2019-2020学年高中数学 第2章 几个重要的不等式 3 3.2 数学归纳法的应用课件 北师大版

第二章几个重要的不等式§3数学归纳法与贝努利不等式3.2数学归纳法的应用学习目标：1.会利用数学归纳法证明一些简单的不等式及综合问题.2.了解贝努利不等式及其应用的条件，会用数学归纳法证明贝努利不等式．(难点)自主预习探新知教材整理贝努利不等式定理阅读教材P38～P39“练习”以上部分，完成下列问题．定理对任何实数x≥－1和任何正整数n，有(1＋x)n≥________.1＋nx在贝努利不等式中当x＝0时，n为大于1的自然数，不等式形式将有何变化？[解]当x＝0时，不等式将变成等式，即(1＋x)n＝1＋nx.合作探究提素养贝努利不等式的简单应用【例1】设ba0，n∈N＋，证明：ban≥na(b－a)＋1.[精彩点拨]由ba0，令1＋x＝ba(x0)，利用贝努利不等式证明．[自主解答]由ba0，知ba1，令1＋x＝ba(x0)，则x＝ba－1，由贝努利不等式(1＋x)n≥1＋nx，∴ban＝(1＋x)n≥1＋nx＝1＋nba－1，故ban≥na(b－a)＋1.利用1＋x＝ba代换，为利用贝努利不等式创造条件.1．试证明1－1n＋12n+11－1n＋1与1＋1n＋1n+11＋1nn(n∈N＋)．[证明]由n∈N＋，∴n＋1≥2.由贝努利不等式，得(1)1－1n＋12n+11－n＋1n＋12＝1－1n＋1.(2)由(1)得1－1n＋1n+11＋1n＋1n+11－1n＋1，故1＋1n＋1n+11－1n＋1-n＝n＋1nn＝1＋1nn.用数学归纳法证明不等式【例2】试证明：2n＋2n2(n∈N＋)．[精彩点拨]验证n＝1，2，3时，不等式成立―→假设n＝k成立，推证n＝k＋1―→n＝k＋1成立，结论得证[自主解答](1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，左边右边；当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边右边；当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边右边．因此当n＝1,2,3时，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥3且k∈N)时，不等式成立．当n＝k＋1时，2k+1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－22k2－2＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3＝(k2＋2k＋1)＋(k＋1)(k－3)(因k≥3，则k－3≥0，k＋10)≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2.所以2k+1＋2(k＋1)2.故当n＝k＋1时，原不等式也成立．根据(1)(2)知，原不等式对于任何n∈N＋都成立．通过本例可知，在证明n＝k＋1时命题成立的过程中，针对目标k2＋2k＋1，采用缩小的手段，但是由于k的取值范围k≥1太大，不便于缩小，因此，用增加奠基步骤把验证n＝1扩大到验证n＝1，2，3的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k≥3，促使放缩成功，达到目标.2．已知Sn＝1＋12＋13＋…＋1n(n1，n∈N＋)，求证：S2n1＋n2(n≥2，n∈N＋)．[证明](1)当n＝2时，S22＝1＋12＋13＋14＝25121＋22，即n＝2时命题成立．(2)假设n＝k时命题成立，即S2k＝1＋12＋13＋…＋12k1＋k2.当n＝k＋1时，S2k+1＝1＋12＋13＋…＋12k＋12k＋1＋…＋12k+11＋k2＋2k2k＋2k＝1＋k2＋12＝1＋k＋12.故当n＝k＋1时，命题也成立．由(1)(2)知，对n∈N＋，n≥2，S2n1＋n2都成立．探究性问题【例3】设f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n，由f(1)＝112，f(3)1，f(7)32，f(15)2，….(1)你能得到怎样的结论？并证明；(2)是否存在一个正数T，使对任意的正整数n，恒有f(n)T成立？并说明理由．[精彩点拨]找出数列1,3,7,15，…的通项公式，再利用数列12，1，32，2，…的通项公式，猜想一般性的结论，然后用数学归纳法证明．