2019-2020学年新教材高中物理 第二章 匀变速直线运动的研究 习题课2 匀变速直线运动规律的综

习题课匀变速直线运动规律的综合应用考点一中间时刻的瞬时速度和位移中点的瞬时速度1．中间时刻的瞬时速度(1)推导：在匀变速直线运动中，对于某一段时间t，其中间时刻的瞬时速度vt2＝v0＋12at，该段时间的末速度v＝v0＋at，由平均速度的定义式和匀变速直线运动的位移公式整理加工可得v＝xt＝v0t＋12at2t＝v0＋12at＝2v0＋at2＝v0＋v0＋at2＝v0＋v2＝.即v＝v0＋v2＝.故在匀变速直线运动中，某一段时间内的平均速度等于该段时间内中间时刻的瞬时速度，又等于这段时间内初速度和末速度的算术平均值．(2)v＝xt与v＝v0＋v2的比较v＝xt适用于任何形式的运动；v＝v0＋v2只适用于匀变速直线运动．(3)用平均速度求位移，因为不涉及加速度，比较简单方便，且要注意x＝vt＝v0＋v2t也是矢量式．2．位移中点的瞬时速度(1)公式做匀变速直线运动的物体，在某段位移中点位置的瞬时速度与这段位移始、末位置瞬时速度的关系为＝v2＋v202.(2)推导设匀变速直线运动的初速度为v0，加速度为a，末速度为v，位移为x，设物体经过这段位移的中点时的速度为，如图所示．【典例1】一物体以某一速度冲上一光滑斜面，做匀变速直线运动，且返回时加速度不变．前4s的位移为1.6m，随后4s的位移为零，那么物体的加速度为多大？[思路点拨](1)物体的初速度v0的方向沿斜面向上，物体的加速度a的方向沿斜面向下；(2)物体在光滑斜面上先向上做减速运动，后向下做加速运动，加速度的大小和方向不变化；(3)综合匀变速直线运动的规律，有多种方法解答．[解析]设物体的加速度大小为a，由题意知，a的方向沿斜面向下．解法一：基本公式法物体前4s的位移为1.6m，是匀减速直线运动，所以有x＝v0t－12at2代入数据1.6m＝v0×4s－12a×(4s)随后4s位移为零，则物体滑到最高点所用时间为t′＝4s＋42s＝6s所以初速度为v0＝at′＝a×6s由以上两式得物体的加速度大小为a＝0.1m/s2解法二：平均速度法v＝vt2＝v0＋v2物体2s末时的速度即前4s内的平均速度为v2＝v＝1.64m/s＝0.4m/s物体6s末的速度为v6＝0，所以物体的加速度大小为a＝v2－v6t＝0.4－04m/s2＝0.1m/s2解法三：逆向思维法由题意知，此物体沿斜面速度减到零后，又逆向加速．全过程应用x＝v0t＋12at2得1．6m＝v0×4s－12a×(4s)1．6m＝v0×8s－12a×(8s)由以上两式得a＝0.1m/s2，v0＝0.6m/s[答案]0.1m/s2中间时刻的瞬时速度()与位移中点的瞬时速度()的比较1．物体由静止开始做匀加速直线运动，第3s内通过的位移是3m，则下列说法中不正确的是()A．第3s内的平均速度是3m/sB．物体的加速度是1.2m/s2C．前3s内的位移是6mD．3s末的速度是3.6m/s[解析]由v＝at可得，第2秒末的速度为v2＝a·2，第3秒末的速度为v3＝a·3，由v＝ΔxΔt＝v0＋v2可得，第3秒内的平均速度为v＝3m/s，物体的加速度为a＝1.2m/s2，v3＝3.6m/s，前3s内的位移x＝12×1.2×32m＝5.4m，C错误．[答案]C2．(多选)光滑的斜面长度为L，一物体自斜面顶端由静止开始匀加速滑至底端，经历的时间为t，则()A．物体运动全过程的平均速度是LtB．物体运动到斜面中点时瞬时速度是2L2tC．物体在t2时的瞬时速度是2LtD．物体从顶点运动到斜面中点所需时间是2t2[解析]由平均速度公式可知v＝ΔxΔt＝Lt＝，A正确，C错误；物体运动到斜面中点时瞬时速度＝0＋v22＝v2＝2v2＝2Lt，B错误；由x＝12at2可知，L＝12at2，L2＝12a(t′)2，所以物体从顶点运动到斜面中点所需时间t′＝2t2，D正确．[答案]AD考点二初速度为零的匀加速直线运动的几个比例关系1．速度比例1T末、2T末、3T末、…、nT末的速度之比v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n.2．