高量23-占有数表象

1§35占有数表象§35-1态函数121212!||!!!illnnnnbbbnnn是单粒子B表象的n粒子对称化Hilbert空间中的一组基矢，它所描写的是n粒子系统中有nl个粒子处于单粒子bl态(l=1,2,3…)的状态。2对于n粒子系统的一般的状态|ψ，可以写成按这套基矢展开的形式：)(|)(||)(|212121211212llnnnillnnninnnnnnnnnnnnnnnnll式中|)(2121llnnnnnn是展开系数。根据表象理论，ψ(n1n2…nl…)称为状态|ψ在占有数表象中的态函数；因为基矢{|n1n2…nl…}是占有数算符Ni的共同本征矢量，所以称此为占有数表象。3态函数ψ(n1n2…nl…)的意义：|ψ(n1n2…nl…)|2是指在n粒子系统中，有n1个粒子在b1态，n2个粒子在b2态，…,nl个粒子在bl态的概率。n1n2…满足nnii若ψ描写Bose子，ni可取0和正整数，不可以取负数；若ψ描写Fermi子，则ni只能取0和1两值。4§35-2产生算符和消灭算符一、产生算符和消灭算符对态函数的作用产生算符矩阵元为121212121221111|1|||llnnnnnnlllllllllnnnnnnnnnnnannn消灭算符矩阵元为121212211||llnnnnnnlllllnnnnannn5取占有数表象，||||''2'1''2'12121'1'2'lllnnnlnnnnnnGnnnnnnl取laG得)1()(1)(21''2'11''21'1'2'''22'11llllnnnnnnnnnlllnnnnnnnnnnnlll由于δ函数的存在，消去了矩阵相乘时的取和操作，)(ˆ)(2121llnnnannnaˆ的定义为)1()(ˆ2121lllllnnnnnnna设||G所以6若取（35.6）式中的G为消灭算符al，则可得到)1(1)(ˆ2121lllllnnnnnnna二、算符的对易关系取具体表象并不改变矢量空间中矢量与算符的关系。'''''''ˆˆˆˆ0ˆˆˆˆ0ˆˆˆˆllllllllllllllaaaaaaaaaaaa7占有数算符与总粒子数算符llllNNaaNˆˆ,ˆˆˆlmmmllmmmlaaNaaNˆˆ,ˆˆˆ,ˆ三、产生算符对态函数作用的理解由(35.8)式知，产生算符作用于态函数，使其自变量减少1（以及乘上一个因子）而不是增加1。8例如有一个态|n1n2n3=|214，这是一个7粒子态，其中有两个在b1态，一个在b2态，四个在b3态。这个态是占有数表象的一个基矢，其态函数形式为412321321)(nnnnnn因为n1取2，n2取1和n3取4同时成立时概率为1，取其它值的概率为零。这是对态函数的定义，按照这种定义，三个“变量”分别取2，1，4时才为非零值。9使用产生算符作用51234)1(1233213321332132121215)1,,()(ˆnnnnnnnnnnnnnnnnnna产生算符的作用，正好是在第三态上增加一个粒子。但是，产生算符对态函数的作用使其中相应的自变量减少1，而不是使自变量增加1。10§35-3算符两种形式的比较两种形式的算符：一种是作用于态矢量的，定义是：1|1|2121lllllnnnnnnna1||2121lllllnnnnnnna另一种是占有数表象中作用于态函数上的，其定义是：)1()(2121lllllnnnnnnna)1(1)(2121lllllnnnnnnna11二者的区别：（1）|n1n2…nl…是基矢，其中的n1n2…nl…是具体的数；而ψ(n1n2…nl…)是占有数表象中的态函数，可以描写任意状态，其中的n1n2…nl…是函数的自变量，不是固定的数。（2）作用于|n1n2…nl…时,(35.12)式等号右边的根号中写什么，要看被作用的基矢中第l个n是什么数，写这个数加1；对于作用于函数上的产生算符，(35.14)式等号右边根号中永远是自变量nl，不必管被作用的函数；la12（3）关于符号因子121lnnnl对于作用于基矢的产生算符，符号因子指数上的n1+n2+…+nl-1要根据被作用的基矢来写。但对于作用于态函数的产生算符，指数就是n1+n2+…+nl-1，不管受作用的态函数的情况。13（4）对于作用于态矢量的产生算符，(35.12)式等号右边矢量前面的因子是常数，如再有另外的算符来作用，可以提到算符之前。但对于作用于态函数上的产生算符来说，(35.14)式等号右边的因子仍含有自变量，若遇到其他的算符来作用，应当把整个当作一个函数来接受新算符的作用。1llnllnlln比如),1,1(1)),1(,(ˆ)'(),,(ˆˆ'')1(''''1'211211'21lllnnnnlnnnlllnnnnlllllnnnnnnnallnnaalllll14（5）当ni0时态函数ψ(n1n2…nl…)自动为零；对Fermi子还要加上ni1时自动为零。对Fermi子系统进行以下计算：)()12()()()1()(1)1()(11)1(1ˆ)1(ˆ)()ˆˆˆˆ(lllllllllllllllllllllllllllllnnnnnnnnnnnnnnannanaaaa这个结果是错误的。15为了避免这种错误，可以把Fermi子的产生算符和消灭算符的定义式(35.14)和(35.15)式改写为)1(1)()1()(210,21211,21lllnlllllnllnnnnnnnannnnnnnall此时)()()()1()11(11)11(11)1(1)1()()(1,0,0,11,1,10,0,1,lllnllnlllnllnlllnllnlllnllllnllllllnnnnnnnnnnnnnannanaaaallllllll即1ˆˆˆˆaaaalll