2019-2020学年高中数学 第三章 函数的应用 3.1.1 方程的根与函数的零点学案（含解析）新

-1-3.1.1方程的根与函数的零点课标要点课标要点学考要求高考要求1.函数零点的概念ab2.f(x)＝0有实根与y＝f(x)有零点的关系bc3.函数零点的判定bc知识导图学法指导1.会用因式分解、公式法等求一元二次方程的根，并明白与相应二次函数图象间的关系．2．熟悉基本函数(一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数)的图象与性质，能根据图象判断零点的情况.知识点一函数的零点1．零点的定义对于函数y＝f(x)，把f(x)＝0的实数x，叫做函数y＝f(x)的零点．函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．2．方程的根与函数零点的关系知识点二函数零点的判定函数零点的存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就-2-是方程f(x)＝0的根．定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)0.[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有的函数都有零点．()(2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1,0)(x2,0)．()(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)0.()答案：(1)×(2)×(3)×2．函数y＝3x－2的图象与x轴的交点坐标及其零点分别是()A.23；23B.23，0；23C．－23；－23D.－23，0；－23解析：令3x－2＝0，则x＝23，∴函数y＝3x－2的图象与x轴的交点坐标为23，0，函数零点为23.答案：B3．函数f(x)＝ln(x＋1)－2x的零点所在的一个区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)解析：f(1)＝ln2－20，f(2)＝ln3－10，∴f(1)·f(2)0，∴函数f(x)的一个零点区间为(1,2)．答案：B4．函数f(x)＝x3－x的零点个数是()A．0B．1C．2D．3解析：f(x)＝x(x－1)(x＋1)，令x(x－1)(x＋1)＝0，解得x＝0，x＝1，x＝－1，即函数的零点为－1,0,1，共3个．答案：D-3-类型一函数零点的概念及求法例1(1)下列图象表示的函数中没有零点的是()(2)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．①f(x)＝－x2－4x－4；②f(x)＝4x＋5；③f(x)＝log3(x＋1)．【解析】(1)由图观察，A中图象与x轴没有交点，所以A中函数没有零点．(2)①令－x2－4x－4＝0，解得x＝－2，所以函数的零点为x＝－2.②令4x＋5＝0，则4x＝－50，即方程4x＋5＝0无实数根，所以函数不存在零点．③令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，所以函数的零点为x＝0.【答案】(1)A(2)见解析(1)由函数图象判断函数是否有零点是看函数的图象与x轴是否有交点．(2)求函数对应方程的根即为函数的零点．方法归纳函数零点的求法求函数y＝f(x)的零点通常有两种方法：其一是令f(x)＝0，根据解方程f(x)＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y＝f(x)的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．跟踪训练1若函数f(x)＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数f(x)其余的零点．解析：由题意知f(－3)＝0，即(－3)2－3－a＝0，a＝6.所以f(x)＝x2＋x－6.解方程x2＋x－6＝0，得x＝－3或2.所以函数f(x)其余的零点是2.由函数f(x)的零点是－3，得f(－3)＝0，求a.类型二确定函数零点的个数-4-例2(1)函数f(x)＝x－x－2的零点个数为()A．0B．1C．2D．3(2)判断函数f(x)＝x－3＋lnx的零点个数．【解析】(1)令f(x)＝0得x－x－2＝0，设t＝x(t≥0)，则t2－t－2＝0，解得t＝2或t＝－1(舍)．故x＝2即x＝4，因此方程f(x)＝0有一个根4，所以函数f(x)有一个零点．(2)令f(x)＝x－3＋lnx＝0，则lnx＝－x＋3，在同一平面直角坐标系内画出函数y＝lnx与y＝－x＋3的图象，如图所示：由图可知函数y＝lnx，y＝－x＋3的图象只有一个交点，即函数f(x)＝x－3＋lnx只有一个零点．【答案】(1)B(2)见解析思路一：解方程求零点，方程f(x)＝0的实数根的个数就是函数f(x)的零点的个数；思路二：画出函数图象，依据图象与x轴的交点的个数来判断函数的零点个数．方法归纳判断函数零点个数的三种方法(1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数．(2)图象法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数．(3)定理法：函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)·f(b)0即可判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．跟踪训练2f(x)＝x＋2，x0，x2－1，x0的零点个数是()A．0B．1C．2D．3-5-解析：方法一方程x＋2＝0(x0)的根为x＝－2，方程x2－1＝0(x0)的根为x＝1，所以函数f(x)有2个零点－2与1.方法二画出函数f(x)＝x＋2，x0，x2－1，x0的图象，如图所示，观察图象可知，f(x)的图象与x轴有2个交点，所以函数f(x)有2个零点．答案：C解决分段函数的零点个数问题的关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量的取值范围，代入相应的解析式求解零点，注意自变量的取值范围．类型三判断函数的零点所在的大致区间例3设x0是函数f(x)＝lnx＋x－4的零点，则x0所在的区间为()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)【解析】因为f(2)＝ln2＋2－4＝ln2－20，f(3)＝ln3－1lne－1＝0，f(2)·f(3)0.