位移比例(1)1T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2.(2)第1个T内、第2个T内、第3个T内、…、第N个T内的位移之比xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN＝1∶3∶5∶…∶(2N－1)．3．时间比例(1)通过前x、前2x、前3x、…、前Nx的位移所用的时间之比tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…∶tN＝1∶2∶3∶…∶N.(2)通过连续相等的位移所用的时间之比t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(2－1)∶(3－2)∶…∶(n－n－1)．【典例2】做匀减速直线运动的物体经6s后停止，若在第2s内的位移是27m，则第5s内的位移是()A．7.5mB．4.5mC．15mD．9m[思路点拨]应用逆向思维法和初速度为零的匀加速直线运动的比例规律求解．[解析]用逆向思维，把物体的运动看成初速度为零的匀加速直线运动，则物体在第6s内、第5s内、…、第2s内、第1s内的位移之比为1∶3∶…∶9∶11，所以x5x2＝x527m＝39，解得x5＝9m，故D正确．[答案]D典例2涉及到的比例式适用于初速度为0的匀加速直线运动，但应用逆向转换的方法也可以用来求解匀减速直线运动减速到速度为0的运动.3．一颗子弹沿水平方向射来，恰好穿透三块相同的木板，设子弹穿过木板时的加速度恒定，则子弹穿过三块木板所用的时间之比为()A．1∶2∶3B．1∶2∶3C．(3－2)∶(2－1)∶1D．1∶2∶3[解析]子弹穿透木板的加速度恒定，末速度为0，可以直接利用通过相等位移的时间之比为1∶(2－1)∶(3－2)∶…∶(n－n－1，C正确．[答案]C4．物体做初速度为零的匀加速直线运动，第1s内的位移是5m，则()A．物体的加速度是5m/s2B．物体的加速度为10m/s2C．物体在第2s内的位移为10mD．物体在第4s内的位移是20m[解析]由x＝12at2得，a＝2xt2＝2×512m/s2＝10m/s2，故A错误，B正确；初速度为零的匀加速直线运动在连续相等的时间内的位移之比为x1∶x2∶x3∶x4＝1∶3∶5∶7，由于x1＝5m，所以x2＝3x1＝15m，x4＝7x1＝35m，故C、D均错误．[答案]B考点三对公式Δx＝aT2的理解和应用匀变速直线运动中，任意两个连续相等的时间间隔T内，位移差是一个常量，即Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2.(1)推导：时间T内的位移x1＝v0T＋12aT2①在时间2T内的位移x2＝v0·2T＋12a(2T)2②则xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1③由①②③得Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2.(2)此推论常有两方面的应用：一是判断物体是否做匀变速直线运动，二是求加速度．【典例3】在测定匀变速直线运动的加速度的实验中，用打点计时器记录纸带运动的时间，计时器所用电源的频率为50Hz，如图为小车带动的纸带上记录的一些点，在每相邻的两点中间都有四个点未画出．按时间顺序取0、1、2、3、4、5六个计数点，用刻度尺量出1、2、3、4、5点到0点的距离如图所示．(1)分析小车做什么运动；(2)若小车做匀变速直线运动，则当打第3个计数点时，求小车的速度大小；(3)求小车的加速度．[思路点拨]分析处理纸带时，通常对位移、速度、加速度逐一处理：(1)可用“位移差”法判断物体的运动情况；(2)可利用“平均速度”法vn＝xn＋xn＋12T求瞬时速度；(3)可用逐差法求加速度．[解析](1)因为电源频率为50Hz，所以打点的周期T0＝1f＝0.02s，相邻计数点的时间间隔为T＝5T0＝0.1s.由题图可得相邻计数点间的位移分别为x1＝8.78cm，x2＝7.30cm，x3＝5.79cm，x4＝4.29cm，x5＝2.78cm.