4第四章环境规划与管理的数学

第四章环境规划与管理的数学基础第一节环境数据处理方法第二节最优化分析方法第三节常用决策分析方法第四节环境数学模型第一节环境数据处理方法列表法图示法一、数据的表示方法将数据列成表格，将各变量的数值依照一定的形式和顺序一一对应起来，它通常是整理数据的第一步，能为标绘曲线图或整理成数学公式打下基础。将数据用图形表示出来，它能用更加直观和形象的形式将复杂的数据表现出来,可以直观地看出数据变化的特征和规律,为后一步数学模型的建立提供依据。插值法计算数值1、列表法例：研究电阻的阻值与温度的关系时，测试结果如下：测量序号温度t/℃电阻R/Ω110．510．42229．410．92342．711．32460．011．80575．012．24691．012．672、图示法图示法的第一步就是按列表法的要求列出因变量y与自变量x相对应的yi与xi数据表格。作曲线图时必须依据一定的法则，只有遵守这些法则，才能得到与实验点位置偏差最小而光滑的曲线图形。坐标纸的选择--常用的坐标系为直角坐标系，包括笛卡尔坐标系（又称普通直角坐标系）、半对数坐标系和对数坐标系。2、图示法•半对数坐标系•一个轴是分度均匀的普通坐标轴，另一个轴是分度不均匀的对数坐标轴。•右图中的横坐标轴（x轴）是对数坐标。在此轴上，某点与原点的实际距离为该点对应数的对数值，但是在该点标出的值是真数。为了说明作图的原理，作一条平行于横坐标轴的对数数值线。半对数坐标的标度法对数坐标系两个轴(x和y)都是对数标度的坐标轴，即每个轴的标度都是按上面所述的原则作成的例：用分光光度计法测定溶液中铁的含量,测得标准曲线数据如下：Fe（μg/mL）24681012吸光度（A）0.0970.2000.3040.4080.5100.613测得未知液的吸光度为0.413，试求未知液中铁的含量。工作曲线y=0.0516x-0.0061R2=100.10.20.30.40.50.60.702468101214Fe的浓度(μg/mL)吸光度(A)在图的纵坐标上0.413处找到直线上对应点，读出其对应的横坐标即为未知液中铁的含量8.1223、插值法计算数值（1）作图插值法babcbabcyyyyxxxx所以()()()bbababccbayxxyyxxyxx此式即为比例法内插公式，从图上可看出，因为用yc代替了yd,产生了dcyyy的误差。（2）比例法（3）牛顿内插公式一般的非线性函数都可以展开为多项式2012nnyaaxaxax例：制作的查分表。32yxx表中△y表示y的依次差值，△y2表示y的差值的差值，以此类推。在上面的例子中，x的差值为1，实际上x的差值可以为任意恒量，令此恒量为h，做出差分表的通式。（二）数据特征数据特征是对环境总体状况进行估计判断的基础，是认识数据理论特性的基本出发点，通常可分为以下三类：位置特征数:表示数据集中趋势或刻画频数分布图中心位置的特征数；离散特征数:用来描述数据分散程度；分布形态特征数:刻划了根据所获数据绘制的分布曲线图的形态。1.位置特征数（1）算术平均数：式中：x1,x2,…,xn为样本个体数据，n为样本个数nxnxxxxniin121（2）加权平均数如果样本个体数据x1,x2,…,xn取值因频数不同或对总体重要性有所差别，则常采取加权平均方法。niiniiinnnwwx式中：wi是个体数据出现频数，或是因该个体对样本贡献不同而取的不同的数值。nnnnGxxxxxxx121211.位置特征数niinxnxxxnH1211111（4）调和平均数（3）几何平均数（5）中位数环境数据有时显得比较分散，甚至个别的数据离群偏远，难以判断去留，这时往往用到中位数。样本数据依次排列（从大到小或者从小到大）居中间位置的数即为中位数，若数据个数为偶数，则中位数为正中两个数的平均值。