2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 函数的单调性与导数课件 新人教A版

1.3导数在研究函数中的应用1．3.1函数的单调性与导数一、预习教材·问题导入根据以下提纲，预习教材P22～P26的内容，回答下列问题．(1)观察教材P22图1.3－1，回答下列问题：①函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10在区间(0，a)上的单调性是什么？h′(t)的符号是正还是负？提示：h(t)在(0，a)上为增函数，h′(t)0.②函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10在区间(a，b)上的单调性是什么？h′(t)的符号是正还是负？提示：h(t)在(a，b)上为减函数，h′(t)0.(2)观察教材P23图1.3－2.函数的单调性与其导函数的正负有什么关系？提示：①在区间(－∞，＋∞)内，y′(x)＝10，y(x)是增函数；②在区间(－∞，0)内，y′(x)＝2x0，y(x)是减函数；在区间(0，＋∞)内，y′(x)＝2x0，y(x)是增函数；③在区间(－∞，＋∞)内，y′(x)＝3x2≥0，y(x)是增函数；④在区间(－∞，0)，(0，＋∞)内，y′(x)＝－1x20，y(x)是减函数．(3)观察教材P26图1.3－7，函数f(x)在(0，a)和(a，＋∞)上都是单调递增的，但在(0，a)内的图象“陡峭”，在(a，＋∞)内的图象“平缓”，试比较f(x)在(0，a)和(a，＋∞)内导数的大小有什么关系？提示：在(0，a)上的导数值大于在(a，＋∞)上的导数值．(4)观察函数f(x)＝1x，x∈(0，＋∞)的图象，试比较图象在(0,1)和(1，＋∞)上的“陡峭”或“平缓”与f′(x)在(0,1)和(1，＋∞)内的大小有什么关系？提示：在(0,1)内图象“陡峭”，在(1，＋∞)内图象“平缓”，导函数f′(x)在(0,1)内的绝对值大于在(1，＋∞)内的绝对值．二、归纳总结·核心必记1．函数的单调性与其导数正负的关系一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：导数函数的单调性f′(x)0单调_____f′(x)0单调_____f′(x)＝0常数函数递增递减2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：导数的绝对值函数值变化函数的图象越大____比较“”(向上或向下)越小____比较“”(向上或向下)快陡峭慢平缓三、综合迁移·深化思维(1)如果在区间(a，b)内恒有f′(x)＝0，则f(x)有什么特性？提示：f(x)为常数函数，不具有单调性．提示：不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零．也就是说f′(x)0是y＝f(x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件．(2)在区间(a，b)内，若f′(x)0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？(3)下图为导函数y＝f′(x)的图象，则函数y＝f(x)的单调区间是什么？提示：单调递增区间：(－∞，－3]，[－2,1]，[3，＋∞)；单调递减区间：[－3，－2]，[1,3]．探究点一函数与导函数图象间的关系[典例精析](1)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为()(2)已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是()[解](1)由函数的图象可知：当x0时，函数单调递增，导数始终为正；当x0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.(2)从f′(x)的图象可以看出，在区间a，a＋b2内，导数单调递增；在区间a＋b2，b内，导数单调递减．即函数f(x)的图象在a，a＋b2内越来越陡，在a＋b2，b内越来越平缓，由此可知，只有选项D符合．[答案](1)D(2)D[类题通法]研究函数与导函数图象之间关系的方法研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．[针对训练]1．(1)函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数的图象大致是()解析：因为函数f(x)在(0，＋∞)和(－∞，0)上都是单调递减的，即f′(x)0.答案：D(2)函数y＝f(x)在定义域R上有导数，其导函数的图象如图所示，则函数y＝f(x)的递增区间为____________；递减区间为________________．解析：由f′(x)的图象可知，当x∈(－2，－1)∪(1,3)∪(4，＋∞)时，f′(x)0；当x∈(－∞，－2)∪(－1,1)∪(3,4)时，f′(x)0.故函数f(x)的增区间为(－2，－1)，(1,3)，(4，＋∞)；减区间为(－∞，－2)，(－1,1)，(3,4)．答案：(－2，－1)，(1,3)，(4，＋∞)(－∞，－2)，(－1,1)，(3,4)探究点二判断(证明)函数的单调性[思考探究](1)若函数f(x)为可导函数，且在区间(a，b)上是单调递增(或递减)函数，则f′(x)满足什么条件？名师指津：f′(x)≥0(或f′(x)≤0)．(2)若函数f(x)在(a，b)上满足f′(x)0(或f′(x)0)，则f(x)在(a，b)上具备什么样的单调性？名师指津：若f′(x)0，则f(x)在(a，b)上为增函数；若f′(x)0，则f(x)在(a，b)上为减函数．[典例精析]求证：函数f(x)＝ex－x－1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数．[解]由于f(x)＝ex－x－1，所以f′(x)＝ex－1，当x∈(0，＋∞)时，ex＞1，即f′(x)＝ex－10.故函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数，当x∈(－∞，0)时，ex1，即f′(x)＝ex－10.故函数f(x)在(－∞，0)内为减函数．[类题通法]利用导数判断或证明函数单调性的思路[针对训练]2．