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1目录第1讲配对求和……………………………………………2第2讲找简单的数列规律…………………………………4第3讲数图形………………………………………………6第4讲分类枚举……………………………………………9第5讲最短路线……………………………………………12第6讲上楼梯与植树………………………………………15第7讲简单的倍数问题……………………………………18第8讲年龄问题……………………………………………20第9讲鸡兔同笼问题………………………………………22第10讲盈亏问题…………………………………………24第11讲还原问题…………………………………………27第12讲周长的计算………………………………………29第13讲等量代换…………………………………………34第14讲一题多解…………………………………………372第1讲配对求和高斯是德国著名的数学家、物理学家和天文学家，从小就聪明过人。他8岁时，老师给他和班上的同学出了一道题：1+2+3+4+…+99+100=？8岁的小高斯很快报出了得数：5050。这个答案完全正确！最让老师吃惊的是，小高斯是计算速度如此快小高斯用什么办法算得这么的呢？原来，他用了一种巧妙的方法——配对求和。这种方法正是我们要向读者小朋友介绍的。例题与方法1.计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+102.计算：11+12+13+14+15+16+17+18+193.计算：101+102+103+104+105+106+107+108+109+1104.有一垛电线杆叠堆在一起，一共有20层。第1层有12根，第2层有13根……下面每层比上层多一根（如下图）。这一垛电线杆共有多少根？练习与思考31.计算：1+2+3+4+…+18+192.计算：1+2+3+4+…+29+303.计算：2+4+6+8+…+98+1004.计算：40+41+42+…+615.计算：13+14+15+…+276.有20个数，第1个数是9，以后每个数都比前一个数大3。这20个数连加，和是多少？7.有一串数，第1个数是5，以后每个数比前一个数大5，最后一个数是90。这串数连加，和是多少？8.一堆圆木共15层，第1层有8根，下面每层比上层多1根。这堆圆共多少根？49.省工人体育馆的12区共有20排座位，呈梯形。第1排有10个座位，第2排有11个座位，第3排有12个座位，……这个体育馆的12区共有多少个座位？10.有一个挂钟，一个点钟敲2下，三点钟敲3下……十二点敲12下，每逢分种指向6时敲1下。问这个挂种一昼夜共敲多少下？第2讲找简单数列的规律在日常生活中，我们经常会碰到一定排列的数，比如：一列自然数：1，2，3，4，5，6，7，8，…年份：1980，1981，1982，1983，1984，1985，1986，…某工厂全年产量（按月份排）：400，450，500，450，500，550，…像上面的这些例子，都是按某种法则排列的一列数，这样的一列数就叫做数列。数列里的每一个数都叫做这个数列的项。其中第1个数叫做数列的第1项，第2个数叫做数列的第2项，第n个数列叫做数列的第n个数叫做数列的第n项。比如在年份数列中，第4项是1983，第7项就是1986。研究数列的目的是为了发现数列中的数排列的规律并依据这个规律来解决问题。例题与方法例1找出下面数列的规律，并根据规律在括号里填出适当的数。（1）3，6，9，12，（），18，215（2）28，26，24，22，（），18，16（3）60，63，68，75，（），（）（4）180，155，131，108，（），（）（5）196，148，108，76，52，（）（6）6，1，8，3，10，5，12，7，（），（）（7）0，1，1，2，3，5，8，（），（）（8）10，98，15，94，20，90，（），（）例2在下面数列中填出合适的数。