只有当数据的分布呈正态分布时，中位数才代表这组数据的中心趋向，近似于真值。1.位置特征数1.位置特征数环境统计中常常用到几何平均数。不同的平均值都有各自适用场合，选择的平均数指标应能反映数据典型水平，并非随意采用。3121/g123pg(...)lnexp()或nnnNiiddddnddN几何平均直径2.离散特征数3.分布形态特征数二、异常数据的剔除在处理实验数据的时候，我们常常会遇到个别数据偏离预期或大量统计数据结果的情况，如果我们把这些数据和正常数据放在一起进行统计，可能会影响实验结果的正确性，如果把这些数据简单地剔除，又可能忽略了重要的实验信息。这里重要的问题是如何判断异常数据，然后将其剔除。判断和剔除异常数据是数据处理中的一项重要任务，目前的一些方法还不是十分完善，有待进一步研究和探索。目前人们对异常数据的判别与剔除主要采用物理判别法和统计判别法两种方法。物理判别法就是根据人们对客观事物已有的认识，判别由于外界干扰、人为误差等原因造成实测数据偏离正常结果，在实验过程中随时判断，随时剔除。统计判别法是给定一个置信概率，并确定一个置信限，凡超过此限的误差，就认为它不属于随机误差范围，将其视为异常数据剔除。剔除异常数据实质上是区别异常数据由偶然误差还是系统误差造成的问题。若是人为因素的偶然误差就应剔除，如果没有足够的理由证实是偶然过失造成的时候，应对数据进行统计处理，采用一定的检验方法来决定取舍。本节着重介绍统计判别法。1.拉依达准则则应将xp从该组数据中剔除，至于选择3s还是2s与显著性水平α有关，显著性水平α表示的是检验出错的几率为α，或检验的可置信度为1－α。3s相当于显著水平＝0.01，2s相当于显著水平＝0.05。s23或sxxdpp若可疑数据xp与样本数据之算术平均值的偏差的绝对值大于3倍（2倍）的标准偏差，即：2.格拉布斯准则用格拉布斯准则检验可疑数据xp时，选取一定的显著性水平α，若：则应将xp从该组数据中剔除，称为格拉布斯检验临界值，可查相关表格得到。sxxdnpp),(),(n),(n以上准则是以数据按正态分布为前提的，当偏离正态分布,特别是测量次数很少时，则判断的可靠性就差。因此，对粗大误差除用剔除准则外，更重要的是要提高工作人员的技术水平和工作责任心。另外,要保证测量条件稳定，防止因环境条件剧烈变化而产生的突变影响。3.狄克逊（dixon）法狄克逊研究了n次测量结果，按其数值大小排列成如下次序：当xi服从正态分布时(1)(2)()n狄克逊法是采用极差比的方法，经严密推算和简化而得到的准则。用不同的公式求得f值，再经过查表，得到相应的临界值，进行比较,若计算值f(n，α)视为异常值，舍弃；再对剩余数值进行检验，直到没有异常值为止。狄克逊通过模拟实验认为：n≤7，使用f10；8≤n≤10，用f11；11≤n≤13，用f21；n≥14，用f22效果好。例题用狄克逊法判断下列测试数据(40.02，40.15，40.20，40.13，40.16)中的40.02是否应舍弃？解：将数据排列，取α=0.0540.0240.1340.1540.1640.20，0.611＜0.64240.02应保留。1040.1340.020.110.61140.2040.020.18f(5,0.05)0.642f三、数据的误差分析（一）几种误差的基本概念绝对误差绝对误差＝观测值-真值。绝对误差反映了观测值偏离真值的大小。通常所说的误差一般是指绝对误差。相对误差是绝对误差和真值的比值，常用百分数表示。算术平均误差它可以反映一组数据的误差大小nxxxnii1标准误差也称均方根误差或标准偏差，它常用来表示观测数据的精密度，能明显地反映出较大的个别误差，标准差越小，说明数据精密度越好nxxnii12例题:滴定的体积误差V绝对误差相对误差20.00mL0.02mL0.1%2.00mL0.02mL1.0%（二）误差的来源及分类1.