专题07 解三角形（面积问题（含定值，最值，范围问题））(典型题型归类训练)（解析版）

专题07解三角形（面积问题（含定值，最值，范围问题））(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍......................................................1二、典型题型......................................................2题型一：求三角形面积（定值问题）................................2题型二：求三角形面积（最值问题，优先推荐基本不等式）............6题型三：求三角形面积（范围问题，优先推荐正弦定理化角）.........11三、专项训练.....................................................15一、必备秘籍基本公式1、正弦定理及其变形2(sinsinsinabcRRABC为三角形外接圆半径）12sin,2sin,2sinaRAbRBcRC（）(边化角公式）2sin,sin,sin222abcABCRRR（）(角化边公式）3::sin:sin:sinabcABC（）基本公式2、余弦定理及其推论2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacabcCab基本公式3、常用的三角形面积公式（1）高底21ABCS；（2）BcaAbcCabSABCsin21sin21sin21（两边夹一角）；核心秘籍1、基本不等式①2abab②222abab核心秘籍2：利用正弦定理化角（如求三角形面积取值范围，优先考虑化角求范围）利用正弦定理2sinaRA，2sinbRB，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积的取值范围.二、典型题型题型一：求三角形面积（定值问题）1．（2023·陕西渭南·统考模拟预测）已知ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，且sinsin2BbCc．(1)求角B；(2)若13,3bca，求ABC的面积．【答案】(1)2π3(2)334【详解】（1）根据sinsin2BbCc，由正弦定理可得sinsinsinsin2BBCC，又sin0C，所以可得sin2sincossin222BBBB，即1cos22B；因为0,πB，所以π23B即2π3B．（2）由13,3bca结合（1）中的结论2π3B，由余弦定理可得2222cosbacacB，即222113962aaa，解得21a，即1,3ac，所以11333sin132224ABCSacB．即ABC的面积为334.2．（2023·湖南永州·统考一模）在ABC中，设,,ABC所对的边分别为,,abc，且满足coscoscAaCab．(1)求角C；(2)若5,cABC的内切圆半径34r，求ABC的面积．【答案】(1)2π3(2)21316【详解】（1）在ABC中，由coscoscAaCab得sincossincossinsinCAACAB，即sincossincossinsin()CAACAAC,故2sincossinACA，由于(0,π),sin0AA，故1cos2C，而(0,π)C，故2π3C.（2）由2π3C可得222cabab，而5c，故2225abab，则2()25abab，由ABC的内切圆半径34r，可得11()sin22abcrabC，即53()342abab，即25abab，故2(25)25abab，解得214ab，故ABC的面积11213213sin224216SabC.3．（2023·云南·校联考模拟预测）已知2()3sincossinfxxxx．在ABC中，3()2fA．(1)求角A的大小；(2)D是边BC上的一点，且sin2sinCB，AD平分BAC，且2AD，求ABC的面积．【答案】(1)π3；(2)332.【详解】（1）依题意，31π1()sin2(1cos2)sin(2)2262fxxxx，由3()2fA，得πsin(2)16A，而0πA，即ππ11π2666A，因此ππ262A，所以π3A.（2）在ABC中，由sin2sinCB及正弦定理，得2cb，由（1）及AD平分BAC，得1π26BADCADBAC，又2AD，由ABDACDABCSSS△△△，得111sinsinsin222cADBADbADCADbcBAC，即2πππ4sin2sin2sin663bbb，解得3b，23c，所以ABC的面积1333323222ABCS△.4．（2023·福建·校联考模拟预测）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3a，3cossin3BaBc，且coscosbBcC.(1)求A；(2)求ABC的面积.【答案】(1)π3A(2)334【详解】（1）由3cossin3BaBc及3a，得3cossin3aBaBc，由正弦定理得3sincossinsin3sin3sinABABCAB，所以sinsin3cossinABAB，sin0B，所以tan3A，又因为0,πA，所以π3A.（2）由coscosbBcC结合正弦定理得sincossincosBBCC，即sin2sin2BC，所以BC或π2BC.