课内第二章习题

1第二章习题（一）1．设连续曲线:(),[,]Czztt，有00'()0([,])ztt，则（试证）曲线C在点0()zt有切线。2．洛必达(L’Hospital)法则若()fz及()gz在点0z解析，且000()()0,'()0fzgzgz.则（试证）000'()()lim()'()zzfzfzgzgz.3．设333322(),0,()0,0,xyixyzfzxyz试证f(z)在原点满足C.–R.方程，但却不可微.4．试证下列函数在z平面上任何点都不解析：（1）||z；（2）xy；（3）Rez；（4）1z5．试怕下列函数的可微性和解析性：（1）22()fzxyixy；（2）22()fzxiy；（3）33()23fzxiy；（4）3223()3(3)fzxxyixyy.6．若函数()fz在区域D内解析，且满足下列条件之一，试证()fz在D内必为常数。（1）在D内'()0fz；（2）()fz在D内解析；（3）|()|fz在D内为常数；2（4）Re()fz或Im()fz在D内为常数。7．如果()fz在区域D内解析，试证()ifz在区域D内也解析.8．试证下列函数在z平面上解析，并分别求出其导函数。（1）3223()33)fzxxyixyyi；（2）()(cossin)(cossin)xxfzexyyyieyyxy；（3）()sincoshcossinhfzxyixy；（4）()coscoshsinsinhfzxyixy.9．试证下面的定理：设()(,)(,),ifzurivrzre，若(,),(,)urvr在点（,r）是可微的，且满足极坐标的C.–R.方程:1uvrr，1(0)vurrr，则()fz在点z是可微的，并且'()(cossin)uvruvfziiirrzrr.注：这里要适当割破z平面（如沿负实轴割破），否则()z就不是单值的。10．设zxiy，试求（1）2||ize；（2）2||ze；（3）1Re()ze11．试证（1）zzee；（2）sinsinzz；（3）coscoszz.12．试证：对任意的复数z及整数m，()zmmzee.13．试求下面各式之值：（1）3ie；（2）cos(1)i.14．试验证：（1）0sinlim1zzz；（2）01lim1zzez；（3）0coslim3.sinzzzzzz15．设a.b为复常数，0b，试证31sin2coscos()cos()cos()2sin2nbnbaabanbab；（2.33）1sin2sinsin()sin()sin()2sin2nbnbaabanbab.（2.34）注：分别证明（2.33）和（2.34）由于a和b是复数，不能从（2.33）+i·（2.34）着手化简后，再比较“实、虚”部。16．试证：（1）sin()sinhiziz；（2）cos()coshizz；（3）sinh()siniziz；（4）cosh()cosizz；（5）tan()tanhiziz；（6）tanh()taniziz.17．试证：（1）22coshsinh1zz；（2）22sechtanh1zz；（3）121212cosh()coshcoshsinhsinhzzzzzz.18．若z=x+iy，试证：（1）sinsincoshcossinhzxyixy；（2）coscoscoshsinsinhzxyixy；（3）222|sin|sinsinhzxy；（4）222|cos|cossinhzxy.19．试证(sinh)cosh;(cosh)sinh.zzzz20．试解方程：（1）13xei；（2）ln2iz；（3）10xe；（4）cossin0zz；（5）tan12zi.421．设izre，试证21Re[ln(1)]ln(12cos)2zrr.22．设3wz确定在从原点0z起沿正实轴割破了的z平面上，并且()wii，试求()wi之值。23．设3wz确定在从原点0z起沿负实轴割破了的z平面上，并且3(2)2w（这是边界上岸点对应的函数值），试求()wi之值。24．试求（1+i）i及3i之值.25．已知4()1fzz在Ox轴上A点（OA＝R1）的初值为41R，令z由A起沿正向在以原点为中心的圆周上走14圆周而至Oy轴的B点，问f(z)在B点的终值为何？注：作了提示中的代换后，即可将原具有四个有限支点的繁难情形简化为具有单有限支点的情形.26．试证：在将z平面适当割开后，函数23()(1)fzzz能分出三个单值解析分支。并求出在点z=2取负值的那个分支在z=i的值。（二）1．设函数2()1zfzz，试证()Re0,(||1)()fzzzfz。注：这里2()1zfzz是单位圆|z|1内的单叶解析星像函数.2．设2()1zfzz，试证()Re10,(||1)()fzzzfz。注：这里2()1zfzz是单位圆|z|1内的单叶解析凸像函数.3．若函数f(z)在上半z平面内解析，试证函数()fz在下半z平面内解析.4．（形式导数）（1）设二元实变函数u(x,y)有偏导数。此函数可以写成zxiy及z的函数,22zzzzuui.5试证（形式地）11,22uuuuuuiizxyxyz.（2）设复变函数()(,)(,)fzuxyivxy，且(,)uxy和(,)vxy都有偏导数.试证（形式地）：地f(z)，柯西-黎曼方程可以写成0fuvizzz.（由此可见，解析函数是以条件0fz为其特征的。因此，我们不妨说，一个解析函数与z无关，而是z的函数。）5．试证|Im||Im||sin|zzze.6．若||zR，试证|sin|cosh,|cos|cosh.zRzR7．证明函数2()23fzzz在单位圆||1z内是单叶的。提示对圆内的任二相异点z1，z2，证明1212()()0fzfzzz.8．试论分值函数34()(1)(1)fzzz在割去线段[-1，1]的z平面上可以分出四个单值解析分支。求函数在割线上岸取正值的那个分支在点zi的值。9．已知2()(1)(1)fzzz在z＝0的值为1。令z描绘路线OPA（如图2.15）。点A为2，试求f(z)在点A的值。10．试证()(1)fzzz在割去线段0Re1z的z平面上能分出两个单值解析分支。并求出在支割线0Re1z上取正值时的那一支在z=-1的值，以及它的第二阶导数在z=-1的值。