现代控制理论第2章控制系统的表达式的解

2.1线性定常齐次状态方程的解(自由解)2.2矩阵指数函数——状态转移矩阵2.3线性定常系统非齐次方程的解2.4线性时变系统的解2.5离散时间系统状态方程的解2.6连续时间状态空间表达式的离散化2.1线性定常齐次状态方程的解(自由解)所谓系统的自由解，是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。此时，状态方程为齐次微分方程：(1)若初始时刻时的状态给定为则式(1)有唯一确定解：(2)若初始时刻从开始，即则其解为：(3)证明和标量微分方程求解类似，先假设式(1)的解为的矢量幂级数形式，即(4)代入式(1)得：(5)既然式(4)是式(1)的解，则式(5)对任意时刻都成立，故的同次幂项的系数应相等，有：在式(4)中，令，可得：将以上结果代入式(4)，故得：(6)等式右边括号内的展开式是矩阵，它是一个矩阵指数函数，记为，即(7)于是式(6)可表示为：再用代替即在代替的情况下，同样可以证明式2)的正确性。2.2矩阵指数函数——状态转移矩阵2.2.1状态转移矩阵齐次微分方程(1)的自由解为：或1．性质一这就是组合性质，它意味着从转移到0，再从0转移到的组合。或(1)2.2.2状态转移矩阵(矩阵指数函数)的基本性质即2.性质二或(2)3.性质三或(3)4.性质四或(4)这个性质说明，矩阵与A矩阵是可以交换的。5.性质五对于方阵A和B，当且仅当AB=BA时，有而当AB≠BA是，则这个性质说明，除非距阵A与B是可交换的，它们各目的矩阵指数函数之积与其和的矩阵指数函数不等价。这与标量指数函数的性质是不同的。2.2.3几个特殊的矩阵指数函数1．若A为对角线矩阵，即(5)则(6)2.若A能够通过非奇异变换予以对角线化，即则(7)3.若A为约旦矩阵则(8)4.若(9)1.根据的定义直接计算2.变换A为约旦标准型（1）A特征根互异其中T是使A变换为对角线矩阵的变换阵。由式（7），有：2.2.4的计算例2.1例2.23.利用拉氏反变换法求(10)证明齐次微分方程两边取拉氏变换即故对上式两边取拉氏反变换，从而得到齐次微分方程的解：例：用拉氏变换法求状态转移矩阵Ate0123A4.应用凯莱—哈密顿定理求（1）由凯莱—哈密顿定理，方阵A满足其自身的特征方程，即所以有它是的线性组合。同理以此类推，都可用线性表示。(2)在定义中，用上面的方法可以消去A的n及n以上的幂次项，即（11）（3）的计算公式A的特征值互异时，则证明根据A满足其自身特征方程的定理，可知特征值和A是可以互换的，因此，也必须满足式（11），从而有：（12）上式对求解，记得式（12）。A的特征值均相同，为时，则证明同上，有：(13)上式对，求导数，有：再对求导数，有：重复以上步骤，最后有：由上面的n个方程，对求解，得公式（13）。2.3线性定常系统非齐次方程的解现在讨论线性定常系统在控制作用作用下的强制运动。此时状态方程为非齐次矩阵微分方程：当初始时刻初始状态时，其解为：式中，。（1）（2）当初始时刻为，初始状态为时，其解为：式中，。（3）证明采用类似标量微分方程求解的方法，将式（1）写成：等式两边同左乘，得：即（4）对式（4）在上间积分，有：整理后可得式（2）：同理，若对式（4）在上积分，即可证明式（3）。式（2）也可从拉氏变换法求得，对式（1）进行拉氏变换，有：即上式左乘，得：（5）注意式（5）等式右边第二项，其中：两个拉氏变换函数的积是一个卷积的拉氏变换，即以此代入式（5），并取拉氏反变换，即得：2222010231(1)()2()222ttttAtttttxxuteeeeteeeee求在单位阶跃函数作用下的解解先求022-2--2-122-2--2-02(2)()(0)()()(0)022(0)1222222...ttttttttttttttttttxtxtBudxeeeeeeeexdxeeeeeeee（）（）（）（）（）（）（）（）根据公式(t)=得(t)=在特定控制作用下，如脉冲函数、阶跃函数和斜坡函数的激励下，则系统的解式（2）可以简化为以下公式：1.脉冲响应即当时2.阶跃响应即当时3.斜坡响应即当时（6）（7）（8）2.4线性时变系统的解2.4.1时变系统状态方程解的特点为了讨论时变系统状态方程的求解方法，现在先讨论一个标量时变系统：采用分离变量法，将上式写成：对上式两边积分得：（1）因此（2）或者写成：仿照定常系统齐次状态方程的求解公式，式(2)中的也可以表示为状态转移矩阵，不过这时状态转移矩阵不仅是时间t的函数，而且也是初始时刻t。