2019-2020学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.3.3 函数的最大（小）值与导数课件 新人

第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.3函数的最大(小)值与导数学习目标核心素养1.理解函数的最值的概念．(难点)2.了解函数的最值与极值的区别与联系．(易混点)3.会用导数求在给定区间上函数的最值．(重点)1.通过函数最大(小)值存在性的学习，体现直观想象核心素养.2.借助函数最值的求解问题，提升学生的数学运算的核心素养.自主预习探新知1．函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条的曲线，那么它必有最大值与最小值．连续不断思考：函数的极值与最值的区别是什么？[提示]函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值．函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．当连续函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个导数为零的点时，若在这一点处f(x)有极大值(或极小值)，则可以判定f(x)在该点处取得最大值(或最小值)，这里(a，b)也可以是无穷区间．2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的；(2)将函数y＝f(x)的与处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个就是，最小的一个就是．最小值极值各极值端点最大值1．函数f(x)＝2x－cosx在(－∞，＋∞)上()A．无最值B．有极值C．有最大值D．有最小值A[f′(x)＝2＋sinx0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．]2．函数f(x)＝xex在区间[2,4]上的最小值为()A．0B.1eC.4e4D.2e2C[f′(x)＝ex－xexex2＝1－xex，当x∈[2,4]时，f′(x)＜0，即函数f(x)在区间[2,4]上是单调递减函数，故当x＝4时，函数f(x)有最小值4e4.]3．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋m(x∈[－2,2])，f(x)的最小值为1，则m＝________.1[f′(x)＝－3x2＋6x，x∈[－2,2]．令f′(x)＝0，得x＝0，或x＝2，当x∈(－2,0)时，f′(x)＜0，当x∈(0,2)时，f′(x)＞0，∴当x＝0时，f(x)有极小值，也是最小值．∴f(0)＝m＝1.]合作探究提素养求函数的最值角度1不含参数的函数最值【例1】求下列各函数的最值．(1)f(x)＝3x3－9x＋5，x∈[－2,2]；(2)f(x)＝sin2x－x，x∈－π2，π2.[解](1)f′(x)＝9x2－9＝9(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0得x＝－1或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)变化状态如下表：x－2(－2，－1)－1(－1,1)1(1,2)2f′(x)＋0－0＋f(x)－1↗11↘－1↗11从表中可以看出，当x＝－2时或x＝1时，函数f(x)取得最小值－1.当x＝－1或x＝2时，函数f(x)取得最大值11.(2)f′(x)＝2cos2x－1，令f′(x)＝0，得cos2x＝12，又∵x∈－π2，π2，∴2x∈[－π，π]．∴2x＝±π3.∴x＝±π6.∴函数f(x)在－π2，π2上的两个极值分别为fπ6＝32－π6，f－π6＝－32＋π6.又fπ2＝－π2，f－π2＝π2.比较以上函数值可得f(x)max＝π2，f(x)min＝－π2.角度2含参数的函数最值【例2】a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值．[解]f′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a)．若a≤0，则f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，所以当x＝0时，有最大值f(0)＝0.若a＞0，则令f′(x)＝0，解得x＝±a.∵x∈[0,1]，则只考虑x＝a的情况．(1)若0＜a＜1，即0＜a＜1，则当x＝a时，f(x)有最大值f(a)＝2aa.(如下表所示)x0(0，a)a(a，1)1f′(x)＋0－f(x)0↗2aa↘3a－1(2)若a≥1，即a≥1时，则当0≤x≤1时，f′(x)≥0，函数f(x)在[0,1]上单调递增，当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝3a－1.综上可知，当a≤0，x＝0时，f(x)有最大值0；当0＜a＜1，x＝a时，f(x)有最大值2aa；当a≥1，x＝1时，f(x)有最大值3a－1.1．求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内．(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值．(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值．2．由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，所以解决含参数的函数最值问题常常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解．1．已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0,2]上的最大值．[解]f′(x)＝3x2－2ax.令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝2a3.①当2a3≤0，即a≤0时，f(x)在[0,2]上单调递增，从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.②当2a3≥2，即a≥3时，f(x)在[0,2]上单调递减，从而f(x)max＝f(0)＝0.