由零点存在性定理，得x0所在的区间为(2,3)．【答案】C根据零点存在性定理，对照选项，只需验证区间端点函数值的符号，或可借助于图象分析．方法归纳判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．跟踪训练3函数f(x)＝2x－1＋x－5的零点所在的区间为()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)解析：f(2)＝22－1＋2－50，f(3)＝23－1＋3－50，故f(2)·f(3)0，又f(x)在定义域内是增函数，则函数f(x)＝2x－1＋x－5只有一个零点，且零点所在的区间为(2,3)．答案：C利用f(a)·f(b)0求零点区间.-6-[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列函数不存在零点的是()A．y＝x－1xB．y＝2x2－x－1C．y＝x＋1x≤0x－1x0D．y＝x＋1x≥0x－1x0解析：令y＝0，得A中函数的零点为1，－1；B中函数的零点为－12，1；C中函数的零点为1，－1；只有D中函数无零点．答案：D2．函数f(x)＝x－1lnxx－3的零点有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：由f(x)＝x－1lnxx－3＝0，得x＝1，∴f(x)＝x－1lnxx－3只有一个零点．答案：B3．函数f(x)＝x2＋2x－3，x≤0，－2＋lnx，x0的零点个数为()A．3B．2C．1D．0解析：当x≤0时，由f(x)＝x2＋2x－3＝0得x1＝－3，x2＝1(舍去)；当x0时，由f(x)＝－2＋lnx＝0得x＝e2.所以函数的零点个数为2.答案：B4．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是()A．0,2B．0，12C．0，－12D．2，－12-7-解析：∵2a＋b＝0，∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)．∴零点为0和－12.答案：C5．函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在区间为()A.14，12B.18，14C.0，18D.12，1解析：因为f14＝π4＋log2140，f12＝π2＋log2120，所以f14·f120，故函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在区间为14，12.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6．函数f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零点．解析：方法一∵f(1)＝12－3×1－18＝－200，f(8)＝82－3×8－18＝220，∴f(1)·f(8)0，又f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上的图象是连续的，故f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．方法二令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，∴(x－6)(x＋3)＝0.∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]，∴f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．答案：存在7．已知函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．解析：由题意知，方程x2－ax－b＝0的两根为2、3，∴2＋3＝a，2×3＝－b，即a＝5，b＝－6，∴方程bx2－ax－1＝－6x2－5x－1＝0的根为－12、－13，即为函数g(x)的零点．-8-答案：－12，－138．已知函数f(x)＝x2＋x＋a(a0)在区间(0,1)上有零点，则a的取值范围为________．解析：由题意f(1)·f(0)0.∴a(2＋a)0.∴－2a0.答案：(－2,0)三、解答题(每小题10分，共20分)9．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝x＋3x；(2)f(x)＝x2＋2x＋4；(3)f(x)＝2x－3；(4)f(x)＝1－log3x.解析：(1)令x＋3x＝0，解得x＝－3，所以函数f(x)＝x＋3x的零点是－3.(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－120，所以方程x2＋2x＋4＝0无解，所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点.(3)令2x－3＝0，解得x＝log23，所以函数f(x)＝2x－3的零点是log23.(4)令1－log3x＝0，解得x＝3，所以函数f(x)＝1－log3x的零点是3.10．已知函数f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2，求函数y＝logn(mx＋1)的零点．解析：由题可知，f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的两个零点为1和2.则1和2是方程x2＋3(m＋1)x＋n＝0的两根．可得1＋2＝－3m＋11×2＝n，解得m＝－2，n＝2.所以函数y＝logn(mx＋1)的解析式为y＝log2(－2x＋1)，要求其零点，令log2(－2x＋1)＝0，解得x＝0.所以函数y＝log2(－2x＋1)的零点为0.[能力提升](20分钟，40分)11．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：x－3－2－101234-9-y6m－4－6－6－4n6不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是()A．(－3，－1)和(2,4)B．(－3，－1)和(－1,1)C．(－1,1)和(1,2)D．(－∞，－3)和(4，＋∞)解析：因为f(－