又因为π3A，所以π2BC.所以π3BCA，因为3a，所以3abc，所以11333sin332224ABCSbcA，即ABC的面积为334.5．（2023·辽宁沈阳·沈阳铁路实验中学校考二模）如图，在四边形ABCD中，DAB与DCB互补，6,4,4,2ABBCCDAD．(1)求AC；(2)求四边形ABCD的面积．【答案】(1)27AC(2)83【详解】（1）连接AC，如图，DAB与DCB互补，ADC与ABC互补，在ADC△中，2222cosACADCDADCDADC，即2416224cosACADC，得220cos16ACADC，在ABC中，2222cosACABBCABBCABC，即23616264cosACABC，得252cos48ACABC，又ADC与ABC互补，coscos0ADCABC，故27AC；（2）由（1）得13cos,sin22ADCADC，1sin232ADCSADCDADC△，由（1）得13cos,sin22ABCABC，1sin632ABCSABBCABC△，83ABCACDABCDSSS△△四边形．6．（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）设ABC的内角ABC，，所对边分别为,,,,Nabcabc，若1cossin2cossinBBAA．(1)求acb的值;(2)若ab且三个内角中最大角是最小角的两倍，当ABC周长取最小值时，求ABC的面积．【答案】(1)2(2)1574【详解】（1）因为1cossin2cossinBBAA，所以sinsincos2sincossinAABBAB，因为πCAB，所以sinsinsincoscossinCABABAB，所以sinsin2sinACB，由正弦定理sinsinsinabcABC，得2acb，即2acb．（2）由2acb可得：0cbba，故cba，于是2CA，由正弦定理sinsinacAC及余弦定理222cos2bcaAbc可得：2222222sin22cossinbcacabbcabcacAbcaAaAbcbcbcc45322cacacacc，解得：ca(舍)或者32ca，故54ba，因为,,Nabc，所以当4a时，周长最小，此时3456cos24cabcAa，，，，所以27sin1cos4AA，所以ABC的面积为117157sin562244bcA．题型二：求三角形面积（最值问题，优先推荐基本不等式）1．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在ABC中，角,,ABC的对边分别是,,abc，且cos3sincAcAab.(1)求角C；(2)若ABC的中线CD长为23，求ABC面积的最大值.【答案】(1)π3C(2)43【详解】（1）在ABC中，由正弦定理得：sincos3sinsinsinsinCACAAB，而πsinsinBACBAC，所以sincos3sinsinsinsinCACAAAC，化简得3sinsinsinsincosCAAAC，因为0,πA，所以sin0A，3sin1cosCC，即3sincos1CC，所以π1sin62C，又因为ππ5π,666C，所以ππ66C，即π3C.（2）由CD是ABC的中线，12CDCACB，所以2221||||24CDCACBCACB，即221124abab，所以22483ababab，所以16ab，当且仅当ab时，等号成立，所以三角形面积13sin4324SabCab，即ABC的面积的最大值为43.2．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3sinsin2BCbaB，边BC上有一动点D.(1)求角A的大小；(2)当D为边BC中点时，3AD，求ABC面积的最大值.【答案】(1)2π3A(2)33【详解】（1）因为3sinsin2BCbaB，所以π3sinsin2AbaB，即3cossin2AbaB.由正弦定理，得3sincossinsin2ABAB.因为sin0B，所以3cossin2sincos222AAAA.因为cos02A，所以3sin22A.又因为π022A，所以π23A，则2π3A.（2）因为D为边BC中点，所以2ADABAC，则224ADABAC.又3AD，2π3A，所以222π122cos3bcbc，即2212bcbcbc，仅当bc时取等号，所以13sin3324ABCSbcAbc△，故ABC面积的最大值为33.3．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3coscos22ABC.(1)求角C的大小；(2)若6c，求ABC的面积S的最大值.【答案】(1)2π3(2)33【详解】（1）因为coscosπcosABCC，2cos22cos1CC，所以3coscos22ABC可化为22cos3cos10CC，所以2cos1cos10CC，又因为cos1,1C解得1cos2C，又因为0,πC，所以2π3C.（2）由余弦定理得2221cos22abcCab，所以222abcab，又6c，所以2236abab，所以2236abab，又因为222abab，当且仅当ab时等号成立，所以362abab，所以12ab，当且仅当23ab时等号成立，所以三角形的面积13sin3324SabCab，当且仅当23ab时等号成立