定义域与值域

高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！第二节函数的定义域和值域[备考方向要明了]考什么怎么考会求简单函数的定义域和值域.1.函数的定义域经常作为基本条件或工具出现在高考试题的客观题中，且多与集合问题相交汇，考查与对数函数、分式函数、根式函数有关的定义域问题．如2012年江西T2，江苏T5等．2.函数的值域或最值问题很少单独考查，通常与不等式恒成立等问题相结合作为函数综合问题中的某一问出现在试卷中.[归纳·知识整合]1．常见基本初等函数的定义域(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx，定义域均为R.(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．(6)y＝tanx的定义域为x|x≠kπ＋π2，k∈Z.(7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．2．基本初等函数的值域(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！当a0时，值域为y|y≥4ac－b24a；当a0时，值域为y|y≤4ac－b24a.(3)y＝kx(k≠0)的值域是{y|y≠0}．(4)y＝ax(a0且a≠1)的值域是{y|y0}．(5)y＝logax(a0且a≠1)的值域是R.(6)y＝sinx，y＝cosx的值域是[－1,1]．(7)y＝tanx的值域是R.[探究]1.若函数y＝f(x)的定义域和值域相同，则称函数y＝f(x)是圆满函数，则函数①y＝1x；②y＝2x；③y＝x；④y＝x2中是圆满函数的有哪几个？提示：①y＝1x的定义域和值域都是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故函数y＝1x是圆满函数；②y＝2x的定义域和值域都是R，故函数y＝2x是圆满函数；③y＝x的定义域和值域都是[0，＋∞)，故y＝x是圆满函数；④y＝x2的定义域为R，值域为[0，＋∞)，故函数y＝x2不是圆满函数．2．分段函数的定义域、值域与各段上的定义域、值域之间有什么关系？提示：分段函数的定义域、值域为各段上的定义域、值域的并集．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)函数f(x)＝4－xx－1的定义域为()A．[－∞，4]B．[4，＋∞)C．(－∞，4)D．(－∞，1)∪(1,4]解析：选D要使函数f(x)＝4－xx－1有意义，只需4－x≥0，x－1≠0，即x≤4，x≠1.所以函数的定义域为(－∞，1)∪(1,4]．2．下表表示y是x的函数，则函数的值域是()x0x55≤x1010≤x1515≤x≤20y2345A．[2,5]B．NC．(0,20]D．{2,3,4,5}高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！解析：选D函数值只有四个数2,3,4,5，故值域为{2,3,4,5}．3．若f(x)＝1log12x＋，则f(x)的定义域为()A.－12，0B.－12，0C.－12，＋∞D．(0，＋∞)解析：选A根据题意得log12(2x＋1)＞0，即0＜2x＋1＜1，解得－12x0，即x∈－12，0.4．(教材改编题)函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的定义域为________，值域为________．解析：由图象可知，函数y＝f(x)的定义域为[－6,0]∪[3,7)，值域为[0，＋∞)．答案：[－6,0]∪[3,7)[0，＋∞)5．(教材改编题)若x－4有意义，则函数y＝x2－6x＋7的值域是________．解析：∵x－4有意义，∴x－4≥0，即x≥4.又∵y＝x2－6x＋7＝(x－3)2－2，∴ymin＝(4－3)2－2＝1－2＝－1.∴其值域为[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)求函数的定义域[例1](1)(2012·山东高考)函数f(x)＝1x＋＋4－x2的定义域为()A．[－2,0)∪(0,2]B．(－1,0)∪(0,2]C．[－2,2]D．(－1,2](2)已知函数f(x2－1)的定义域为[0,3]，则函数y＝f(x)的定义域为________．高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！[自主解答](1)x满足x＋10，x＋1≠1，4－x2≥0，即x－1，x≠0，－2≤x≤2.解得－1x0或0x≤2.(2)∵0≤x≤3，∴0≤x2≤9，－1≤x2－1≤8.∴函数y＝f(x)的定义域为[－1,8]．[答案](1)B(2)[－1,8]本例(2)改为f(x)的定义域为[0,3]，求y＝f(x2－1)的定义域．解：∵y＝f(x)的定义域为[0,3]，∴0≤x2－1≤3，解得－2≤x≤－1或1≤x≤2，所以函数定义域为[－2，－1]∪[1,2]．———————————————————简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解．(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．(3)对抽象函数：①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出．②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．1．(1)(2012·江苏高考)函数f(x)＝1－2log6x的定义域为________．(2)已知f(x)的定义域是[－2,4]，求f(x2－3x)的定义域．解析：(1)由1－2log6x≥0解得log6x≤12⇒0＜x≤6，故所求定义域为(0，6]．答案：(0，6](2)∵f(x)的定义域是[－2,4]，∴－2≤x2－3x≤4，由二次函数的图象可得，－1≤x≤1或2≤x≤4.∴定义域为[－1,1]∪[2,4].