连续介质力学第二讲

三、应力理论1.Cauchy应力ijijee定义在即时构形中的应力张量又称真应力.nσσn变形后斜截面上的应力矢量:aσnσpddadan作用于上的力:daCauchy应力是以即时构形中的面积为基准来度量的。由微六面体的力矩平衡，可知经典连续介质学理论中σ为对称张量,即:ijji2．第一类P-K(Piola-Kirchhoff)应力P又称名义应力即时构形中的面元矢量对应于参考构形中的面元矢量adAdAFσAFσaσdJdJdTTAPaσddTJFσPP称为第一类P-K应力根据Nanson公式:令:其中:注意内力不是真正作用在面元上.AdKiiKKkkKjiijPxXJeeeeeeP其中:jKijiKxXJP也是两点张量3.Kirchhoff应力张量στJijijJστKirchhoff应力张量与Cauchy应力张量一样,也是对称张量根据定义有:分量形式:同理:定义在即时构形中的张量TFτPjAijiAxXPTFPτAjiAijijXxPJ4．第二类P-K应力T1TFP定义:ABABTTeeAABiBiXTpx根据定义:TFτFT1所以:可证如果Cauchy应力（或Kirchhoff应力张量)为对称张量,则第二类P-K应力也是对称张量。由于:TFτPABABABijijijijXXXXTxxxx分量形式有:TFTFTFτFT11TFPjjiiijABABABABxxxxTTXXXXAABiBiXTpxABABABijijijijXXXXTxxxxABAiiBTXxP作用于即时构形中面元上的内力通常有三种表示方法:adATFAPaσdddTFP四、连续介质力学基本方程1、质量守恒0以与各表示初始构形与即时构形中的质量密度根据质量守恒率:00dVdV0J0dVdVJ0JJvdivJJ0vdiv所以:其中:对方程两边求物质导数:可证明:所以:率形式的质量守恒律vdivJJ证明:引理:设矩阵a的行列式为:,amnamnA元素的代数余子式记作将行列式a看作它的9个元素的函数，则有:mnmnAaanmmnAaa111nmmnaaaa则有:iAAiXxJFiAAiiAxXJJFFJ1而:所以:现在把J看作其9个元素AiiAXxF的函数，对时间求物质导数AiiAAiiAiAiAXvFJXxtFJtFFJJddiAAiiAxXJJFFJ1而:vdivJxvJXvxXJJiiAiiA所以:0vdiv2.动量方程（Balanceoflinearmomentum）VdV在即时构形中，任意取一个域，体积元记为对此域运用动量定理:dVdVdaVaVafnσˆ由GREEN公式:dVdVdVVVVafσˆ由于域是任意的:fa0对于体积力为零的静力学问题:2.1以前的推导2.2第二种方法引理：在即时构型上体积分的物质导数dVdivtdVdivdtdtdVdtdvvvdivJJ0JdVtdV所以：dadVdVdtdnσfvfσvvvdivdtd动量矩定理:0vdiv3.角动量方程（Balanceofangularmomentum）所以：4.守恒率的一般形式如果采用欧拉描述，上述三个守恒率可表达为：固体力学常采用拉格朗日描述：其中：拉格朗日描述中，体元体积不变：对物质坐标求散度5.能量平衡律在即时构型中任意v域内的总能量P由动能K与内能E组成，即EKPVeEVd根据热力学第一定律，总能量P的物质导数，即对时间的变化率等于作用于v域的外力功率与每单位时间从v域外部所加的热：VaVnaVkdVaPdddahfvσv式中h表示热流矢量（或称热通量），即每单位时间每单位面积的热流，k表示每单位质量接受外部的热（称为热源）VtKVddd212vavvvvttdddd212fσaσvσvσv:VVVKVVVd:dd)(vσfvσvEKP而其中K为动能.vKvd212vvvv2动能其中dv由质量守恒知:的物质导数为零所以:又根据平衡方程:而所以:DσLσvσ:::vvD21又:其中:为变形率张量vvW21旋率张量反对称VVanVVavKd:ddDσfvσ所以:VVaVVVkVeEd:dddDσah由于上式对任意域成立,所以有:Dσh:ke微分形式的热力学第一定律积分形式的热力学第一定律其中:Dσ:为即时构形中单位体积的内力功率定义变形功率w为它表示参考构形中每单位体积（也就是即时构形中单位体积的J倍)的变形功率.引理1:设a与b为二阶张量,则:TTTT:tr()tr():ababababTTTTijijijjijiijjijiabababab即:引理2:tr()tr()tr()abcbcacabijjkkijkkiijkiijjkabcbcacab即:可以推广于多个二阶张量点积的情况，例如tr()abcdD:τDσ:Jw的其它表达形式D:τDσ:JwF:PFL:PFLPLPFLFPL:FPTTTTTtrtrtrwE:TFDFTFDFTFDFTDFTFD:FTFT::TTTTTtrtrwTFPτTFTF由于:有:我们称:和为一对功共轭的应力应变张量.TEDσh:ke微分形式的热力学第一定律Reddy书6.熵不等式,熵平衡律(热力学第二定律）以η表示每单位质量的熵,则在即时构形中,v域的总熵为:VVHd以θ表示温度（绝对温度,θ＞0），则由热力学第二定律，必有:VaVkHd1d1ah式中h/θ称为熵流，k/θ称为熵源。积分形式的热学第二定律对于不可逆过程，式中取“”号，而对于可逆过和，则取“=”。0ΓΓ,Vd1-VHVaVd1dah总熵的生成率7.本构关系本构理论研究应力张量与物体运动历史的关系,主要是应力与应变之间的关系,本构关系必须满足一定的原理.1.坐标不变性原理:任何一个物理过程与所选的坐标系没有关系,如果用张量的抽象记法描述本构关系,则坐标不变性自然满足.2.应力确定性原理:物体的应力只取决于它过去的全部变形历史,而与将来的运动变形无关.3.局部作用原理:某点的应力只与该点无限小邻域的运动状态有关.注意:非局部理论是当前固体力学的研究热点之一!4.本构的客观性原理:Cauchy应力是客观张量.