试证明：函数f(x)＝lnxx在区间(0,2)上是单调递增函数．证明：由于f(x)＝lnxx，所以f′(x)＝1x·x－lnxx2＝1－lnxx2.由于0x2，所以lnxln21，故f′(x)＝1－lnxx20，即函数f(x)＝lnxx在区间(0,2)上是单调递增函数．探究点三利用导数求函数的单调区间[思考探究]f′(x)0或f′(x)0的解集与函数f(x)的单调区间有什么关系？名师指津：f′(x)0的解集对应函数f(x)的单调递增区间；f′(x)0的解集对应函数f(x)的单调递减区间．[典例精析]求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x3－2x2＋x；(2)f(x)＝3x2－2lnx.[解](1)函数的定义域为R，∵f(x)＝x3－2x2＋x，∴f′(x)＝3x2－4x＋1.令f′(x)0，解得x1或x13.因此f(x)的单调递增区间是－∞，13，(1，＋∞)．令f′(x)0，解得13x1.因此f(x)的单调递减区间是13，1.(2)函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝6x－2x＝2·3x2－1x.令f′(x)0，即2·3x2－1x0，解得－33x0或x33，又x0，∴x33；令f′(x)0，即2·3x2－1x0，解得x－33或0x33，又x0，∴0x33.∴f(x)的单调递增区间为33，＋∞；单调递减区间为0，33.[类题通法]利用导数求函数单调区间的步骤(1)求函数的定义域；(2)求f′(x)，解不等式f′(x)0(或f′(x)0)；(3)利用不等式的解集与定义域求交集得单调区间．注意事项：①求函数的单调区间，必须在函数的定义域内进行．②如果函数的单调区间有多个时，单调区间不能用“∪”符号连接，只能用“，”或“和”隔开．③导数法求得的单调区间一般用开区间表示．[针对训练]3．求函数f(x)＝exx－2的单调区间．解：函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．f′(x)＝exx－2－exx－22＝exx－3x－22.因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex0，(x－2)20.由f′(x)0得x3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；由f′(x)0得x3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．探究点四与参数有关的函数单调性问题[典例精析]已知函数f(x)＝x3－ax－1.讨论f(x)的单调区间．[思路点拨]由题意，可先求f′(x)，然后根据a的取值情况，讨论f′(x)0或f′(x)0的解集即可．[解]f′(x)＝3x2－a.(1)当a≤0时，f′(x)≥0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．(2)当a0时，令3x2－a＝0，得x＝±3a3.当x3a3或x－3a3时，f′(x)0；当－3a3x3a3时，f′(x)0.因此f(x)在－∞，－3a3，3a3，＋∞上为增函数，f(x)在－3a3，3a3上为减函数．综上可知，当a≤0时，f(x)在R上为增函数．当a0时，f(x)在－∞，－3a3，3a3，＋∞上为增函数，在－3a3，3a3上为减函数．[类题通法]讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参数不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但要始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准．[针对训练]4．(1)本例中f(x)不变，若f(x)为单调递增函数，求实数a的取值范围；(2)本例中f(x)不变，若f(x)在区间(1，＋∞)内为增函数，求a的取值范围；(3)本例中f(x)不变，若f(x)在区间(－1,1)上为减函数，试求a的取值范围；(4)本例中f(x)不变，若f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求a的取值范围；(5)本例中f(x)不变，若f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．解：(1)由已知得f′(x)＝3x2－a，因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立．因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0.即实数a的取值范围为(－∞，0]．(2)因为f′(x)＝3x2－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f′(x)≥0在(1，＋∞)恒成立，即3x2－a≥0在(1，＋∞)恒成立，所以a≤3x2在(1，＋∞)恒成立，即a的取值范围为(－∞，3]．(3)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，得a≥3x2在x∈(－1,1)恒成立．因为－1x1，所以3x23，所以a≥3.即a的取值范围是[3，＋∞)．(4)由例题可知，f(x)的单调递减区间为－3a3，3a3，∴3a3＝1，即a＝3.(5)∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a，由f′(x)＝0，得x＝±3a3(a≥0)，∵f(x)在区间(－1,1)上不单调，∴03a31，即0a3.故a的取值范围为(0,3)．[课堂归纳领悟]1．本节课的重点是函数的单调性与其导数正负的关系、函数图象的变化趋势与导数绝对值大小的关系．难点是与参数有关的函数单调性问题．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)函数与导函数图象间关系的应用，见探究点一；(2)判断(证明)函数单调性的方法，见探究点二；(3)利用导数求函数单调区间的方法，见探究点三；(4)利用导数解决与参数有关的函数单调性问题，见探究点四．3．在利用导数求函数的单调区间时，易忽视函数的定义域，这是本节课的易错点，如探究点三(2)．