二次曲线的定义

本章是平面射影几何的精华,也是最精彩的部分之一本章主要内容二次曲线的定义Pascal定理和Brianchon定理二次曲线的配极原理二次曲线的射影分类每一部分都有丰富的内容、深刻的内涵和重要的应用.第五章二次曲线的射影理论一、二次曲线的代数定义定义1坐标满足3,10()(1)ijijijjiijSaxxaa的所有点(x1,x2,x3)的集合称为一条二阶曲线.其中(aij)为三阶实对称阵,秩(aij)≧1。定义1'坐标满足3,10()(1')ijijijjiijTbuubb的所有直线[u1,u2,u3]的集合称为一条二级曲线.其中(bij)为三阶实对称阵,秩(bij)≧1。二次曲线的射影定义定义2′如果T可以分解为两个一次因式的乘积，则称T=0为退化二级曲线，否则称为非退化二级曲线。定义2如果S可以分解为两个一次因式的乘积，则称S=0为退化二阶曲线，否则称为非退化二阶曲线。命题S=0退化|aij|=0.二次曲线的射影定义注1.S,T均为高等代数中的实三元二次型。从代数上看，S=0和T=0为相同的代数对象；从几何上看，它们是同一几何对象的不同描述，因此统称为二次曲线。注2.在需要时，S=0和T=0均可写为矩阵格式：111213112312222321323333(,,)0,0.(,()1)aaaxSxxxaaaxaaaxSXAXAAA或秩注3.由对偶原则，我们一般仅讨论二阶曲线，其结论均可对偶地适用于二级曲线。二、二次曲线的几何结构定理1不同心的两个射影线束对应直线交点的全体构成一条经过此二线束束心的二阶曲线Γ.注：若已知两个射影线束A+λB↔A′+λB′的对应式0(0)abcdadbc则由此构成的二阶曲线方程为:0(4.2)aAAdBBbABcAB定理2设二阶曲线Γ由射影线束O(P)与O′(P)生成，则在Γ上任意取定相异二点A和B，与Γ上的动点M连线可得两个射影线束)(MA).(MB注：由本定理,一旦二阶曲线由两个射影线束生成，则其上点的地位平等，以曲线上任意相异二点为束心与曲线上的点连线则得到两个也生成此曲线的射影线束。二次曲线的射影定义定理2的证明.设Γ由O(P)O′(P)生成，需证()().AMBM设AMOPKBMOPK)()(KOPMA()()BMOPK所以只要证()().OPKOPK设,.OABMAOBAMB()(),OPOP(,,,)(,,,).OABPMOABPM分别以AM,BM截得注意到,MM(,,,)(,,,).AMABKMBMABKM(,,,)(,,,).AMABKMBMABKM从而对应点的连线共点，即AA′,BB′,KK′共点于S。但是SOAOB为定点，故当M变动时，KK′经过定点S，即()().OPKOPK二次曲线的射影定义则有推论1平面上五点(其中无三点共线)唯一确定一条非退化二阶曲线。推论1′平面上五直线(其中无三线共点)唯一确定一条非退化二级曲线。推论2任一二阶曲线可由两个射影线束生成。推论2′任一二级曲线可由两个射影点列生成。推论3二阶曲线上四个定点与其上任意一点连线所得四直线的交比为定值。推论3′二级曲线上四条定直线被其上任意一条直线所截得四点的交比为定值。注：推论3对于解析几何中的各种二次曲线都适用。二次曲线的射影定义三、二次曲线的射影定义由上述的两个定理及其推论，我们有定义3在射影平面上，称两个射影线束对应直线交点的集合为一条二阶曲线。定义3′在射影平面上，称两个射影点列对应点连线的集合为一条二级曲线。思考：试研究本定义是如何包含退化二次曲线的。提示：考虑透视对应、射影变换的情况。二次曲线的射影定义例1求由两个射影线束x1–λx3=0,x2–μx3=0(λ+μ=1)生成的二阶曲线方程。解令13230,0;0,0.AxBxAxBx利用定理1的证明，此二射影线束00ABAB生成的二阶曲线的方程为0(2)aAAdBBbABcAB由λ+μ=1得a=0,b=c=1,d=–1,代入上式得,0233231xxxxx即003213xxxx这是一条退化的二阶曲线。二次曲线的射影定义四、二阶曲线的切线本部分总假定：所论二次曲线为非退化的.1.定义定义4与二阶曲线Γ交于两个重合的点的直线称为Γ的切线。共轭的虚切线重合的实切线相异的实切线的两条有过内上外在点一般地PP,二次曲线的射影定义四、二阶曲线的切线2、切线的方程问题：已知二阶曲线)1()(0:31,jiijjijiijaaxxaS求过定点P(p1,p2,p3)的Γ的切线方程。设Q(q1,q2,q3)为平面上任一点，则直线PQ上任一点可表为xi=pi+λqi。PQ为Γ的切线PQ交Γ于两个重合的点将xi=pi+λqi代入Γ：S=0后只有一个解。代入得()()0,ijiijjapqpq即0)(2jijijijiijqqpqqpppa二次曲线的射影定义)2(0)(2jiijjiijjiijjiijppapqaqpaqqa为简便计，我们引入记号jiijppppaSjiijqqqqaSjiijpqqpaSjiijqppqaSjiijpxpaSjiijqxqaS.,qppqjiijSSaa代入(2)式得)3(022pppqqqSSS二次曲线的射影定义整理得从而Q(q1,q2,q3)在过P(p1,p2,p3)的切线上(3)对λ有二重根)4(2ppqqpqSSS(4)式即为Q(q1,q2,q3)是Γ过P(p1,p2,p3)的切线上的点的充要条件。