高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！求函数的值域[例2]求下列函数的值域：(1)y＝x－3x＋1；(2)y＝x－1－2x；(3)y＝x＋4x.[自主解答](1)法一：(分离常数法)y＝x－3x＋1＝x＋1－4x＋1＝1－4x＋1.因为4x＋1≠0，所以1－4x＋1≠1，即函数的值域是{y|y∈R，y≠1}．法二：由y＝x－3x＋1得yx＋y＝x－3.解得x＝y＋31－y，所以y≠1，即函数值域是{y|y∈R，y≠1}．(2)法一：(换元法)令1－2x＝t，则t≥0且x＝1－t22，于是y＝1－t22－t＝－12(t＋1)2＋1，由于t≥0，所以y≤12，故函数的值域是y|y≤12.法二：(单调性法)容易判断函数y＝f(x)为增函数，而其定义域应满足1－2x≥0，即x≤12.所以y≤f12＝12，即函数的值域是y|y≤12.(3)法一：(基本不等式法)当x0时，x＋4x≥2x×4x＝4，当且仅当x＝2时“＝”成立；当x0时，x＋4x＝－(－x－4x)≤－4，当且仅当x＝－2时“＝”成立．即函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．法二：(导数法)f′(x)＝1－4x2＝x2－4x2.x∈(－∞，－2)或x∈(2，＋∞)时，f(x)单调递增，当x∈(－2,0)或x∈(0,2)时，f(x)单调递减．故x＝－2时，f(x)极大值＝f(－2)＝－4；高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！x＝2时，f(x)极小值＝f(2)＝4.即函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．若将本例(3)改为“y＝x－4x”，如何求解？解：易知函数y＝x－4x在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数，故函数y＝x－4x的值域为R.———————————————————求函数值域的基本方法(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域．(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．(3)换元法：形如y＝ax＋b±cx＋d(a，b，c，d均为常数，且a≠0)的函数常用换元法求值域，形如y＝ax＋a－bx2的函数用三角函数代换求值域．分离常数法：形如y＝cx＋dax＋ba的函数可用此法求值域.单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域.数形结合法：画出函数的图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围.2．求下列函数的值域．(1)y＝x2＋2x，x∈[0,3]；(2)y＝x2－xx2－x＋1；(3)y＝log3x＋logx3－1.解：(1)(配方法)y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，∵0≤x≤3，∴1≤x＋1≤4.∴1≤(x＋1)2≤16.∴0≤y≤15，即函数y＝x2＋2x(x∈[0,3])的值域为[0,15]．高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！(2)y＝x2－x＋1－1x2－x＋1＝1－1x2－x＋1，∵x2－x＋1＝x－122＋34≥34，∴01x2－x＋1≤43，∴－13≤y1，即值域为－13，1.(3)y＝log3x＋1log3x－1，令log3x＝t，则y＝t＋1t－1(t≠0)，当x1时，t0，y≥2t·1t－1＝1，当且仅当t＝1t即log3x＝1，x＝3时，等号成立；当0x1时，t0，y＝－－t＋－1t－1≤－2－1＝－3.当且仅当－t＝－1t即log3x＝－1，x＝13时，等号成立．综上所述，函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞).与定义域、值域有关的参数问题[例3]已知函数f(x)＝ax2＋bx.若至少存在一个正实数b，使得函数f(x)的定义域与值域相同，求实数a的值．[自主解答]①若a＝0，则对于每个正数b，f(x)＝bx的定义域和值域都是[0，＋∞)，故a＝0满足条件；②若a0，则对于正数b，f(x)＝ax2＋bx的定义域为D＝{x|ax2＋bx≥0}＝－∞，－ba∪[0，＋∞)，但f(x)的值域A⊆[0，＋∞)，故D≠A，即a0不符合条件；③若a0，则对于正数b，f(x)＝ax2＋bx的定义域D＝0，－ba，高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！由于此时f(x)max＝f－b2a＝b2－a，故f(x)的值域为0，b2－a，则－ba＝b2－a⇒a0，2－a＝－a⇒a＝－4.综上所述，a的值为0或－4.———————————————————由函数的定义域或值域求参数的方法已知函数的值域求参数的值或取值范围问题，通常按求函数值域的方法求出其值域，然后依据已知信息确定其中参数的值或取值范围．3．(2013·温州模拟)若函数f(x)＝1x－1在区间[a，b]上的值域为13，1，则a＋b＝________.解析：∵由题意知x－10，又x∈[a，b]，∴a1.则f(x)＝1x－1在[a，b]上为减函数，则f(a)＝1a－1＝1且f(b)＝1b－1＝13，∴a＝2，b＝4，a＋b＝6.答案：61种意识——定义域优先意识函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先的意识．4个注意——求函数定义域应注意的问题(1)如果没有特别说明，函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数x的集合．(2)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！4个准则——函数表达式有意义的准则函数表达式有意义的准则一