专题20 坐标系与参数方程（教师版）

专题20坐标系与参数方程1．【2022年全国甲卷】在直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，曲线𝐶1的参数方程为{𝑥=2+𝑡6𝑦=√𝑡（t为参数），曲线𝐶2的参数方程为{𝑥=−2+𝑠6𝑦=−√𝑠（s为参数）．(1)写出𝐶1的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线𝐶3的极坐标方程为2cos𝜃−sin𝜃=0，求𝐶3与𝐶1交点的直角坐标，及𝐶3与𝐶2交点的直角坐标．【答案】(1)𝑦2=6𝑥−2(𝑦≥0)；(2)𝐶3,𝐶1的交点坐标为(12,1)，(1,2)，𝐶3,𝐶2的交点坐标为(−12,−1)，(−1,−2)．【解析】【分析】(1)消去𝑡，即可得到𝐶1的普通方程；(2)将曲线𝐶2,𝐶3的方程化成普通方程，联立求解即解出．(1)因为𝑥=2+𝑡6，𝑦=√𝑡，所以𝑥=2+𝑦26，即𝐶1的普通方程为𝑦2=6𝑥−2(𝑦≥0)．(2)因为𝑥=−2+𝑠6,𝑦=−√𝑠，所以6𝑥=−2−𝑦2，即𝐶2的普通方程为𝑦2=−6𝑥−2(𝑦≤0)，由2cos𝜃−sin𝜃=0⇒2𝜌cos𝜃−𝜌sin𝜃=0，即𝐶3的普通方程为2𝑥−𝑦=0．联立{𝑦2=6𝑥−2(𝑦≥0)2𝑥−𝑦=0，解得：{𝑥=12𝑦=1或{𝑥=1𝑦=2，即交点坐标为(12,1)，(1,2)；联立{𝑦2=−6𝑥−2(𝑦≤0)2𝑥−𝑦=0，解得：{𝑥=−12𝑦=−1或{𝑥=−1𝑦=−2，即交点坐标为(−12,−1)，(−1,−2)．2．【2022年全国乙卷】在直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，曲线C的参数方程为{𝑥=√3cos2𝑡𝑦=2sin𝑡，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为𝜌sin(𝜃+𝜋3)+𝑚=0．(1)写出l的直角坐标方程；(2)若l与C有公共点，求m的取值范围．【答案】(1)√3𝑥+𝑦+2𝑚=0(2)−1912≤𝑚≤52【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；（2）联立l与C的方程，采用换元法处理，根据新设a的取值范围求解m的范围即可.(1)因为l：𝜌sin(𝜃+𝜋3)+𝑚=0，所以12𝜌⋅sin𝜃+√32𝜌⋅cos𝜃+𝑚=0，又因为𝜌⋅sin𝜃=𝑦,𝜌⋅cos𝜃=𝑥，所以化简为12𝑦+√32𝑥+𝑚=0，整理得l的直角坐标方程：√3𝑥+𝑦+2𝑚=0(2)联立l与C的方程，即将𝑥=√3cos2𝑡，𝑦=2sin𝑡代入√3𝑥+𝑦+2𝑚=0中，可得3cos2𝑡+2sin𝑡+2𝑚=0，所以3(1−2sin2𝑡)+2sin𝑡+2𝑚=0，化简为−6sin2𝑡+2sin𝑡+3+2𝑚=0，要使l与C有公共点，则2𝑚=6sin2𝑡−2sin𝑡−3有解，令sin𝑡=𝑎，则𝑎∈[−1,1]，令𝑓(𝑎)=6𝑎2−2𝑎−3，(−1≤𝑎≤1)，对称轴为𝑎=16，开口向上，所以𝑓(𝑎)𝑚𝑎𝑥=𝑓(−1)=6+2−3=5，𝑓(𝑎)min=𝑓(16)=16−26−3=−196，所以−196≤2𝑚≤5m的取值范围为−1912≤𝑚≤52.3．【2021年甲卷文科】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22cos．（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A的直角坐标为1,0，M为C上的动点，点P满足2APAM，写出Р的轨迹1C的参数方程，并判断C与1C是否有公共点．【答案】（1）2222xy；（2）P的轨迹1C的参数方程为322cos2sinxy（为参数），C与1C没有公共点.【解析】【分析】（1）将曲线C的极坐标方程化为222cos，将cos,sinxy代入可得；（2）方法一：设,Pxy，设22cos,2sinM，根据向量关系即可求得P的轨迹1C的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得.【详解】（1）由曲线C的极坐标方程22cos可得222cos，将cos,sinxy代入可得2222xyx，即2222xy，即曲线C的直角坐标方程为2222xy；（2）[方法一]【最优解】设,Pxy，设22cos,2sinM2APAM，1,222cos1,2sin22cos2,2sinxy，则122cos22sinxy，即322cos2sinxy，故P的轨迹1C的参数方程为322cos2sinxy（为参数）曲线C的圆心为2,0，半径为2，曲线1C的圆心为32,0，半径为2，则圆心距为322，32222，两圆内含，故曲线C与1C没有公共点.[方法二]：设点P的直角坐标为(,)xy，1(Mx，1)y，因为(1,0)A，所以(1,)APxy，1(1AMx，1)y，由2APAM，即1112(1)2xxyy，解得112(1)1222xxyy，所以2((1)12Mx，2)2y，代入C的方程得2222[(1)12]()222xy，化简得点P的轨迹方程是22(32)4xy，表示圆心为1(32C，0)，半径为2的圆；化为参数方程是322cos2sinxy，为参数；计算1|||(32)2|32222CC，所以圆C与圆1C内含，没有公共点．【整体点评】本题第二问考查利用相关点法求动点的轨迹方程问题，方法一：利用参数方程的方法，设出M的参数坐标，再利用向量关系解出求解点P的参数坐标，得到参数方程.