的函数。故采用符号来表示这个二元函数：（3）于是式(2)可写成：（4）能否将式(3)这个关系式也推广到矢量方程：遗憾的是，只有当满足乘法可交换条件，上述关系才能成立。现证明如下：使之有（5）如果是齐次方程的解，那么必须满足：（6）把展开成幂级数：上式两边对时间取导数：(7)(8)(9)把式(7)两边左乘有：比较式(8)和式(9)，可以看出，要使成立，其必要和充分条件是：（10）即是乘法可交换的。但是，这个条件是很苛刻的一般是不成立的。从而时变系统的自由解，通常不能像定常系统那样写成一个封闭形式。2.4.2线性时变齐次矩阵微分方程的解尽管线性时变系统的自由解不能像定常系统那样写成一个封闭的解析形式，但仍然能表示为状态转移的形式。对于齐次矩阵微方程：（11）其解为：（12）式中，类似于前述线性定常系统中的，它也是非奇异方阵，并满足如下的矩阵微分方程和初始条件：（13）（14）证明将解式(12)代入式(11)，有即又在解式(12)中令，有：即这就证明了，满足式(13)、式(14)的,按式(12)所求得的是齐次微分方程(11)的解。2.4.3状态转移矩阵基本性质与线性定常系统的转移矩阵类似，同样有：因为：且故式(15)成立。2），见式（14）。（15）1）3）（16）因为从式(14)和式(15)可得：或那么无论右乘，或左乘，式(16)都成立，故是非奇异阵，其逆存在，且等于。4）见式（13）。在这里，一般是不能交换的。2.4.4线性时变系统非齐次状态方程式的解线性时变系统的非齐次状态方程为：且的元素在时间区间内分段连续，则其解为：（17）（18）证明线性系统满足叠加原理，故可将式(17)的解看成由初始状态的转移和控制作用激励的状态的转移两部分组成。即（19）代入式(17)，有：即可知：在t。～t区间积分，有：于是在式(19)中令，并注意到中，可知，这样由上式即可得到式(18)。2.4.5状态转移矩阵的计算因为A是常数矩阵，所以上式直接表示为：在定常系统中，齐次状态方程的解是：式中，，只与有关。在时变系统中，齐次状态方程的解，一般的表示为：前已证明，只有当是可交换时，即（20）才有：在一般情况下对于不满足式(20)的时变系统，的计算，一般采用级数近似法，即（21）这个关系式的证明是十分简单的，只需验证它满足式(13)的矩阵方程和式(14)的起始条件即可。可知式(21)满足式(13)和式(14)。2.5离散时间系统状态方程的解2.5.1递推法线性定常离散时问控制系统的状态方程为：这个一阵差分方程的解为：或（1）即（2）2.5.2Z变换法对于线性定常离散系统的状态方程，也可以来用Z变换法来求解。设定常离散系统的状态方程是：对上式两端进行Z变换，有：或所以：对上式两端取Z的反变换，得：(3)对式2)和式(3)比较，有：（4）（5）如果要获得采样瞬时之问的状态和输出，只需在此采样周期内，即在内，利用连续状态方程解的表达式：为了突出地表示f的有效期在，可以令(这里0≤△≤1)于是上式变成：（6）显然，这个公式的形式和离散状态方程是完全一致的，如果使△的值在0和1之间变动，那么便可获得采样瞬时之间全部的状态和输出信息。将式(2)和式(3)比较，有（7）（8）二者形式上虽有不同，但实际上是完全一样的。2.6连续时间状态空间表达式的离散化2.6.1离散化方法对于连续时间的状态空间表达式：将其离散化之后．则得离散时间状态空问表达式为：C和D则仍与式(1)中的一样。（1）（2）式中（4）（3）2.6.2近似离散化在采样周期T较小时，一般当其为系统最小时间常数的l/10左右时，离散化的状态方程可近似表示为：（5）也就是说：（6）（7）证明根据导数的定义：以此代入中，得现讨论这一段的导数，有：整理后，即得式(5)。2.6.3线性时变系统的离散化1．线性时变系统离散化设原系统状态空间表达式为：离散化之后的状态空间表达式为：仿照时不变系统的证明方法，可以求出上式中的七，这里直接写出其结果如下：（8）（11）（9）（10）式中，区段内的状态转移矩阵，可以在附近用泰勒级数展开作近似计算：（12）考虑到的下列性质：将以上诸式代人式(12)，并在T很小时忽略T的二次幂以上的高阶项，可得的近似计算式：（13）据此，按式(11)不难求得。也可仿本节中介绍的近似离散化的方法，得近似的计算公式如下：（15）（14）2．离散化时变状态方程的解仿离散化定常状态方程解式时变状态方程式(9)的解为：（16）（17）式中，应满足以下条件：本章完