（1）1，3，9，27，（），243（2）1，2，6，24，120，（），5040（3）1，1，3，7，13，（），31（4）0，3，8，15，24，（），48，63例3在下面数列的每一项由3个数组成的数组成的数表示，它们依次是：（1，5，9），（2，10，18），（3，15，27），……。问第50个数组内三个数的和是多少？例4先找规律，再填数。1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=11111234×9+5=（）12345×9+6=（）123456×9+7=（）1234567×9+8=（）第3讲数图形晚饭过后，妈妈给小明出了一道“试眼力”的题目：数数窗户上一共有几个正方形。小明看，立刻回答：“窗户上有6个正方形。”妈妈笑了，爷爷在一旁也笑了，小明给弄了个“丈二和尚摸不着头脑”。小朋友，你6知道小明的爷爷妈妈为什么笑吗？小明数昨难道不对吗？如果不对，那么窗户上窨有几个正方形呢？下面我们就一起来研究数图形的问题。例题与方法例1．下图中有多少条线段？例2．下面图形中有几个角？例3．下图中共有多少个三角形？例4．右图中有多少个正方形？例5．数一数图中共有多少个三角形？ABCDEODCBAABEDCABABCDABCAD7练习与思考1．下图中各有多少条线段？（1）（2）（3）2．下图中有多少个角？ABCDEFABCDEFFGHIABCEFDEFDABCO83．下图中各有多少个三角形？(1)(2)（3）（4）4．下图中各有多少个长方形？(1)(2)(3)5．下图中有多少个正方形？第4讲分类枚举小芳为了给灾区儿童捐款，把储蓄罐里的钱全拿了出来。她想数数有9多少钱。小朋友，你知道小芳是怎么数的吗？小芳是个聪明的孩子，她把钱按1分、2分、5分、1角、2角、5角、1元等分类去数。所以很快就好了。小芳数钱，用的就是分类枚举的方法。这是一种很重要的思考方法，在很多问题的思考过程中都发挥了很大的作用。下面就让我们一起来看看它的本领吧！例题与方法例1．右图中有多少个三角形？例2．右图中有多少个正方形？例3．在算盘上，用两粒珠子可以表示几个不同的三位数？分别是哪几个数？例4．用数字1，2，3可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？例5往返于南京和上海之间的泸宁高速列车沿途要停靠常州、无锡、苏州三站。问：铁路部门要为这趟车准备多少种车票？10例6．小明有面值为3角、5角的邮票各两枚。他用灾些邮票能付多少种不同的邮资（寄信时，所需邮票的钱数）？练习与思考1．下图中有多少个三角形？（1）（2）2．右图中有多少个长方形？3．用0，1，2，3可组成多少个不同的三位数？4．从北京到南京的特快列车，中途要停靠9个站。在几种不同标价的车票？5．用3张10元和2张50元一共可以组成多少咱币值（组成的钱数）？6．中、日、韩进行四国足球赛。每两队踢一场。按积分排名次，一11共踢多少场？7．丽丽有红、蓝、黑帽子各一顶，红蓝、黑围巾各一条。冬天，丽丽每天戴一顶帽子、围一条围巾，有几种不同的搭配方式？第5讲最短路线在日常生活中、工作中，经常会遇到有关行程路线的问题。比如：邮递员送信，要穿遍所有的街道，为了少走冤枉路，需要选择一条最短的路线；旅行者希望寻求最佳旅行路线，以求能够最近和路而达到目的地，等等。这样的问题，就是所谓“最短路线问题”。例题与方法例1.假如直线AB是一条公路，公路两侧有甲、乙两个村子（图1）。现在要在公路上修建一个公共汽车站，让这两个村子的人到汽车站的路线之和最短。问“车站应该建在什么地方？12例2.一个邮递员投送信件的街道如图3所示，图上数字表示各段街道的千米数。他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局。问下次什么样的路线最合理？全程要走多少千米？例3.图5中的线段表示的是小明从家到学校所能经过的所有街道。小明上学走路的方向都是向东或向南，因为他不想偏离学校的方向而走冤枉路。那么小明从家到学校可以有我少条不同的路线？例4.如图8，从甲地到乙地最近的道路有几条？