方法二：利用代数方法，设出点P的坐标，再利用向量关系将M的坐标用点P的坐标表示，代入曲线C的直角坐标方程，得到点P的轨迹方程，最后化为参数方程.4．【2021年乙卷文科】在直角坐标系xOy中，C的圆心为2,1C，半径为1．（1）写出C的一个参数方程;（2）过点4,1F作C的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．【答案】（1）2cos1sinxy，（为参数）；（2）53sin262和3sin262．【解析】【分析】（1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程；（2）先求得过（4，1）的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可.【详解】（1）由题意，C的普通方程为22(2)(1)1xy，所以C的参数方程为2cos1sinxy，（为参数）（2）[方法一]：直角坐标系方法①当直线的斜率不存在时，直线方程为4x，此时圆心到直线的距离为2r，故舍去．②当切线斜率存在时，设其方程为(4)1ykx，即410kxyk．故2|2141|11kkk，即222|2|1,41kkkk，解得33k．所以切线方程为3(4)13yx或3(4)13yx．两条切线的极坐标方程分别为343sincos133和343sincos133．即53sin262和3sin262．[方法二]【最优解】：定义求斜率法如图所示，过点F作C的两条切线，切点分别为A，B．在ACF中，3tan3ACAFCAF，又∥CFx轴，所以两条切线,FAFB的斜率分别33和33．故切线的方程为3(4)13yx，3(4)13yx，这两条切线的极坐标方程为34sincos3133和34sincos3133．即53sin262和3sin262．【整体点评】（2）方法一：直角坐标系中直线与圆相切的条件求得切线方程，再转化为极坐标方程，方法二：直接根据倾斜角求得切线的斜率，得到切线的直角坐标方程，然后转化为极坐标方程,在本题中巧妙的利用已知圆和点的特殊性求解，计算尤其简洁，为最优解.5．【2020年新课标1卷理科】在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为cos,sinkkxtyt(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为4cos16sin30．（1）当1k时，1C是什么曲线？（2）当4k时，求1C与2C的公共点的直角坐标．【答案】（1）曲线1C表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）11(,)44.【解析】【分析】（1）利用22sincos1tt消去参数t，求出曲线1C的普通方程，即可得出结论；（2）当4k时，0,0xy，曲线1C的参数方程化为22cos(sinxttyt为参数），两式相加消去参数t，得1C普通方程，由cos,sinxy，将曲线2C化为直角坐标方程，联立12,CC方程，即可求解.【详解】（1）当1k时，曲线1C的参数方程为cos(sinxttyt为参数），两式平方相加得221xy，所以曲线1C表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）当4k时，曲线1C的参数方程为44cos(sinxttyt为参数），所以0,0xy，曲线1C的参数方程化为22cos(sinxttyt为参数），两式相加得曲线1C方程为1xy，得1yx，平方得21,01,01yxxxy，曲线2C的极坐标方程为4cos16sin30，曲线2C直角坐标方程为41630xy，联立12,CC方程2141630yxxxy，整理得1232130xx，解得12x或136x（舍去），11,44xy，12,CC公共点的直角坐标为11(,)44.【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关键，要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题.6．【2020年新课标2卷理科】已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：224cos4sinxy，（θ为参数），C2：1,1xttytt（t为参数）.（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.【答案】（1）1:404Cxyx；222:4Cxy；（2）17cos5.【解析】【分析】（1）分别消去参数和t即可得到所求普通方程；（2）两方程联立求得点P，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.【详解】(1)[方法一]：消元法由22cossin1得1C的普通方程为4(04)xyx．由参数方程可得22,xytxyt，两式相乘得普通方程为224xy．[方法二]【最优解】：代入消元法由22cossin1得1C的普通方程为4(04)xyx，由参数方程可得2xyt，代入1xtt中并化简得普通方程为224xy．(2)[方法一]：几何意义+极坐标将1,1xttytt代入4xy中解得2t，故P点的直角坐标为53,22P．设P点的极坐标为00,P，由222tanxyyx得0342，03tan5，0534cos34．故所求圆的直径为172cos5r，所求圆的极坐标方程为2cosr，即17cos5．[方法二]：由224