所以相邻计数点间的位移之差为Δx1＝x2－x1＝－1.48cm，Δx2＝x3－x2＝－1.51cm，Δx3＝－1.50cm，Δx4＝－1.51cm.在误差允许范围内，可近似认为Δx1＝Δx2＝Δx3＝Δx40，即连续相等时间内的位移差相等且为负值，所以小车做匀减速直线运动．(2)由匀变速直线运动规律可得v3＝x3＋x42T＝5.79＋4.29×10－22×0.1m/s＝0.5040m/s.(3)解法一：逐差法a1＝x4－x13T2＝4.29－8.78×10－23×0.12m/s2＝－1.497m/s2a2＝x5－x23T2＝2.78－7.30×10－23×0.12m/s2＝－1.507m/s2a＝a1＋a22＝－1.497＋1.5072m/s2＝－1.502m/s2负号表示加速度方向与初速度方向相反．也可以利用a＝x5＋x4－x1＋x26T2求解解法二：图像法v1＝x1＋x22T＝8.78＋7.30×10－22×0.1m/s＝0.8040m/s同理，v2＝0.6545m/s，v3＝0.5040m/s，v4＝0.3535m/s，由v1＝v0＋v22得v0＝2v1－v2＝0.9535m/s，同理得v5＝0.2030m/s.作出v－t图像(使尽量多的点落在图线上，以减小误差)，如图所示，求出图线斜率即加速度．即小车的加速度a＝0.952－0.2000－0.5m/s2＝－1.504m/s2，负号表示加速度方向与初速度方向相反．[答案](1)小车做匀减速直线运动(2)0.5040m/s(3)－1.502m/s2(±0.02均正确)，负号表示加速度方向与初速度方向相反Δx＝aT2一般用于处理纸带问题由纸带粗略地判断物体是否做匀变速直线运动(1)常用“位移差”法判断物体的运动情况，即判断纸带上的任意相邻计数点间的位移是否满足关系式xn＋1－xn＝aT2.设相邻计数点之间的位移分别为x1、x2、x3、….①若x2－x1＝x3－x2＝x4－x3＝0，则物体做匀速直线运动．②若x2－x1＝x3－x2＝x4－x3＝Δx≠0，则物体做匀变速直线运动．(2)位移x：指两个计数点之间的距离，一般可用刻度尺测量得到．5．(多选)某质点做匀变速直线运动，第3s内的位移是6m，第7s内的位移是10m，则下列说法中正确的是()A．质点的初速度是3.5m/sB．质点运动的加速度是1m/s2C．质点运动的加速度是4m/s2D．质点在4.5s末的瞬时速度是8m/s[解析]根据匀变速直线运动的推论Δx＝aT2，对于第3s和第7s有10－6＝4a×12，所以质点的加速度为1m/s2，B正确，C错误；根据匀变速直线运动规律x＝v0t＋12at2，对于第3s有6＝v2×1＋12×1×12，得到2s末的速度为v2＝5.5(m/s)，然后再根据v＝v0＋at可以得到质点的初速度是3.5m/s，质点在4.5秒末的瞬时速度是8m/s，A、D正确．[答案]ABD6．一物体做匀变速直线运动，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24m和64m，每一个时间间隔为4s，求物体在这段时间内的初速度、末速度及加速度的大小．[解析]运动过程如图所示．解法一：基本公式法由位移公式得，x1＝vAT＋12aT2x2＝vA·2T＋12a·(2T)2－vAT＋12aT2vC＝vA＋a·2T将x1＝24m，x2＝64m，T＝4s代入以上三式，解得a＝2.5m/s2，vA＝1m/s，vC＝21m/s解法二：用平均速度公式连续两段相等时间T内的平均速度分别为：v1＝x1T＝244m/s＝6m/s，v2＝x2T＝644m/s＝16m/s，且v1＝vA＋vB2，v2＝vB＋vC2，由于B是AC的中间时刻，则vB＝vA＋vC2＝v1＋v22＝6＋162m/s＝11m/s解得vA＝1m/s，vC＝21m/s其加速度为a＝vC－vA2T＝21－12×4m/s2＝2.5m/s2解法三：逐差法由Δx＝aT2可得a＝ΔxT2＝64－2416m/s2＝2.5m/s2又x1＝vAT＋12aT2，vC＝vA＋a·2T三式联立代入数据解得vA＝1m/s，vC＝21m/s[答案]1m/s21m/s2.5m/s2考点四追及