2019-2020学年高中数学 第三章 函数的应用 3.2.2 函数模型的应用实例课件 新人教A版必

知识点几类常见函数模型名称解析式条件一次函数模型y＝kx＋bk≠0反比例函数模型y＝kx＋bk≠0二次函数模型一般式：y＝ax2＋bx＋c顶点式：y＝ax＋b2a2＋4ac－b24aa≠0指数函数模型y＝b·ax＋ca0且a≠1，b≠0对数函数模型y＝mlogax＋na0且a≠1，m≠0幂函数模型y＝axn＋ba≠0，n≠1建立函数模型应把握的三个关口(1)事理关：通过阅读、理解，明白问题讲什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口．(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系．(3)数理关：在构建数学模型的过程中，利用已有的数学知识进行检验，从而认定或构建相应的数学问题．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在一次函数模型中，系数k的取值会影响函数的性质．()(2)在幂函数模型的解析式中，a的正负会影响函数的单调性．()√√2．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y＝5x＋4000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为()A．200副B．400副C．600副D．800副解析：利润z＝10x－y＝10x－(5x＋4000)≥0.解得x≥800.答案：D3．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林()A．14400亩B．172800亩C．20736亩D．17280亩解析：设年份为x，造林亩数为y，则y＝10000×(1＋20%)x－1，∴x＝4时，y＝17280.故选D.答案：D4．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y＝4x，1≤x10，x∈N*2x＋10，10≤x100，x∈N*1.5x，x≥100，x∈N*其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为________．解析：令y＝60，若4x＝60，则x＝1510，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40100，不合题意．故拟录用人数为25人．答案：25类型一二次函数模型例1某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个．现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值．【解析】设每个提价x元(x≥0，x∈N)，利润为y元．每天销售总额为(10＋x)(100－10x)元，进货总额＝8(100－10x)元，显然100－10x0，即x10，则y＝(10＋x)(100－10x)－8(100－10x)＝(2＋x)(100－10x)＝－10(x－4)2＋360(0≤x10，x∈N)．当x＝4时，y取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元．答：当售价定为14元时，可使每天所赚的利润最大，最大利润为360元．可根据实际问题建立函数模型解析式．方法归纳在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，因为根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最小等问题．跟踪训练1某地预计明年从年初开始的前x个月内，某种商品的需求总量f(x)(万件)与月份x的近似关系为f(x)＝1150x(x＋1)(35－2x)(x∈N，且x≤12)．(1)写出明年第x个月的需求量g(x)(万件)与月份x的函数关系式；(2)求哪个月份的需求量最大？最大值为多少？解析：(1)由题意知：g(x)＝f(x)－f(x－1)＝1150·x(x＋1)(35－2x)－1150(x－1)x[35－2(x－1)]＝1150x[(x＋1)(35－2x)－(x－1)(37－2x)]＝1150x(72－6x)＝125x(12－x)．∴g(x)＝125x(12－x)(x∈N且x≤12)．(2)g(x)＝x25(12－x)＝－125(x2－12x＋36－36)＝－125[(x－6)2－36]＝－125(x－6)2＋3625，∴当x＝6时，g(x)有最大值3625.即第六个月需求量最大，为3625万件．1.审题2．建模3．求解类型二分段函数模型例2为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租．该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(日净收入＝一日出租自行车的总收入－管理费用)．(1)求函数y＝f(x)的解析式及其定义域；(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使日净收入最多？【解析】(1)当x≤6时，y＝50x－115，令50x－1150，解得x2.3.因为x∈N*，所以x≥3，所以3≤x≤6，x∈N*.当x6时，y＝[50－3(x－6)]x－115.令[50－3(x－6)]x－1150，得3x2－68x＋1150.解得2≤x≤20，又x∈N*，所以6x≤20，x∈N*，故y＝50x－115，3≤x≤6，x∈N*，－3x2＋68x－115，6x≤20，x∈N*，定义域为{x|3≤x≤20，x∈N*}．(2)对于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈N*)，显然当x＝6时，ymax＝185，对于y＝－3x2＋68x－115＝－3x－3432＋8113(6x≤20，x∈N*)．当x＝11时，ymax＝270，因为270185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使日净收入最多.(1)利用函数关系建立各个取值范围内的净收入与日租金的关系式，写出分段函数，注意实际问题中自变量的取值范围．(2)利用一次函数的单调性及二次函数的性质分别求分段函数各段上的最大值，取其最大的即可．方法归纳(1)分段函数是刻画现实问题的重要模型，由自变量变化所遵循规律的不同决定的，函数的分段表示是建模的关键．(2)若求分段函数值域或最值时，应对分段函数中的每段函数分别求出值域或最值，然后再由各段函数的值域或最值确定本函数的值域或最值．分类讨论思想是本类问题的主要思想方法．跟踪训练2某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x,3x(吨)．(1)求y关于x的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．解析：(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，此时乙的用水量也不超过4吨，y＝(5x＋3x)×1.8＝14.4x；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时，即3x≤4且5x4，y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8；当乙的用水量超过4吨时，即3x4，显然甲的用水量也超过4吨，y＝24x－9.6.所以y＝14.4x，0≤x≤45，20.4x－4.8，45x≤43，24x－9.6，x43.(2)由于y＝f(x)在各段区间上均为单调递增，当x∈0，45时，y≤f4526.4；当x∈45，43时，y≤f4326.4；当x∈43，＋∞时，令24x－9.6＝26.4，解得x＝1.5.所以甲户用水量为5x＝7.5，付费S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)；乙户用水量为3x＝4.5吨，付费S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．答：甲户用水量7.5吨，付费17.70元；乙户用水量4.5吨，付费8.70元．构建分段函数时，注意变量取值不同，分成对应几段．类型三指数、对数函数模型例3目前某县有100万人，经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：(1)写出y关于x的函数解析式；(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)．【解析】(1)当x＝1时，y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)；当x＝2时，y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2；当x＝3时，y＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3；……故y关于x的函数解析式为y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)．(2)当x＝10时，y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7.故10年后该县约有112.7万人．(3)设x年后该县的人口总数为120万，即100×(1＋1.2%)x＝120，解得x＝log1.012120100≈16.故大约16年后该县的人口总数将达到120万.利用每年的平均增长率为1.2%，依次列出指数函数关系式进行求解．方法归纳在实际问题中，有关人口增长、银行利率研发资金等增长问题可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N·(1＋p)x(其中N为原来的基础数，p为增长率，x为时间)的形式．另外，指数方程常利用对数进行计算，指数、对数在很多问题中可转化应用．跟踪训练3大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝12log3θ100，单位是m/s，θ是表示鱼的耗氧量的单位数．(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？(2)某条鲑鱼想把游速提高1m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍．解析：(1)由v＝12log3θ100可知，当θ＝900时，v＝12log3900100＝12log39＝1(m/s)．所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1m/s.(2)由v2－v1＝1，即12log3θ2100－12log3θ1100＝1，得θ2θ1＝9.所以耗氧量的单位数为原来的9倍．建立对数模型，利用对数相关性质及对数的运算性质求解．