2021高考数学一轮复习 第2章 函数 第1节 函数及其表示教学案 文 北师大版

-1-第2章函数全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式本章在高考中一般为2～3个客观题.2.考查内容高考中基础题主要考查对基础知识和基本方法的掌握．主要涉及函数奇偶性的判断，函数的图像，函数的奇偶性、单调性及周期性综合，指数、对数运算以及指数、对数函数的图像与性质，分段函数求函数值等.3.备考策略(1)重视函数的概念和基本性质的理解：深刻把握函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、零点等概念．研究函数的性质，注意分析函数解析式的特征，同时注意函数图像的作用.(2)重视对基本初等函数的研究，复习时通过选择、填空题加以训练和巩固，将问题和方法进行归纳整理.第一节函数及其表示[最新考纲]1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．(对应学生用书第9页)1．函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合对应关系f：如果按照某个对应关系f，对于集合如果按某一个确定的对应关系f，使-2-A→BA中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应对于集合A中的每一个元素x，B中总有唯一一个元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法函数y＝f(x)，x∈A映射：f：A→B2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫做函数的定义域；函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法．3．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．[常用结论]1．常见函数的定义域(1)分式函数中分母不等于0.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域为R.(4)零次幂的底数不能为0.(5)y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R.(6)y＝logax(a＞0，a≠1)的定义域为{x|x＞0}．(7)y＝tanx的定义域为xx≠kπ＋π2，k∈Z.2．基本初等函数的值域(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：当a＞0时，值域为4ac－b24a，＋∞；当a＜0时，值域为－∞，4ac－b24a.-3-(3)y＝kx(k≠0)的值域是{y|y≠0}．(4)y＝ax(a＞0且a≠1)的值域是(0，＋∞)．(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的值域是R.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.()(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．()(3)函数是一种特殊的映射．()(4)若A＝R，B＝(0，＋∞)，f：x→y＝|x|，则对应f可看作从A到B的映射．()(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×(5)×二、教材改编1．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图像可能是()ABCDB[由函数定义可知，选项B正确．]2．函数y＝2x－3＋1x－3的定义域为()A.32，＋∞B．(－∞，3)∪(3，＋∞)C.32，3∪(3，＋∞)D．(3，＋∞)C[由题意知2x－3≥0，x－3≠0，解得x≥32且x≠3.]3．下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是()A．y＝(x＋1)2B．y＝3x3＋1C．y＝x2x＋1D．y＝x2＋1-4-B[y＝3x3＋1＝x＋1，且函数定义域为R，故选B.]4．设函数f(x)＝x2＋1，x≤1，2x，x＞1，则f(f(3))＝________.139[f(3)＝23，f(f(3))＝f23＝232＋1＝49＋1＝139.]5．已知函数f(x)＝2x＋1，若f(a)＝5，则实数a的值为________．12[由f(a)＝5得2a＋1＝5，解得a＝12.](对应学生用书第10页)⊙考点1求函数的定义域已知函数解析式求定义域已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．1.(2019·济南模拟)函数y＝xln(2－x)的定义域为()A．(0,2)B．[0,2)C．(0,1]D．[0,2]B[由题意知，x≥0且2－x＞0，解得0≤x＜2，故其定义域是[0,2)．]2．函数f(x)＝1log2x2－1的定义域为________．0，12∪(2，＋∞)[要使函数f(x)有意义，则(log2x)2－1＞0，即log2x＞1或log2x＜－1，解得x＞2或0＜x＜12，故所求函数的定义域是0，12∪(2，＋∞)．][逆向问题]若函数f(x)＝ax2＋abx＋b的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________．－92[∵函数f(x)＝ax2＋abx＋b的定义域为{x|1≤x≤2}．∴不等式ax2＋abx＋b≥0的解集为{x|1≤x≤2}．-5-可知a＜0，不等式化为a(x－1)(x－2)≥0，即ax2－3ax＋2a≥0.∴－3a＝ab，2a＝b，即b＝－3，a＝－32.∴a＋b＝－92.]求函数定义域时，对函数解析式先不要化简，求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式．