124213小明家↑北△□学校甲乙13例5.某城市的街道非常整齐，如图10所示。从本南角A处到东北角B处要求走最近的路，并且不能通过十字路口C（正在修路），共有多少种不同的走法？B→→A练习与思考1．图14是一个街道平面图。王宏要从A处到B处，在不走回头路，不走重复路的条件下，可以有多少种不同的路线？请你用交叉点上标数的方法计算一下。2．从学校到少年宫有4条东西向的马路和3条南北向的马路相通。如图15，李楠从学校出发，步行到少年宫（只放向东或向南行进），最多有多少种不同的行走路线？3．如图16，从P到Q共有多少咱不同的最短路线？AB学校AB北CM↑DNE少年宫-FGHPQ144．如图17所示，某城市的街道图，若从AZ走到B（只能由北向南、由西向东），则共有多少种不同的走法？5．如图18所示，从甲地到乙地，最近的道路有几条？6．图19为某城市的街道示意图，C处正在挖下水道，不能通车，众A到B处的最短路线共有多少条？7．如图20所示是一个街道的平面图，在不走回头路、不走重复路和条件下，可以有多少种不同的走法？AB乙甲BACAB15第6讲上楼梯与植树小明的家住在4楼，每上1层楼要1分钟。他从1楼到4楼要用几分钟？如果你的答案是4分钟就错了，正确答案应该是3分钟，为什么呢？这就是下面要讲的上楼梯与植树问题。例题与方法例1．把1根木头锯断，要2分钟。把这根木头锯成4段，要几分钟？例2．某人到一座高层楼的8楼去办事，不巧停电，电梯停开。他从1楼走到4楼用了48秒。用同样的速度走到8楼，还要多少长时间？例3．时钟4点钟敲4下，用12秒敲完。那么6点钟敲6下，几秒钟敲完？例4．同学们上体育课，有10个男生排成一排，相邻两个男生相隔1米。问这排男生排列的长度有多少米？16例5．有一条路长100米。在路的一侧从头到尾每隔10米栽一棵树。共栽多少棵树？例6．一个圆形的花坛，周长是180米。每隔6米种芍药花，每相邻两棵芍药花之间种两棵月季花。可以栽多少棵芍药花？多少棵月季花？练习与思考1．一根木料锯成3段要6分钟。如果每次锯的时间相同，那么锯7段要多少分钟？2．一幢楼房17层高，相邻两层有17级台阶。某人从1层到17层，要走多少级台阶？3．某人到高层建筑的10楼去办事，从1层到5层用了100秒。如果用同样的速度到10层，还需要多少秒？4．甲、乙两人比赛爬楼梯，甲跑到4层楼时，乙跑到3层楼。照这样的速度，甲跑到16层楼时，乙跑到多少层楼？5．一条公路长500米，在路的两边每隔20米栽1棵树，起点和终点是站牌，不用栽树。一共栽多少棵树？176．汽车站每隔10分钟开出一辆汽车，1小时开出多少辆汽车？7．一个圆形池塘，它的周长是150米，每隔3米栽1棵树。一共栽多少棵树？第7讲简单的倍数问题倍数问题是指已知一个数或几个数和的和（差）及相互之间的倍数关系，求其中一个数或者几个数的问题。它包括求1倍数或几倍数问题、和倍差、差倍问题等。现在我们就来学习这三类比较简单的倍数问题。例题与方法一、求1倍数或几倍数例1．果园有苹果1200棵，梨树的棵树比苹果树的2倍多80棵。梨树有多少棵？例2．果园有梨树2480棵，梨树的棵数比苹果树的2倍多80棵。苹果树有多少棵？二、和倍问题18例3．学校图书馆有科技书和文艺书共2400本，文艺书的本数是科技书的4倍。两种书各有多少本？三、差倍问题例4．某养鸡专业户养的母鸡比公鸡多246只，养的母鸡是公鸡的4倍。养的公鸡和母鸡各多少只？练习与思考1．园林小学二年级有学生200人，三年级的人数比二年级的2掊少18人。两个年级共有学生多少人？2．一个长方形的长是宽的2倍少2分米。已知长是18分米，长方形的周长是多少？3．甲、乙两数的和是306，甲数是乙数的2倍。甲、乙两数各是多少？4．少先队员种杨树和柳树共248棵，其中杨树的棵树是柳树的3倍。种杨树、柳树各多少棵？种杨树比柳树多多少棵？195．长江路小学开展兴趣小组活动，其中合唱队的人数是舞蹈队的4倍，合唱队比舞蹈队多72人。合唱队、舞蹈队各多少人？6．甲厂六月份生产的化肥是乙厂的3倍，比乙厂多生产化肥428吨。甲、乙两厂六月份共生产化肥多少吨？7．今年，爸爸的年龄是小强的6