重难点突破13 多元函数最值问题（十二大题型）（原卷版）

重难点突破13多元函数最值问题目录解决多元函数的最值问题不仅涉及到函数、导数、均值不等式等知识，还涉及到消元法、三角代换法、齐次式等解题技能．题型一：消元法例1．（2023·全国·高三专题练习）已知正实数x，y满足lnelnxxyy，则exy的最大值为______.例2．（2023·广东梅州·高三五华县水寨中学校考阶段练习）已知实数,mn满足：e(1)ln(1)(0)mmnntt，则ln(1)tmn的最大值为___________.例3．（2023·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）对任给实数0xy,不等式222()xycxyx恒成立,则实数c的最大值为__________.题型二：判别式法例4．（2023·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期中）若,xyR，2241xyxy，则当x______时，xy取得最大值，该最大值为______.例5．（2023·全国·高三竞赛）在ABC中，2cos3cos6cosABC，则cosC的最大值为_______________．例6．（2023·高一课时练习）设非零实数a，b满足224ab，若函数21axbyx存在最大值M和最小值m，则Mm_________.变式1．（2023·江苏·高三专题练习）若正实数,xy满足2(21)(52)(2)xyyy，则12xy的最大值为________．变式2．（2023·全国·高三专题练习）设,abR，0，若224ab，且ab的最大值是5，则___________.题型三：基本不等式法例7．设x、y、z是不全是0的实数.则三元函数222,,xyyzfxyzxyz的最大值是_____.例8．（2023·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）若实数,xy满足2221xxyy，则222522xyxxyy的最大值为________.例9．（2023·全国·高三专题练习）已知正数,,abc，则2222abbcabc的最大值为_________．题型四：辅助角公式法例10．（2023·江苏苏州·高三统考开学考试）设角、均为锐角，则sinsincos的范围是______________．例11．cos()coscos1y的取值范围是．题型五：柯西不等式法例12．（2023·广西钦州·高二统考期末）已知实数ia，ibR，（i＝1，2…，n），且满足222121naaa，222121nbbb，则1122nnababab最大值为（）A．1B．2C．2nD．2n例13．（2023·陕西渭南·高二校考阶段练习）已知x，y，z是正实数，且5xyz，则2222xyz的最小值为______.例14．（2023·江苏淮安·高二校联考期中）已知2221xyz，3616abc，则222xaybzc的最小值为______.变式3．（2023·全国·高三竞赛）已知x、y、zR，且2510sxyz，111txyz，则22st的最小值为.A．35B．410C．36D．45变式4．（2023·全国·高三竞赛）设abcd、、、为实数，且222240abcd.则324abcd的最大值等于.A．2B．0C．2D．22题型六：权方和不等式法例15．（2023·甘肃·高三校联考）已知x0，y0，且11121xyy，则x+2y的最小值为____________.例16．已知实数,xy满足0xy且1xy，则213xyxy的最小值是例17．已知1,1ab，则2211abba的最小值是．变式5．已知122,0,1xyxy，则22xy的最小值是．题型七：拉格朗日乘数法例18．0x，0y，17xyxy，求23xy的最小值．例19．设,xy为实数，若2241xyxy，则2xy的最大值是．题型八：三角换元法例20．（2023·山西晋中·高三祁县中学校考阶段练习）已知函数3()33333xxfxxx，若22(3)(1)6fafb，则21ab的最大值是________例21．（2023·浙江温州·高一校联考竞赛）2221xxyy，则222xxyy的最小值为______.题型九：构造齐次式例22．（2023·江苏·高一专题练习）已知0x，0y，则2222282xyxyxyxy的最大值是______.例23．（2023·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知实数,0ab，若21ab，则31abab的最小值为（）A．12B．23C．63D．8例24．（2023·天津南开·高三统考期中）已知正实数a，b，c满足22290aabbc，则abc的最大值为____________．题型十：数形结合法例25．（2023·全国·高三专题练习）函数2fxxaxb（a，bR）在区间[0，c]（0c）上的最大值为M，则当M取最小值2时，abc_____例26．（2023·江苏扬州·高三阶段练习）已知函数ln,024,0xxxfxxex，若12xx且12fxfx，则12xx的最大值为（）A．12eeB．21eC．5eD．52e例27．（2023·全国·高三专题练习）已知函数ln,01,0xxxfxxx，若12xx且12fxfx，则12xx的最大值为（）A．22B．2C．2D．1变式6．（2023·江苏·高三专题练习）已知函数,01,ln2,12,xxfxxx若存在实数1x，2x满足1202xx，且12fxfx，则21xx的最大值为（）A．2eB．e12C．1ln2D．2ln4题型十一：向量法例28．（2023·江苏南通·高一海安高级中学校考阶段练习）17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小，现已证明：在ABC中，若三个内角均小于120，则当点P满足120APBAPCBPC????时，点P到三角形三个顶点的距离之和最小，点P被人们称为费马点．根据以上知识，已知a为平面内任意一个向量，b和c是平面内两个互相垂直的向量，且||2,||3bc，则||||||ababac的最小值是_____________．例29．（2023·浙江嘉兴·高一统考期末）已知平面向量a，b，c满足1a，2b，2||aab，()02bcc，则22||||cacb的最小值为________.例30．（2023·湖北武汉·高一湖北省武昌实验中学校联考期末）已知向量a，b满足0abb，44ab，则abb的最大值为__________．题型十二：琴生不等式法例31．（2023·福建龙岩·高三校考阶段练习）若函数fx的导函数fx存在导数，记fx的导数为fx．如果对xab，，都有0fx，则fx有如下性质：1212()()()nnxxxfxfxfxfnn．其中*Nn，1x，2x，L，nxab，.若sinfxx，则在锐角ABC中，根据上述性质推断：sinsinsinABC的最大值为________.例32．（2023·全国·高三竞赛）半径为R的圆的内接三角形的面积的最大值是______．例33．（2023·北京·高三强基计划）已知正实数a，b满足1ab，求11abab的最小值．