11.1《三角形的高、中线和角平分线》练习题

三角形的高、中线和角平分线例1(1)从三角形一个顶点向它的对边画______，以______和______为端点的线段叫做三角形这边上的高．如图1，若CD是△ABC中AB边上的高，则∠ADC______∠BDC＝______，C点到对边AB的距离是______的长．(2)连结三角形的一个顶点和它______的______叫做三角形这边上的中线．如图1，若BE是△ABC中AC边上的中线，则AE______.______21EC(3)三角形一个角的______与这个角的对边相交，以这个角的______和______为端点的线段叫做三角形的角平分线．一个角的平分线与三角形的角平分线的区别是______________________________________________________________________．如图2，若AD是△ABC的角平分线，则∠BAD______∠CAD＝21______或∠BAC＝2______＝2______．图1图2例2如图所示：(1)在ABC中,BC边上的高是_________(2)在AEC中，CE边上的高是__________(3)在BCF中,BC边上的高是__________(4)若AB=4cm,CE=2cm,BC=3cm,则AD=__________，ABCS__________FEDCAB例3如图在△ABC中，若AF是BC边上的中线，且BF=AC=21AB=5,求△ABC的周长。例4如图，ABC中，cm4cm2BCAB，，ABC的高AD与CE的比是多少？（提示：利用三角形的面积公式。）A档（巩固专练）1．(1)分别画出△ABC的三条高AD、BE、CF．(∠A为锐角)(∠A为直角)(∠A为钝角)(2)这三条高AD、BE、CF所在的直线有怎样的位置关系?2．(1)分别画出△ABC的三条中线AD、BE、CF．(2)这三条中线AD、BE、CF有怎样的位置关系?(3)设中线AD与BE相交于M点，分别量一量线段BM和ME、线段AM和MD的长，从中你能发现什么结论?3．(1)分别画出△ABC的三条角平分线AD、BE、CF.(2)这三条角平分线AD、BE、CF有怎样的位置关系?(3)设△ABC的角平分线BE、CF交于N点，请量一量点N到△ABC三边的距离，从中你能发现什么结论?4.已知：△GEF，分别画出此三角形的高GH，中线EM，角平分线FN．5.如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，则△ABC中BC边上的高是__________；AC边上的高是________；这三条高交于点____．ABCD6.一个三角形有__________条高，它们是相交于__________，如图所示AD是ABC的高，.___________21,90________BCSADBABCDABC7.如图所示，H为ABC三条高AD、BE、CF的交点，则HBC中，BC边上的高是__________，BHA中，BH边上的高是____。AF是______，_______，______的高，BHCS________=__________=________.8.一个三角形有条中线，如图，在△ABC中，若BE是AC边上的中线，则有AE==21，若过B点作AC边上的高BD，利用三角形的面积公式可求得ABCABESS219.如图，在△ABC中，BD=CD，∠ABE=∠CBE，BE交AD于F。(1)AD是△的线，是△BCE的中线；(2)BE是△的线，是△ABD的角平分线。10.(1)如果将一个三角形的三边的长确定，那么这个三角形的形状和大小就不会改变了，三角形的这个性质叫做________________________.(2)四边形是否具有这种性质?B档（提升精练）1.如图，已知AD、AE分别为△ABC的中线、高线，已知：BC=6cm，AE=4cm，求ABCS，ABDSABCDE2.如图，点D是BC边上的中点，如果AB=3cm，AC=4cm，则△ABD与△ACD的周长差为.3.如图，在△ABC中，AB=ACBC，周长为16cm，AC边上的中线BE将△ABC分成周长差为2cm的两个三角形，求△ABC的各边长。4.如图，在ABC中，ACBABC,的平分线CEBD,交于点O，50A，求BOC的度数。21DCOEBA5.如图在△ABC中，AD是角平分线，且∠B=52°，∠C=78°，求∠ADB的度数DCBA6.在△ABC中，∠A=21∠C=21∠ABC，BD是角平分线，求∠A及∠BDC的度数。