第11章 选考部分 第2节　不等式选讲 第二课时　不等式的证明

第二课时不等式的证明考试要求通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法.1.基本不等式定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立.定理2：如果a，b＞0，那么a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数的算数平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均.定理3：如果a，b，c∈(0，＋∞)，那么a＋b＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立.2.不等式的证明(1)比较法①作差法(a，b∈R)：a－b＞0⇔a＞b；a－b＜0⇔a＜b；a－b＝0⇔a＝b.②作商法(a＞0，b＞0)：ab＞1⇔a＞b；ab＜1⇔a＜b；ab＝1⇔a＝b.(2)综合法与分析法①综合法：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理论证而得出命题成立.综合法又叫顺推证法或由因导果法.②分析法：从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等).这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法.1.作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系.2.用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等.3.几个重要不等式(1)ba＋ab≥2(a，b同号)；(2)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论.()(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论.()(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.()(4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×解析(1)作商比较法是商与1的大小比较.(3)分析法是从结论出发，寻找结论成立的充分条件.(4)应用反证法时，“反设”可以作为推理的条件应用.2.(易错题)已知a，b∈R＋，a＋b＝2，则1a＋1b的最小值为()A.1B.2C.4D.8答案B解析因为a，b∈R＋，且a＋b＝2，所以1a＋1b＝12·(a＋b)1a＋1b＝122＋ba＋ab≥122＋2ba·ab＝2，即1a＋1b的最小值为2(当且仅当a＝b＝1时，“＝”成立).3.(易错题)若a＞b＞1，x＝a＋1a，y＝b＋1b，则x与y的大小关系是()A.x＞yB.x＜yC.x≥yD.x≤y答案A解析x－y＝a＋1a－b＋1b＝a－b＋b－aab＝（a－b）（ab－1）ab.由a＞b＞1得ab＞1，a－b＞0，所以（a－b）（ab－1）ab＞0，即x－y＞0，所以x＞y.4.已知a＋b＋c0，ab＋bc＋ac0，abc0，用反证法求证a0，b0，c0时的假设为()A.a0，b0，c0B.a≤0，b0，c0C.a，b，c不全是正数D.abc0答案C5.若a＝3－2，b＝6－5，c＝7－6，则a，b，c的大小关系为()A.abcB.acbC.bcaD.cab答案A解析“分子”有理化得a＝13＋2，b＝16＋5，c＝17＋6，∴abc.6.下列四个不等式：①logx10＋lgx≥2(x1)；②|a－b||a|＋|b|；③ba＋ab≥2(ab≠0)；④|x－1|＋|x－2|≥1，其中恒成立的个数是()A.1B.2C.3D.4答案C解析logx10＋lgx＝1lgx＋lgx≥2(x1)，①正确；ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|，②不正确；因为ab≠0，ba与ab同号，所以ba＋ab＝ba＋ab≥2，③正确；由|x－1|＋|x－2|的几何意义知，|x－1|＋|x－2|≥1恒成立，④也正确，综上①③④正确.考点一比较法、放缩法证明不等式例1设不等式－2＜|x－1|－|x＋2|＜0的解集为M，a，b∈M.(1)证明13a＋16b＜14；(2)证明|1－4ab|2|a－b|.证明(1)设f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝3，x≤－2，－2x－1，－2＜x＜1，－3，x≥1.由－2＜－2x－1＜0，解得－12＜x＜12.因此集合M＝－12，12，则|a|＜12，|b|＜12.所以13a＋16b≤13|a|＋16|b|＜13×12＋16×12＝14.(2)由(1)得a2＜14，b2＜14.因为|1－4ab|2－4|a－b|2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)＝16a2b2－4a2－4b2＋1＝(4a2－1)(4b2－1)＞0，所以|1－4ab|2＞4|a－b|2，故|1－4ab|＞2|a－b|.感悟提升1.比较法证明不等式的方法与步骤(1)作差比较法：作差、变形、判号、下结论.(2)作商比较法：作商、变形、判断、下结论.2.利用放缩法证明不等式时要目标明确，通过添、拆项后，适当放缩.训练1(1)已知a≥b＞0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则M，N的大小关系为________.答案M≥N解析M－N＝2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b).因为a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0，2a＋b＞0，从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故2a3－b3≥2ab2－a2b，即M≥N.(2)求证：112＋122＋132＋…＋1n22.证明∵1n21n（n－1）＝1n－1－1n(n∈N*，n1)，112＋122＋132＋…＋1n21＋11×2＋12×3＋13×4＋…＋1（n－1）×n＝1＋1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－1－1n＝1＋1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－1－1n＝2－1n2.