习惯地，将其中的流动坐标qi换为xi，得到二阶曲线过点P(p1,p2,p3)的切线方程为)5(2SSSppp(5)式为一个二次方程，故经过平面上一点P一般有两条切线。如果P在Γ上，则Spp=0，从而，二阶曲线上一点P处的切线方程为)6(0pS二次曲线的射影定义注：Sp=0常用的等价写法.0),,().1(321332313232212131211321xxxaaaaaaaaappp.0).2(332211xxSxxSxxSppp.0).3(332211pxSpxSpxS请自行证明这三种写法确实都与Sp=0等价.(3)式与解析几何中的切线方程一致二次曲线的射影定义五、二级曲线的切点设:0()||0(1)ijijijjiijTbuubbb1.切点的定义2.切点方程一般(Γ′在l上的切点)：)'5(2TTTlll特殊(l属于Γ′)：)'6(0lT二次曲线的射影定义一般地，过平面上一点有Γ′的两条直线。若过平面上某点P有且仅有Γ′的一条直线，则称P为Γ′的一个切点。例2如果两个三点形ABC与A′B′C′同时内接于一条二次曲线，求证它们也同时外切于一条二次曲线。证.设交点D,E;D′,E′如图。因为A,B,C,A′,B′,C′在同一条二次曲线上，据二阶曲线的射影定义有(,,,)CBABA(,,,).CBABA又(,,,)CBABA(,,,)ABBEDA(,,,)CBABA).,,,(EBADAB(,,,)ABBEDA).,,,(EBADAB由二级曲线的射影定义，这两个射影点列的对应点连线以及点列的底共六条直线属于同一条二级曲线，这六条直线恰好是已知两个三点形的六条边。结论成立。注：本题的逆命题成立。二次曲线的射影定义六、二阶曲线与二级曲线的统一定理3(Maclaurin)一条非退化二阶曲线的全体切线构成一条非退化二级曲线。定理3′(Maclaurin)一条非退化二级曲线的全体切点构成一条非退化二阶曲线。二次曲线的射影定义证明设.0:jiijxxaS若P(p1,p2,p3)是切线u[u1,u2,u3]的切点，则有Sp=0，于是kupapapaupapapaupapapa333323213123232221211313212111因此有0000332211333323213123232221211313212111pupupukupapapakupapapakupapapa二次曲线的射影定义这个关于p1,p2,p3和k的方程组有非零解，所以1112131122223213233331230(13)0aaauaaauaaauuuu这是一个二级曲线的方程.设.0:jiijxxaS由本定理的证明可知，[u1,u2,u3]为Γ上一点处的切线1112131122223213233331230(13)0aaauaaauaaauuuu展开,得.0||||,.02ijijjiijjiijaAAAuuAT且注：本定理提供了二次曲线的点坐标、线坐标方程互化方法。推论4若bij=αAij(α≠0)，则S≡∑aijxixj=0与T≡∑bijuiuj=0表示同一条二次曲线。二次曲线的射影定义这里Aij是aij的代数余子式.例3求证：x1x3–x22=0与4u1u3–u22=0表示同一条二次曲线.证明.第一步.验证已知两条二次曲线为非退化.第二步.将aij,u1,u2,u3代入(13)式,展开即得4u1u3–u22=0.二次曲线的射影定义七、二阶曲线束定理4平面上两条相异的二阶曲线一般有四个交点.证明.设Γ1:f≡∑aijxixj=0,Γ2:g≡∑bijxixj=0,则联立00gf即为Γ1与Γ2的交点,显然,在复数范围内一般有四个解.定义5设f=0,g=0为平面上两条相异的二阶曲线.则称由)14(0Rgf所决定的二阶曲线的全体为以f=0,g=0的四个交点为基点的二阶曲线束.若f=0,g=0的四个交点相异,则称为二阶曲线的四点形束.定理5经过平面上任一点P(非基点),必有一条二阶曲线属于已知束f+λg=0.证明.因为P不是f=0与g=0的交点,故fpp与gpp不同时为零.不妨设gpp≠0.令.0ppppgf则f+λ0g=0为过P且属于f+λg=0的二阶曲线.二次曲线的射影定义定理6平面上任一二阶曲线束中必有三条退化的二阶曲线,它们是以四个基点为顶点的完全四点形的三双对边.注：对定理6的直观理解.如图,三条相异的退化二阶曲线为：;01CDAB：;02ADBC：.03BDAC：实用性很强的两种极限形式如下：;01CDAP：;02ADAC：.03ADAC：;01CPAP：;02ACAC：.03ACAC：只有两条相异.只有两条相异.二次曲线的射影定义例4已知二阶曲线Γ过点A(1,0,1),C(0,0,1),E(3,2,1),并与直线l1:x1–3x2–x3=0,l2:2x1–x2=0相切.求Γ的方程.解易见A∈l1,C∈l2.于是Γ分别与l1,l2相切于点A,C.令A=B,C=D.则第一步.,03:321xxxAB,02:21xxCD,0:2xAC.0:2xBD于是,过A,B,C,D四点的二阶曲线束的方程为：,0BDACCDAB即.0)2)(3(2221321xxxxxx第二步.将E(3,2,1)代入,得λ=2.故Γ的方程为.027723231212221xxxxxxxx二次曲线的射影定义