若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符合“∪”连接．如T2.抽象函数的定义域抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．已知函数f(x)的定义域是[0,4]，则F(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)的定义域是________．[1,3][由题意知0≤x＋1≤4，0≤x－1≤4，解得1≤x≤3.故F(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)的定义域为[1,3]．][逆向问题]已知函数y＝f(x－1)的定义域为[－3，3]，则函数y＝f(x)的定义域为________．[－3－1，3－1][因为f(x－1)的定义域为[－3，3]，所以－3－1≤x－1≤3－1，所以函数y＝f(x)的定义域为[－3－1，3－1]．]函数f(g(x))的定义域为自变量x的取值范围，而不是g(x)的取值范围．(如本例[逆向问题])1.函数f(x)＝3x21－x＋lg(3x＋1)的定义域是()A.－13，1B.－13，＋∞C.－13，13D.－∞，13A[由题意可知1－x＞0，3x＋1＞0，-6-解得x＜1，x＞－13，∴－13＜x＜1，故选A.]2．函数f(x－1)的定义域为[0,2020]，则函数g(x)＝fx＋1x－1的定义域为________．[－2,1)∪(1,2018][∵函数f(x－1)的定义域为[0，2020]，∴－1≤x－1≤2019.∴要使函数g(x)有意义，则－1≤x＋1≤2019，x－1≠0，解得－2≤x≤2018且x≠1.∴函数g(x)的定义域为[－2,1)∪(1,2018]．]3．若函数f(x)＝x2＋ax＋1的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为________．[－2,2][∵函数f(x)＝x2＋ax＋1的定义域为R，∴a2－4≤0，即－2≤a≤2.]⊙考点2求函数的解析式求函数解析式的四种方法及适用条件(1)待定系数法先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数．(2)换元法对于形如y＝f(g(x))的函数解析式，令t＝g(x)，从中求出x＝φ(t)，然后代入表达式求出f(t)，再将t换成x，得到f(x)的解析式，要注意新元的取值范围．(3)配凑法由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式．(4)解方程组法已知关于f(x)与f1x或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．(1)[一题多解]已知二次函数f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，求f(x)；(2)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)．[解](1)法一：(待定系数法)因为f(x)是二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c.因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，-7-所以4a＝4，4a＋2b＝－6，a＋b＋c＝5，解得a＝1，b＝－5，c＝9，所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．法二：(换元法)令2x＋1＝t(t∈R)，则x＝t－12，所以f(t)＝4t－122－6·t－12＋5＝t2－5t＋9(t∈R)，所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．法三：(配凑法)因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．(2)解方程组法由f(－x)＋2f(x)＝2x，①得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x，即f(x)＝2x＋1－2－x3.故f(x)的解析式是f(x)＝2x＋1－2－x3(x∈R)．谨防求函数解析式的两种失误(1)在求函数解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域问题．求出解析式后要标注x的取值范围．(2)利用换元法求解析式时要注意新元的取值范围．如已知f(x)＝x＋1，求函数f(x)的解析式，可通过换元的方法得f(x)＝x2＋1，函数f(x)的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．1.如果f1x＝x1－x，则当x≠0且x≠1时，f(x)等于()A.1xB.1x－1C.11－xD.1x－1-8-B[(换元法)令1x＝t，得x＝1t(t≠0且t≠1)，∴f(t)＝1t1－1t＝1t－1(t≠0且t≠1)，∴f(x)＝1x－1(x≠0且x≠1)．]2．已知f1＋xx＝x2＋1x2＋1x，则f(x)＝()A．(x＋1)2B．(x－1)2C．x2－x＋1D．x2＋x＋1C[(配凑法)f1＋xx＝x2＋1x2＋1x＝x＋1x2－x＋1x＋1，所以f(x)＝x2－x＋1.]3．已知f(x)满足2f(x)＋f1x＝3x，则f(x)＝________.2x－1x(x≠0)[(解方程组法)∵2f(x)＋f1x＝3x，①把①中的x换成1x，得2f1x＋f(x)＝3x.②联立①②可得2fx＋f1x＝3x，2f1x＋fx＝3x，解此方程组可得f(x)＝2x－1x(x≠0)．]4．已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求