“恒成立问题”解决的基本策略

欢迎光临《中学数学信息网》[e-mail]《中学数学信息网》系列资料版权所有@《中学数学信息网》“恒成立问题”解决的基本策略一、恒成立问题的基本类型在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒恒成成立立的的命命题题.函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有:在给定区间上某关系恒成立;某函数的定义域为全体实数R;某不等式的解为一切实数;某表达式的值恒大于a等等…恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象。二、恒成立问题解决的基本策略（一）两个基本思想解决“恒成立问题”思路1、max)]([)(xfmDxxfm上恒成立在思路2、min)]([)(xfmDxxfm上恒成立在如何在区间D上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f（x）的最值。这类问题在数学的学习涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，也是近年来高考中频频出现的试题类型，希望同学们在日常学习中注意积累。(二)、赋值型——利用特殊值求解等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得.例1．由等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4=(x+1)4+b1(x+1)3+b2(x+1)2+b3(x+1)+b4定义映射f：(a1,a2,a3,a4)→b1+b2+b3+b4,则f：(4,3,2,1)→()A.10B.7C.-1D.0略解：取x=0，则a4=1+b1+b2+b3+b4,又a4=1,所以b1+b2+b3+b4=0，故选D例2．如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线x=8对称，那么a=（）.A.1B.-1C.2D.-2.略解：取x=0及x=4，则f(0)=f(4),即a=-1，故选B.此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想.（三）分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略1、一次函数型：若原题可化为一次函数型,则由数形结合思想利用一次函数知识求解,十分简捷给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于0)(0)(nfmf同理，若在[m,n]内恒有f(x)0，则有0)(0)(nfmf例2．对于满足|a|2的所有实数a,求使不等式x2+ax+12a+x恒成立的x的取值范围.欢迎光临《中学数学信息网》[e-mail]《中学数学信息网》系列资料版权所有@《中学数学信息网》分析：在不等式中出现了两个字母：x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于a的一次函数大于0恒成立的问题.解：原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+10在|a|2时恒成立,设f(a)=(x-1)a+x2-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0，故有：)2(0)2(ff即0103422xxx解得：1113xxxx或或∴x-1或x3.即x∈(－∞,－1)∪(3,+∞)此类题本质上是利用了一次函数在区间[m,n]上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方（或下方）即可.2、二次函数型涉及到二次函数的问题是复习的重点，同学们要加强学习、归纳、总结，提炼出一些具体的方法，在今后的解题中自觉运用。（1）若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)大于0恒成立，则有00且a（2）若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以利用韦达定理以及根的分布知识求解。例3．若函数12)1()1()(22axaxaxf的定义域为R，求实数a的取值范围.分析：该题就转化为被开方数012)1()1(22axaxa在R上恒成立问题，并且注意对二次项系数的讨论.解：依题意，当时，Rx012)1()1(22axaxa恒成立，所以，①当,1,01,01{,0122aaaa时，即当此时.1,0112)1()1(22aaxaxa②当时，时，即当012)1(4)1(,01{012222aaaaa有,91,09101{22aaaa综上所述，f(x)的定义域为R时，]9,1[a例4.已知函数2()3fxxaxa，在R上()0fx恒成立，求a的取值范围.分析：()yfx的函数图像都在X轴及其上方，如右图所示：欢迎光临《中学数学信息网》[e-mail]《中学数学信息网》系列资料版权所有@《中学数学信息网》略解：22434120aaaa62a变式1：若2,2x时，()0fx恒成立，求a的取值范围.