随机误差随机误差是在一定条件下以不可预知的规律变化着的误差。这些偶然因素是操作者无法严格控制的，故无法完全避免随机误差。但它的出现一般具有统计规律，大多服从正态分布。（二）误差的来源及分类2.系统误差系统误差是指由某个或某些不确定的因素所引起的误差。当条件一旦确定，系统误差就是一个客观上的恒定值，它不能通过多次测量取平均值的方法来消除，只能根据仪器的性能、环境条件或个人偏差等进行校正，使之降低。3.过失误差过失误差是由于操作人员不仔细、操作不正确等原因引起的，它是可以完全避免的。（三）误差分析误差可能是由于随机误差或系统误差单独造成的，还可能是两者的叠加。误差分析中，常采用精密度、正确度和准确度来表示误差的性质。精密度反映了随机误差大小的程度，是指在相同条件下，对被测对象进行多次反复测量，测量值之间的一致(符合)程度。正确度指测量值与其“真值”的接近程度。对于一组数据来说，精密度高并不意味着正确度也高；反之，精密度不好，但当测量次数相当多时，有时也会得到好的正确度。准确度指被测对象测量值之间的一致程度以及与其“真值”的接近程度。1x2x3x4x准确度、正确度和精密度的关系四、数据的标准化处理在大批的环境统计数据中，当数据的物理量不同、单位或量值差别较大时，常常会给下一步分析带来困难，这时就有必要对数据进行标准化处理，从而提高计算的精度。环境管理与规划中，常采用下面的公式进行标准化处理：第二节最优化分析方法一、线性规划二、非线性规划三、动态规划系统分析系统分析：就是对一个系统内的基本问题，用系统观点思维推理，在确定和不确定的条件下，探索可能采取的方案，通过分析对比，为达到预期目标选出最优方案的过程。是目前系统工程的基本处理方法。目的：通过分析比较各种替代方案的费用、效益、功能和可靠性等各项技术经济指标，得出可供决策者决策所必须的信息和资料，以获得最优方案。环境系统分析环境问题是各有关因素综合作用造成的。将环境问题作为一个系统来研究，从整体上来考虑，找出最有效的控制对策。以系统的观点解决环境问题，为取得最佳可行控制方案，以及制定有效的综合性管理对策开辟了广阔途径。不公平现象：工厂排放废水所需的费用，由渔场承担。因为渔场不应该支付由于工厂排放废水而引出的费用，而工厂损害了环境资源，应当支付费用补偿给其他使用者。例1:如图所示，位于某一河流上游的工厂将有毒废水排入河流，这种有毒废水影响下游商业渔场的捕捞量。假设只有该工厂使用这段河流。已知工厂处理废水minX=50000元，此时渔场收益Y=30000元（消除工厂废水排放的干扰）。如何解决这一问题？它有两个极端解：参数：X-工厂费用，Y-渔场收益，Q-净效益(1)任意排放：工厂废水不经过处理排放，则工厂不支出处理费，已知此时渔场的收益是Y=10000元，则相当于工厂获50000元收益，而渔场付出20000元费用，X=0,则系统的净效益Q=30000元。(2)完全禁止排放：则无工厂收益和渔场费用，X=50000,Y=30000,系统不产生净效益,Q=0实际上Q=(50000-x)-(30000-y)=20000-x+y所以，河流接纳废水和渔场可能比只作渔场使用价值大，而且可能存在更好的方案。例如：如果工厂花10000元使部分废水不排入河流，可以使渔场收益增至25000元，那么系统的净效益Q=(50000-10000）-（30000-25000）=35000元当然，对每种可能的方案都可以作类似的评价，这样可以找到一种净效益最大的方案。系统分析的过程系统分析的步骤1、系统和目标的确定（1）决策者的识别（2）确定系统的边界和组成（3）目标的定量化2、产生和评价方案(1)建立最优化模型a、确定变量b、建立变量之间的关系（2）解最优化模型3、选择一个方案系统分析应用举例废水管理问题例2：某金属精炼厂每生产1kg金属，产生3kg废物，这些废