7.如图，AD是ABC的角平分线，ACDE//,DE交AB于E，ABDF//,DF交AC于F。图中1与2有什么关系？为什么？8.已知：△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，如果D点把三角形ABC的周长分为DCBA12cm和15cm两部分，求此三角形各边的长．9.已知：△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，如果D点把三角形ABC的周长分为9m和15cm两部分，求此三角形各边的长．10.等腰△ABC中，AB=AC，一腰与底边的和为8，中线BM截△ABC所得的两个三角形的周长之差为2，求△ABC的周长.C档（跨越导练）1.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点,那么这个三角形是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.无法确定2.下列说法中错误的是（）A、一个三角形中至少有一个角不少于60°B、三角形的中线不可能在三角形的外部C、直角三角形只有一条高D、三角形的中线把三角形的面积平均分成相等的两部分3.如图，AD是ABC的中线，E为AD上任意一点，那么ABES与ACES是什么关系？说明理由.4.如图：AD为ABC的中线，E为AD中点，4ABCS，（1）你可以求得哪个三角形的面积？（2）F为EC中点，F与某个三角形的顶点相连，你还可以求得哪个三角形的面积？ECDBAECDBA5.如图：已知ABC，延长AB到D,使BDAB,延长BC到E,使CEBC,延长CA到F,使AFCA,若1ABCS，求DEFS.FECDBA6.如图：ABC中，CD、BE是中线，CD、BE交于O点.求证:ADOEOBCSS四边形.OEDCBA7.△ABC是一个等边三角形.P点是三角形内的一点.由P点分别向BC,CA和AB引垂线PD,PE和PF.判断PD+PE+PF为常数吗？（用面积来证）8.△ABC是一个等腰三角形.P点是边BC上一点.由P点分别向AB,AC引垂线PD,PE.判断PD+PE这时为常数吗？在这种情形下P点在△ABC内时，判断PD+PE+PF为常数吗？EDBACP9．将一个三角形剖分成若干个面积相等的小三角形，称为该三角形的等积三角形的剖分(以下两问要求各画三个示意图)(1)已知一个任意三角形，并其剖分成3个等积的三角形．(2)已知一个任意三角形，将其剖分成4个等积的三角形．10．不等边△ABC的两条高长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长．三角形的高、中线和角平分线参考答案例1(1)垂线，顶点、垂足，＝，90°，高CD的长．(2)所对的边的中点、线段，＝，AC(3)平分线，顶点、交点，一个角的平分线是射线，而三角形的角平分线是线段．＝，∠BAC，∠BAD，∠DAC例2（1）AD（2）AE（3）FB（4）384例325例41：2A档（巩固专练）1.(1)略，(2)三条高所在直线交于一点．2.(1)略，(2)三条中线交于一点，(3)BM＝2ME．3.(1)略，(2)三条角平分线交于一点，(3)点N到△ABC三边的距离相等．4.略5.ACBCC6.3一点ADCAD7.DHAEAFHAFCAHCBFHCCEBHHDBC2121218.3ECACCBES9.(1)ABC中ED(2)ABC角平分BE10.(1)三角形的稳定性，(2)不具有稳定性．B档（提升精练）1.2cm12ABCS，2cm6ABDS2.1cm3.6cm6cm4cm4.1155.1036.36727.1=28.提示：有两种情况，分别运用方程思想，设未知数求解．,11,8BCACAB或.7,10BCACAB9.提示：分两种情况考虑，舍去不能构成三角形的解。,12,6BCACAB（舍）或.4,10BCACAB10.11或13C档（跨越导练）1.C2.C3.相等，三角形的中线平分三角形的面积4.（1）可以得到里面所有三角形的面积（具体三角形略）（2）略5.76.提示：先证OCEOBDSS再证ADOEOBCSS四边形7.提示：ABCBCPACPABPSSSS8.PD+PE为常数，PD+PE+PF不是常数。9.(1)(2)下列各图是答案的一部分：10.它的长为5，或4．提示：设S△ABC＝S，第三条高为h，则△ABC的三边长可表示为：hSSS212242、、，列不等式得：12242212242SShSSS