[自主解答](1)数列1,3,7,15，…的通项公式为an＝2n－1；数列12，1，32，2，…的通项公式为an＝n2，∴猜想：f(2n－1)n2.下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，f(21－1)＝f(1)＝112，不等式成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时不等式成立，即f(2k－1)k2，则f(2k+1－1)＝f(2k－1)＋12k＋12k＋1＋…＋12k+1－2＋12k+1－1f(2k－1)＋12k2＋12＝k＋12.∴当n＝k＋1时不等式也成立．据①②知，对任何n∈N＋原不等式均成立．(2)对任意给定的正数T，设它的整数部分为T′，记m＝T′＋1，则mT.由(1)知，f(22m－1)m，∴f(22m－1)T，这说明，对任意给定的正数T，总能找到正整数n(如可取假设中n为2m)，使得f(n)≥T，∴不存在正数T，使得对任意的正整数n，总有f(n)T成立．利用数学归纳法解决探索型不等式的思想是先通过观察、判断，猜想出结论，然后用数学归纳法证明，否定一个命题，只需找出一个反例即可.3．若不等式1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋13n＋1a24对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论．[解]当n＝1时，11＋1＋11＋2＋13×1＋1a24，则2624a24，∴a26，又a∈N＋，∴取a＝25.下面用数学归纳法证明1n＋1＋1n＋2＋…＋13n＋12524.(1)n＝1时，已证．(2)假设当n＝k时，1k＋1＋1k＋2＋…＋13k＋12524.∴当n＝k＋1时，1k＋1＋1＋1k＋1＋2＋…＋13k＋1＋13k＋2＋13k＋3＋13k＋1＋1＝1k＋1＋1k＋2＋…＋13k＋1＋13k＋2＋13k＋3＋13k＋4－1k＋12524＋13k＋2＋13k＋4－23k＋1.∵13k＋2＋13k＋4＝6k＋19k2＋18k＋823k＋1，∴13k＋2＋13k＋4－23k＋10，∴1k＋1＋1＋1k＋1＋2＋…＋13k＋1＋12524也成立．由(1)，(2)可知，对一切n∈N＋，都有1n＋1＋1n＋2＋…＋13n＋12524，∴a的最大值为25.当堂达标固双基1．用数学归纳法证明2n≥n2(n≥5，n∈N＋)成立时第二步归纳假设的正确写法是()A．假设n＝k时命题成立B．假设n＝k(k∈N＋)时命题成立C．假设n＝k(k≥5)时命题成立D．假设n＝k(k5)时命题成立[解析]由题意知n≥5，n∈N＋，∴应假设n＝k(k≥5)时命题成立．[答案]C2．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n－1f(n)(n≥2，n∈N＋)的过程，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了()A．1项B．k项C．2k-1项D．2k项[解析]1＋12＋13＋…＋12k+1－1－1＋12＋13＋…＋12k－1＝12k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k+1－1.∴共增加2k项．[答案]D3．用数学归纳法证不等式1＋12＋14＋…＋12n-1＞12764成立，起始值至少取()A．7B．8C．9D．10[解析]左边等比数列求和Sn＝1－12n1－12＝21－12n＞12764，即1－12n＞127128，12n＜1128，∴12n＜127.∴n＞7，∴n取8，选B.[答案]B4．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n－1n(n∈N＋，n1)时，第一步即证明不等式__________成立．[解析]因为n1，所以第一步n＝2，即证明1＋12＋132成立．[答案]1＋12＋1325．证明：1＋12＋13＋…＋1n2n(n∈N＋)．[证明](1)当n＝1时，不等式成立．(2)假设n＝k时，不等式成立，即1＋12＋13＋…＋1k2k.那么n＝k＋1时，1＋12＋13＋…＋1k＋1k＋12k＋1k＋1＝2kk＋1＋1k＋1k＋k＋1＋1k＋1＝2k＋1.这就是说，n＝k＋1时，不等式也成立．根据(1)(2)可知不等式对任意n∈N＋成立．