分析：要使2,2x时，()0fx恒成立，只需)(xf的最小值0)(ag即可.解：22()324aafxxa，令()fx在2,2上的最小值为()ga.⑴当22a，即4a时，()(2)730gafa73a又4aa不存在.⑵当222a，即44a时，2()()3024aagafa62a又44a42a⑶当22a，即4a时，()(2)70gafa7a又4a74a综上所述，72a.变式2：若2,2x时，()2fx恒成立，求a的取值范围.解法一：分析：题目中要证明2)(xf在2,2上恒成立，若把2移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间2,2时恒大于等于0的问题.略解：2()320fxxaxa，即2()10fxxaxa在2,2上成立.⑴2410aa222222a⑵24(1)0(2)0(2)02222aaffaa或2225a综上所述，2225a.解法二：（运用根的分布）⑴当22a，即4a时，()(2)732gafa54,3aa不存在.⑵当222a，即44a时，2()()3224aagafa，2—2欢迎光临《中学数学信息网》[e-mail]《中学数学信息网》系列资料版权所有@《中学数学信息网》222222a－2224a⑶当22a，即4a时，()(2)72gafa，5a54a综上所述2225a.此题属于含参数二次函数，求最值时，轴变区间定的情形，对轴与区间的位置进行分类讨论；还有与其相反的，轴动区间定，方法一样.对于二次函数在R上恒成立问题往往采用判别式法（如例4、例5），而对于二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题3、变量分离型若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于x取值范围内的任何一个数都有f(x)g(a)恒成立，则g(a)f(x)min;若对于x取值范围内的任何一个数，都有f(x)g(a)恒成立，则g(a)f(x)max.(其中f(x)max和f(x)min分别为f(x)的最大值和最小值)例5.已知三个不等式①0342xx，②0862xx，③0922mxx．要使同时满足①②的所有x的值满足③，求m的取值范围.略解：由①②得2x3,要使同时满足①②的所有x的值满足③,即不等式0922mxx在)3,2(x上恒成立，即)3,2(922xxxm在上恒成立，又，上大于在9)3,2(922xxx所以9m例6.函数)(xf是奇函数，且在]1,1[上单调递增，又1)1(f，若12)(2attxf对所有的]1,1[a都成立，求t的取值范围.解：据奇函数关于原点对称，,1)1(f又1)1()(]1,1[)(maxfxfxf上单调递增在12)(2attxf对所有的]1,1[a都成立.因此，只需122att大于或等于上在]1,1[)(xf的最大值1，欢迎光临《中学数学信息网》[e-mail]《中学数学信息网》系列资料版权所有@《中学数学信息网》0211222attatt都成立对所有又]1,1[a，即关于a的一次函数在[-1，1]上大于或等于0恒成立，2020202{22ttttttt或或即：),2[}0{]2,(t利用变量分离解决恒成立问题，主要是要把它转化为函数的最值问题4、根据函数的奇偶性、周期性等性质若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x,f(-x)=-f(x)(f(-x)=f(x))恒成立；若函数y=f(x)的周期为T，则对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。5、直接根据图象判断若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。例7.aaxxx恒成立，求实数，不等式对任意实数21的取值范围.分析：设y=|x+1|-|x-2|,恒成立，不等式对任意实数axxx21即转化为求函数y=|x+1|-|x-2|的最小值，画出此函数的图象即可求得a的取值范围.解：令2321121321xxxxxxy在直角坐标系中画出图象如图所示，由图象可看出，要使axxx21，不等式对任意实数恒成立，只需3a.故实数.3），的取值范围是（a本题中若将aaxxx恒成立，求实数，不等式对任意实数21改为①aaxxx恒成立，求实数，不等式对任意实数21，同样由图象可得a3;②aaxxx恒成立，求实数，不等式对任意实数21,构造函数，画出图象，得a3.利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围.欢迎光临《中学数学信息网》[e-mail]《中学数学信息网》系列资料版权所有@《中学数学信息网》三、在恒成立问题中，主要是求参数的取值范围问题，是一种热点题型，介绍一些基本的解题策略，在学习中学会把问题分类、归类，熟练基本方法。（一）换元引参，显露问题实质1、对于所有实数x，不等式xaaxaaaa22222241221140log()loglog()恒成立，求a的取值范围。解：因为log221aa的值随着参数a的变化而变化，若设taalog221，则上述问题实质是“当t为何值时，不等式()32202txtxt恒成立”。这是我们较为熟悉的二次函数问题，它等价于求解关于t的不等式组：3028302tttt()()。解得t0，即有log2210aa，易得01a。2、设点P（x，y）是圆