∴原不等式成立.考点二综合法证明不等式例2(2022·河南六市调研)已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝2，求证：(1)ab＋bc＋ac≤43；(2)2－ab·2－bc·2－ca≥8.证明(1)将a＋b＋c＝2平方得a2＋b2＋c2＋2ab＋2cb＋2ac＝4，因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，所以三式相加得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，则4＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac≥3ab＋3bc＋3ac，所以ab＋bc＋ac≤43，当且仅当a＝b＝c＝23时等号成立.(2)2－ab＝b＋cb≥2bcb，2－bc＝a＋cc≥2acc，2－ca＝b＋aa≥2baa，则2－ab·2－bc·2－ca≥2bcb·2acc·2baa＝8，即2－ab·2－bc·2－ca≥8，当且仅当a＝b＝c＝23时等号成立.感悟提升1.综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键.2.在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的.在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件.训练2(2020·全国Ⅲ卷)设a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1.(1)证明：ab＋bc＋ca0；(2)用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥34.证明(1)由题设可知，a，b，c均不为零，所以ab＋bc＋ca＝12[(a＋b＋c)2－(a2＋b2＋c2)]＝－12(a2＋b2＋c2)0.(2)不妨设max{a，b，c}＝a.因为abc＝1，a＝－(b＋c)，所以a0，b0，c0.由bc≤（b＋c）24，可得abc≤a34，当且仅当b＝c＝－a2时取等号，故a≥34，所以max{a，b，c}≥34.考点三分析法证明不等式例3(2021·哈尔滨模拟)设a，b，c0，且ab＋bc＋ca＝1.求证：(1)a＋b＋c≥3；(2)abc＋bac＋cab≥3(a＋b＋c).证明(1)要证a＋b＋c≥3，由于a，b，c0，因此只需证明(a＋b＋c)2≥3，即证a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，又ab＋bc＋ca＝1，故需证明a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)，即证a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.又易知ab＋bc＋ca≤a2＋b22＋b2＋c22＋c2＋a22＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)，∴原不等式成立.(2)abc＋bac＋cab＝a＋b＋cabc.由于(1)中已证a＋b＋c≥3，因此要证原不等式成立，只需证明1abc≥a＋b＋c，即证abc＋bac＋cab≤1，即证abc＋bac＋cab≤ab＋bc＋ca.又abc＝ab·ac≤ab＋ac2，bac≤ab＋bc2，cab≤bc＋ca2，∴abc＋bac＋cab≤ab＋bc＋ca(当且仅当a＝b＝c＝33时等号成立).∴原不等式成立.感悟提升1.当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.2.分析法证明的思路是“执果索因”，其框图表示为：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件训练3已知a0，用分析法证明：a2＋1a2－2≥a＋1a－2.证明要证a2＋1a2－2≥a＋1a－2，只需证a2＋1a2≥a＋1a－(2－2).因为a0，所以a＋1a－(2－2)0，所以只需证a2＋1a22≥a＋1a－（2－2）2，即2(2－2)a＋1a≥8－42，只需证a＋1a≥2.因为a0，a＋1a≥2显然成立(当a＝1a＝1时等号成立)，所以要证的不等式成立.柯西不等式柯西不等式是法国著名的数学家、物理学家、天文学家柯西(Cauchy，1789～1857)发现的，故命名为柯西不等式.柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外，柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题中，借助柯西不等式的技巧可以达到事半功倍的效果.1.(柯西不等式的代数形式)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立.推广一般情形：设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn∈R，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2(当且仅当bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立).2.(柯西不等式的向量形式)设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，其中当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时等号成立.3.(柯西不等式的三角不等式)设x1，y1，x2，y2，x3，y3为任意实数，则：（x1－x2）2＋（y1－y2）2＋（x2－x3）2＋（y2－y3）2≥（x1－x3）2＋（y1－y3）2.例(1)已知2x2＋y2＝1，则2x＋y的最大值为________.答案3解析2x＋y＝2×2x＋1×y≤（2）2＋12×（2x）2＋y2＝3×2x2＋y2＝3.当且仅当x＝y＝33时取等号.所以2x＋y的最大值为3.(2)已知a1，a2，b1，b2为正实数，求证：(a1b1＋a2b2)·a1b1＋a2b2≥(a1＋a2)2.证明(a1b1＋a2b2)·a1b1＋a2b2＝[(a1b1)2＋(a2b2)2]a1b12＋a2b22≥a1b1·a1b1＋a2b2·a2b22＝(a1＋a2)2.当且仅当b1＝b2时，等号成立.1.设a0，|x－1|a3，|y－2|a3，求证：|2x＋y－4|