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轴对称【知识要点】1、轴对称图形：如果沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，这样的图形为轴对称图形。这条直线叫做这个图形的对称轴。2、轴对称：把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，说这两个图形为轴对称。这条直线叫做这个图形的对称轴。3、对称点：翻折后（图形重合时）能够互相重合的点。4、垂直平分线（中垂线）：垂直并且平分一条线段的直线。结论1：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。结论2：如果一个图形关于某一条直线对称，那么连接对称点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴。【典型例题】例1.在下列十个汉字中，哪几个是轴对称图形？他们各有几条对称轴？上下目天田土吕林显王例2.如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中轴对称图形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个例3.下列图形中是轴对称图形的有（）①矩形；②菱形；③平行四边形；④四边形；⑤等腰梯形；⑥直角梯形；⑦三角形；⑧等边三角形；⑨等腰三角形；⑩正六边形A.5个B.6个C.7个D.8个例3.判断题①两个关于某直线对称的图形是一模一样的。（）AQPl2l1②两个图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁。（）③两个对称图形对应点连线的垂直平分线，就是他们的对称轴（）④平面上两个完全相同的图形一定关于某直线对称（）例4.如图，l1、l2交于A点，P、Q的位置如图所示，试确定M点，使它到l1、l2的距离相等，且到P、Q两点的距离也相等。例5.已知如图1，MN垂直平分线段AB，CD垂足分别为E、F，求证：AC=BD，∠ACD=∠BDC．例6.已知：在△ABC中，AB=AC,D是AB的中点，且DE⊥AB,△BCE周长为8，且AC－BC=2,求AB,BC的长。例7.如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D′E与BC的交点为G，点D、C分别落在点D′、C′的位置上，若∠EFG=55°，求∠1，∠2的度数．画图形的对称轴【知识要点】1.任意两点总关于某一条直线对称，故画这两点的对称轴的方法是_____________2.对于复杂图形的对称轴的画法：可先找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一组对称点；再连结对称点；然后画出_________则这条________画轴对称图形【知识要点】1、对于某些图形，先画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形；2、平面直角坐标系中关于X轴和Y轴对称的图形的做法：先找出一些特殊点的对称点坐标，连接对称点，即可得到；3、角平分线和垂直平分线的做法。【典型例题】例1.找出下列轴对称图形的所有对称轴，并把它画出来．例2.下图中的各个图形是不是轴对称图形？如果是，画出它的一条对称轴．例3.看以下两个图形是否是轴对称图形？你能否画出它的对称轴？例4．如图，连结B、B′的线段的垂直平分线是否还是你在上图中画的对称轴？例5.印制一本书，为了使装订成书后页码恰好为连续的自然数，可按如下方法操作：先将一张整版的纸，对折一次为4页，再对折一次为8页，连续对折三次为16页，……；然后再排页码．如果想设计一本16页码的毕业纪念册，请你按图1，图2，图3（图中的1，16表示页码）的方法折叠，在图中填上按这种折叠方法得到的各页在该面相应位置上的页码．例6.如图，∠AOB内一点P，试分别画出点P关于OA和OB的对称点P1和P2例7.画出下列图形关于直线L的对称图形．例8.下图中，直线L是一个轴对称图形的对称轴，画出这个图形关于直线L对称的另一半．OPBA例9.如图是台球桌面矩形网格示意图，图中的四个角各有一个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以多次反射），那么该球最后将落入的球袋是（）A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋等腰三角形【知识要点】1、等腰三角形的两个底角相等；2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称“三线合一”）；3、等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。4、等边三角形：①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。5、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。【典型例题】例1.若等腰三角形的底边长为10cm，则腰长x的取值范围是.例2.若等腰三角形的一个角为40°，则另两个角为__________________。例3.等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为45°，则这个三角形是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形例4.设α是等腰三角形的一个底角,则α的取值范围是（）A.0α90°B.α90°C.0α≤90°D.0≤α90°例5.若等腰三角形的一个外角为120°，一边长为2cm，则另外两边长为例6.△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AB+BC=6cm，则BC=例7.如图所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD是BC边上的中线，点E在AB上，DE⊥AB，AD=8cm，则AE=cm，AC=cm例8.如图，△ABC中，ABC、ACB的平分线交于点D，EF过点D，分别交AB、AC于点E、点F，且EF//BC.（1）求证：ED=EB;（2）若△ABC是边长为3的正三角形，求EF。例9.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=BD=ED=EA，求∠A的度数．例10.已知△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，若AD=AB，∠CAD=36°，求∠DBC的度数。例11.如图所示，在四边形ABCD中，AB=AD，CD=23，∠A=60°，∠D=150°。已知四边形的周长为32，求四边形ABCD的面积.BEDCAABCDEF例12.如图所示，P是等边三角形ABC内一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ．（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系？并证明；（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连PQ．试判断△PQC的形状并说明理由．课题学习最短路径问题【典型例题】例1.如图，草原上两个居民点A,B在河流L的同旁，一汽车从A出发到B，途中需到河边加水，汽车在哪一点加水，可使行驶的路程最短？在途中画出该点。例2.图中A，B为公路L同旁的两个村庄，在L上找一点P．（1）当P到A，B等距离时，P在何处？（2）当P到两村距离之和最小时，P在何处？IBAABI河BA例3.如图所示，一牧人带马群从A点出发，先到草地边缘MN放牧，再带马群到河边缘PQ去给马饮水，试问：牧人应走哪条路线才能使总路程最短？例4.草原上有两个居民点A，B在河流的同旁，如图所示，暑假里小颖和父母去旅游恰好路过此地，他们的汽车从居民点A到B，途中需要到河边加水，为了使行驶的路程最短，小颖设计出了汽车应在河边的某一特定位置加水，你能找出这个特定位置在河边的什么地方吗？说明理由．例5.如图所示，E、F分别是△ABC的边AB、AC的两定点，在BC上求一点M，使△MEF的周长最短。BAQPNMABCEF【思考题】例6.如图，已知：A、B两点在直线MN的同侧，且AB//MN，在MN上求一点P，使：（1）|PA-PB|最小（2）|PA-PB|最大（3）PA+PB最小例7.当A、B两点在直线MN的两则，点A、点B到MN的距离不相等，在MN上求一点P，使：（1）|PA-PB|最小（2）|PB-PA|最大（3）PA-PB最小