：设该等比数列的公比为q，因为a1＋a1q＋a1q2＝168，a1q－a1q4＝42，所以a1（1＋q＋q2）＝168，①a1q（1－q3）＝42.②1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，②÷①得q(1－q)＝14⇒q＝12，所以a1＝42q－q4＝4212－124＝96.若G是a5，a7的等比中项，则应有G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝a21q10＝962·1210＝9.所以G＝±3.即a5，a7的等比中项为±3.归纳升华等比中项的三点认识1．当a，b同号时，a，b的等比中项有两个；当a，b异号时，没有等比中项．2．在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．3．“a，G，b成等比数列”等价于“G2＝ab”(a，b均不为0)，要特别注意限定的条件，否则是不等价的．可以用它来判断或证明三个数成等比数列，同时还要注意到“a，G，b成等比数列”与“G＝±ab”是不等价的．[变式训练](1)已知－1，x，－4成等比数列，则x的值为()A．2B．－52C．2或－2D．－2或2(2)方程2x2－3x＋1＝0两根的等比中项是________．解析：(1)因为－1，x，－4成等比数列，所以x2＝4，所以x＝±2.(2)2x2－3x＋1＝0，x1＝12，x2＝1，x1与x2的等比中项为±22.答案：(1)C(2)±221．要注意利用等比数列的定义解题，在很多时候紧扣定义是解决问题的关键．2．注意基本量法：在用等比数列通项公式时，以首项a1，公比q为基本量，其他量用这两个量表示出来，再寻求条件与结论的联系，往往使很多问题容易解决．3．若已知三个数成等比数列，一般设为：aq－1，a，aq.若已知五个数成等比数列，一般设为：aq－2，aq－1，a，aq，aq2.若前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，可设四个数分别为a－d，a，a＋d，（a＋d）2a或2aq－1－a，aq－1，a，aq.具体设法，要视题设条件不同而选择，以便于运算为目的．4．等比中项概念要掌握好，在题目中经常出现．