③当0＜2a3＜2，即0＜a＜3时，f(x)在0，2a3上单调递减，在2a3，2上单调递增，从而f(x)max＝8－4a0＜a≤2，02＜a＜3，综上所述，f(x)max＝8－4aa≤2，0a＞2.已知函数的最值求参数【例3】已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．[解]由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．(1)当a0，且x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－1(－1,0)0(0,2)2f′(x)＋0－f(x)－7a＋b↗b↘－16a＋b由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3f(－1)，∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.(2)当a0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29f(－1)，∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.已知函数在某区间上的最值求参数的值范围是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程不等式解决问题.其中注意分类讨论思想的应用.2．若函数f(x)＝xx2＋a(a0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a的值为________．3－1[f′(x)＝x2＋a－2x2x2＋a2＝a－x2x2＋a2，当xa时，f′(x)0，f(x)单调递减，当－axa时，f′(x)0，f(x)单调递增，当x＝a时，f(x)＝a2a＝33，a＝321，不合题意．∴f(x)max＝f(1)＝11＋a＝33，a＝3－1.]与最值有关的综合问题[探究问题]1．对于函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若f(x)≥c或f(x)≤c恒成立，则c满足的条件是什么？[提示]c≤f(x)min或c≥f(x)max.2．对于函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若存在x0∈[a，b]，使得f(x)≥c或f(x)≤c成立，则c满足的条件是什么？[提示]c≤f(x)max或c≥f(x)min.【例4】设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t0)．(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．思路探究：(1)利用配方法，即可求出二次函数f(x)的最小值h(t)；(2)构造函数g(t)＝h(t)－(－2t＋m)，只需使g(t)在(0,2)上的最大值小于零即可求得m的取值范围．[解](1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t0)，∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：t(0,1)1(1,2)g′(t)＋0－g(t)↗极大值1－m↘∴g(t)在(0,2)内有最大值g(1)＝1－m.h(t)－2t＋m在(0,2)内恒成立等价于g(t)0在(0,2)内恒成立，即等价于1－m0.∴m的取值范围为(1，＋∞)．1．(变条件)若将本例(2)的条件改为“存在t∈[0,2]，使h(t)－2t＋m成立”，则实数m的取值范围如何求解？[解]令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：t0(0,1)1(1,2)2g′(t)＋0－g(t)－1－m↗极大值1－m↘－3－m∴g(t)在[0,2]上有最小值g(2)＝－3－m，存在t∈[0,2]，使h(t)－2t＋m成立，等价于g(t)的最小值g(2)0.∴－3－m0，∴m－3，所以实数m的取值范围为(－3，＋∞)．2．(变条件)若将本例(2)的条件改为“对任意的t1，t2∈(0,2)，都有h(t1)＜－2t2＋m”，求实数m的取值范围．[解]∵h(t)＝－t3＋t－1，t∈(0,2)∴h′(t)＝－3t2＋1由h′(t)＝0得t＝33或t＝－33(舍)又当0＜t＜33时，h′(t)＞0，当33＜t＜2时，h′(t)＜0.∴当t＝33时，h(t)max＝－39＋33－1＝23－99.令φ(t)＝－2t＋m，t∈(0,2)，∴φ(t)min＞m－4.由题意可知23－99≤m－4，即m≥239＋3＝23＋279.∴实数m的取值范围为23＋279，＋∞.分离参数求解不等式恒成立问题的步骤1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值．2．已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论．3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题．当堂达标固双基1．下列结论正确的是()A．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值B．若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值C．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是x＝a和x＝b时取得D．若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值D[函数f(x)在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值．]2．函数y＝x－sinx，x∈π2，π的最大值是()A．π－1B．π2－1C．πD．π＋1C[因为y′＝1－cosx，当x∈π2，π时，y′0，则函数在区间π2，π上为增函数，所以y的最大值为ymax＝π－sinπ＝π，故选C.]3．函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)()A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，但有最小值D．既无最大值，也无最小值D[f′(x)＝3x2－3＝3