（江苏专用）2019-2020学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 习题课（二）数系的扩充与

习题课(二)(提升关键能力)数系的扩充与复数的引入高频考点一复数的概念1．复数是实数的充要条件(1)z＝a＋bi(a，b∈R)∈R⇔b＝0.(2)z∈R⇔z＝z.(3)z∈R⇔z2≥0.2．复数是纯虚数的充要条件(1)z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数⇔a＝0，且b≠0.(2)z是纯虚数⇔z＋z＝0(z≠0)．(3)z是纯虚数⇔z20.3．复数相等的充要条件a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．[典例](1)(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：p1：若复数z满足1z∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝z2；p4：若复数z∈R，则z∈R.其中的真命题为()A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4(2)(2017·天津高考)已知a∈R，i为虚数单位，若a－i2＋i为实数，则a的值为________．[解析](1)设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，对于p1，∵1z＝1a＋bi＝a－bia2＋b2∈R，∴b＝0，∴z∈R，∴p1是真命题；对于p2，∵z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi∈R，∴ab＝0，∴a＝0或b＝0，∴p2不是真命题；对于p3，设z1＝x＋yi(x，y∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，则z1z2＝(x＋yi)(c＋di)＝cx－dy＋(dx＋cy)i∈R，∴dx＋cy＝0，取z1＝1＋2i，z2＝－1＋2i，z1≠z2，∴p3不是真命题；对于p4，∵z＝a＋bi∈R，∴b＝0，∴z＝a－bi＝a∈R，∴p4是真命题．(2)由a－i2＋i＝a－i2－i2＋i2－i＝2a－15－2＋a5i是实数，得－2＋a5＝0，所以a＝－2.[答案](1)B(2)－2[类题通法]处理复数概念问题的两个注意点(1)当复数不是a＋bi(a，b∈R)的形式时，要通过变形化为a＋bi的形式，以便确定其实部和虚部．(2)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根．[集训冲关]1．若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，z是z的共轭复数，则z2＋z－2的虚部为()A．0B．－1C．1D．－2解析：选A因为z＝1＋i，所以z＝1－i，所以z2＋z2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i＋(－2i)＝0.故选A.2．已知z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i，其中m为实数，i为虚数单位，若z1－z2＝0，则m的值为()A．4B．－1C．6D．－1或6解析：选B由题意可得z1＝z2，即m2－3m＋m2i＝4＋(5m＋6)i，根据两个复数相等的充要条件可得m2－3m＝4，m2＝5m＋6，解得m＝－1，故选B.高频考点二复数的运算及几何意义[典例](1)(2017·全国卷Ⅲ)设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝()A.12B.22C.2D．2(2)复数z＝m－2i1＋2i(m∈R，i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析](1)因为z＝2i1＋i＝2i1－i1＋i1－i＝i(1－i)＝1＋i，所以|z|＝2.(2)z＝m－2i1＋2i＝m－2i1－2i1＋2i1－2i＝15[(m－4)－2(m＋1)i]，其实部为15(m－4)，虚部为－25(m＋1)，由m－40，－2m＋10.得m4，m－1.此时无解．故复数在复平面上对应的点不可能位于第一象限．[答案](1)C(2)A[类题通法]在复平面内确定复数对应点的步骤(1)由复数确定有序实数对，即z＝a＋bi(a，b∈R)确定有序实数对(a，b)．(2)由有序实数对(a，b)确定复平面内的点Z(a，b)．[集训冲关]1．(2018·北京高考)在复平面内，复数11－i的共轭复数对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选D11－i＝1＋i1－i1＋i＝12＋i2，其共轭复数为12－i2，对应点位于第四象限．故选D.2．若复数(－6＋k2)－(k2－4)i所对应的点在第三象限，则实数k的取值范围是________．解析：由已知得－6＋k20，k2－40，∴4k26.∴－6k－2或2k6.答案：(－6，－2)∪(2，6)3．已知复数z1＝2＋3i，z2＝a＋bi，z3＝1－4i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C.若OC→＝2OA→＋OB→，则a＝________，b＝________.解析：∵OC→＝2OA→＋OB→∴1－4i＝2(2＋3i)＋(a＋bi)即1＝4＋a，－4＝6＋b，∴a＝－3，b＝－10.答案：－3－10高频考点三复数的代数运算复数运算中常见的结论(1)(1±i)2＝±2i，1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i；(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i；(4)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0.[典例](1)若z＝1＋2i，则4izz－1＝()A．1B．－1C．iD．－i(2)复数z1＝2＋i，若复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，则z1z2＝()A．－5B．5C．－3＋4iD．3－4i[解析](1)因为z＝1＋2i，则z＝1－2i，所以zz＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则4izz－1＝4i4＝i.故选C.(2)复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，则z2＝－2＋i，z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5，故选A.[答案](1)C(2)A[类题通法]进行复数代数运算的策略(1)复数代数形式的运算的基本思路就是应用运算法则进行计算．①复数的加减运算类似于实数中的多项式加减运算(合并同类项)．②复数的乘除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要注意i的幂的性质，区分(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2与(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘以分母的共轭复数)，此时要注意区分(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2与(a＋b)(a－b)＝a2－b2.(2)复数的四则运算中含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式．(3)利用复数相等，可实现复数问题的实数化．[集训冲关]1．复数z满足z(z＋1)＝1＋i，其中i是虚数单位，则z＝()A．1＋i或－2＋iB．i或1＋iC．i或－1＋iD．－1－i或－2＋i解析：选C设z＝a＋bi(a，b∈R)，由z(z＋1)＝1＋i得a2＋b2＋a＋bi＝1＋i，所以b＝1，a2＋a＋1＝1，所以a＝0或a＝－1.故z＝i或z＝－1＋i.2．i是虚数单位，21－i2018＋1＋i1－i6＝________.解析：原式＝21－i21009＋1＋i1－i6＝2－2i1009＋i6＝i1009＋i6＝i4×252＋1＋i4＋2＝i＋i2＝－1＋i.答案：－1＋i