数列解题方法大全

数列方法大全一、求通项公式各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。类型1)(1nfaann解法：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用累加法(逐差相加法)求解。例1.已知数列na满足211a，1nnaan，求na。变式:已知数列1}{1aan中，且a2k=a2k－1+(－1)K,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,…….（I）求a3,a5；（II）求{an}的通项公式.类型2nnanfa)(1解法：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例2:已知数列na满足321a，nnanna11，求na。变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1，1321)1(32nnanaaaa(n≥2)，则{an}的通项1___na12nn类型3qpaann1（其中p，q均为常数，)0)1((ppq）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1taptann，其中pqt1，再利用换元法转化为等比数列求解。例3:已知数列na中，11a，321nnaa，求na.类型4nnnqpaa1（其中p，q均为常数，)0)1)(1((qppq）。（或1nnnaparq,其中p，q,r均为常数）。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1nq，得：qqaqpqannnn111引入辅助数列nb（其中nnnqab），得：qbqpbnn11再待定系数法解决。例4:已知数列na中，651a,11)21(31nnnaa，求na。类型5递推公式为nnnqapaa12（其中p，q均为常数）。(待定系数法)：先把原递推公式转化为)(112nnnnsaatsaa其中s，t满足qstpts例5:已知数列na中，11a,22a,nnnaaa313212，求na。类型6递推公式为nS与na的关系式。(或()nnSfa)解法：这种类型一般利用)2()1(11nSSnSannn与)()(11nnnnnafafSSa消去nS)2(n或与)(1nnnSSfS)2(n消去na进行求解。例6：已知数列na前n项和2214nnnaS.（1）求1na与na的关系；（2）求通项公式na.类型7banpaann1)001(，a、p解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令)()1(1yxnapynxann，与已知递推式比较，解出yx,,从而转化为yxnan是公比为p的等比数列。例7:设数列na：)2(,123,411nnaaann，求na.类型8rnnpaa1)0,0(nap解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为qpaann1，再利用待定系数法求解。例8：已知数列｛na｝中，2111,1nnaaaa)0(a，求数列.的通项公式na类型9)()()(1nhanganfannn解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为qpaann1。例9：已知数列｛an｝满足：1,13111aaaannn，求数列｛an｝的通项公式。例10：已知数列}{na满足性质：对于,324,N1nnnaaan且,31a求}{na的通项公式.类型10qpnaann1或nnnpqaa1解法：这种类型一般可转化为12na与na2是等差或等比数列求解。例11：（I）在数列}{na中，nnanaa6,111，求na（II）在数列}{na中，nnnaaa3,111，求na类型11周期型解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。例12：若数列na满足)121(,12)210(,21nnnnnaaaaa，若761a，则20a的值为_______。二、求和数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础.在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.类型1.利用常用求和公式求和：利用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(112、等比数列求和公式：)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn3、)1(211nnkSnkn4、)12)(1(6112nnnkSnkn5、213)]1(21[nnkSnkn[例1]已知3log1log23x，求nxxxx32的前n项和.[例2]设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求1)32()(nnSnSnf的最大值.类型2.错位相减法求和:这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.[例3]求和：132)12(7531nnxnxxxS[例4]求数列,22,,26,24,2232nn前n项的和.类型3.倒序相加法求和：这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个)(1naa.[例5]求89sin88sin3sin2sin1sin22222的值类型4.分组法求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例6]求数列的前n项和：231,,71,41,1112naaan，…类型5.裂项相消法：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：（1）)()1(nfnfan（2）nnnntan)1tan()1cos(cos1sin（3）111)1(1nnnnan（4）)121121(211)12)(12()2(2nnnnnan（5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1nnnnnnnan(6)nnnnnnnnSnnnnnnnnna2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21则[例7]求数列,11,,321,211nn的前n项和.[例8]在数列{an}中，11211nnnnan，又12nnnaab，求数列{bn}的前n项的和.[例9]求证：1sin1cos89cos88cos12cos1cos11cos0cos12类型6.合并法求和：针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.[例10]求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.[例11]在各项均为正数的等比数列中，若103231365logloglog,9aaaaa求的值.类型7.利用数列的通项求和:先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.[例12]求11111111111个n之和.[例13]已知数列{an}：11))(1(,)3)(1(8nnnnaannna求的值.三、课后作业112342421{},1(1,2,3,)3(1),,{}.(2)nnnnnnanSaaSnaaaaaaa1.数列的前项为且，求的值及数列的通项公式求1112{},1(1,2,).:(1){};(2)4nnnnnnnnanSaaSnnSnSa2.数列的前项和记为已知，证明数列是等比数列*121{}(1)()3(1),;(2):{}.nnnnnanSSanNaaa3.已知数列的前项为，求求证数列是等比数列11211{},,.2nnnnaaaaann4.已知数列满足求112{},,,.31nnnnnaaaaan5.已知数列满足求111511{},,().632nnnnnaaaaa6.已知数列中,求111{}:1,{}.31nnnnnaaaaaa7.已知数列满足，求数列的通项公式2222123{}S21,nnnnaaaaa8.等比数列的前n项和求555555555(1051)95n9.求和：，，，，，；10．求和：1111447(32)(31)nn11．求和：111112123123n练习12、设{}na是等差数列，{}nb是各项都为正数的等比数列，且111ab，3521ab，5313ab（Ⅰ）求{}na，{}nb的通项公式；（Ⅱ）求数列nnab的前n项和nS．