中学数学常用解题方法

掌握常用解题方法数学难题不再难宁波三江中学邬世凤我们常常会看到这样一种现象：不少同学整天忙着做作业，什么“课后练习”、“单元测试”、“升学练兵”，手头资料一大堆，习题做了好几本，但学习成绩就是提不高，考试成绩不理想，这是为什么？究其原因，就是没有吃透教材的基本原理，没有掌握解题的科学方法。吃透原理，是学好功课的根本保证；掌握方法，是攻克难题的有力武器。只有弄清原理，才能思路清晰，从容对答；只有掌握方法，才能触类旁通，举一反三。下面的解题方法是本人在这几年教学中积累、总结的，都是初中数学中最常用的，现在结合实例给同学们介绍一下，希望这些方法能给同学们的学习有些帮助。1、配方法配方法是把一个代数式经过变化成一个完全平方式或含有完全平方式的代数式形式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数极值和解析式等方面都经常用到它。例1已知a，b，c是△ABC的三边，且acbcabcba222＝0，试判定△ABC形状．证明：∵acbcabcba222=0∴2(acbcabcba222)=0∴0)2()2()2(222222cacacbcbbaba∴0)()()(222cacbba∴a－b＝0，b－c＝0，c－a＝0．即a＝b＝c．故△ABC是等边三角形．例2.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多销售2件，问：每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？分析：实际生活中的问题，往往可以通过建立适当的函数关系式，求函数的最值来解决。而求函数最值是通过配方法来完成的。本试题中“平均每日盈利”是“每件衬衫售价”的函数，故考虑用函数来解决。解：设每件衬衫降价x元时，商场平均每天盈利y元。则当5时，2、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。例3.已知凸四边形ABCD四条边的长顺次是a、b、c、d，且，，则四边形ABCD是什么形状？解：因为，所以，即同理，即因为a、b、c、d为四边形ABCD的四条边所以则有及，所以，所以四边形ABCD为平行四边形。说明：此例是利用因式分解解决几何问题，这也是近年来中考试卷中命题的一种趋势。3、换元法所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。它可以化高次为低次、化无理为有理，在研究方程、不等式、函数等问题中有广泛的应用。例4.用换元法解方程：（1）；（2）析解：（1）设，则原方程化为解得，（舍）。由此解得。检验略去。（2）设，则原方程化为，解得由此解得或，检验略去。由此可见，在解方程中，换元可起到无理式化有理式、分式化整式的作用。4、判别式法与韦达定理一元二次方程cbxax2（a≠0）根的判别式△=acb42，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，讨论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。例5（1933年福建初中数学竞赛题）求证：对任一矩形A，总存在一个矩形B，使得矩形A和矩形B的周长和面积比都等于常数k（k≥1）.分析设矩形A及B的长度分别是a，b及x，y，为证明满足条件的矩形B存在，只须证明方程组（k，a，b为已知数）有正整数解即可.再由韦达定理，其解x，y可以看作是二次方程z2-k（a+b）z+kab=0的两根.∵k≥1，故判别式△=k2（a+b）2-4kab≥k2（a+b）2-4k2ab=k2（a-b）2≥0，∴上述二次方程有两实根z1，z2.又z1+z2=k（a+b）＞0，z1z2=kab＞0，从而，z1＞0，z2＞0，即方程组恒有x＞0，y＞0的解，所以矩形B总是存在的.5、待定系数法同学们在初一时，见过这样的题目：“已知ｘ2一５=（２一Ａ）·ｘ2＋Ｂｘ＋Ｃ，求Ａ，Ｂ，Ｃ的值．”解答此题，并不困难．只需将右式与左式的多项式中的对应项的系数加以比较后，就可得到Ａ，Ｂ，Ｃ的值．这里的Ａ，Ｂ，Ｃ是有待于确定的系数，这种解决问题的方法就是待定系数法．从教科书中的例子，我们知道用待定系数法求一次函数、二次函数表达式是一种行之有效的方法．我们再来看一道用待定系数法解决多项式除法问题例子。例6已知多项式ax3+bx2+cx+d能被x2+p整除，求证：ad=bc.证明：由于三次多项式能被二次式整除，因而其商必为一次式，可设商式为mx+ｎ（ｍ，ｎ为待定系数）。这样可得出恒式：ax3+bx2+cx+d=(mx+n)(x2+p),即ax3+bx2+cx+d=mx3+nx2+pmx+pn比较等式两边同类项的系数，得a=m，b=n,c=pm,d=pn由ad=pmn,bc=pmn,可得ad=bc6、构造法在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。例7.（2000年全国初中数学联赛试题）计算的值是（）A.1B.C.D.解：构造方程，将其两边平方，得因为所以，故选C7、反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题结论相反的假设，然后从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。用反证法证明一个命题的步骤大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。例8．已知：四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，)(21CDABEF。求证：CDAB//。证明：假设AB不平行于CD。如图，连结AC，取AC的中点G，连结EG、FG。∵E、F、G分别是AD、BC、AC的中点，∴CDGE//，CDGE21；ABGF//，ABGF21。∵AB不平行于CD，∴GE和GF不共线，GE、GF、EF组成一个三角形。∴EFGFGE①ABCDEFG但EFCDABGFGE)(21②①与②矛盾。∴CDAB//8、面积法平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。例9（1974年加拿大中学生笛卡尔数学竞赛题）设AD为的中线，CF交AD于E，交AB于F。证明：证明连BE，如图由知因D是BC中点，则，∴9、几何变换法在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。几何变换包括：（1）平移；（2）旋转；（3）对称。例10计算图40-31的阴影面积。解：把图40-31右边的半圆以两个半圆的公共点为中心，顺时针方向旋转180度，与左边的半圆组成一个圆（图40-32）。BFAECD此时，两个空白的三角形组成一个等腰直角三角形。这个等腰直角三角形的底边等于圆的直径10厘米，高等于圆的半径5厘米，三角形的面积可求，接着也就可以求出图中阴影部分的面积了。10.选择填空题的解题方法（1）直接推演法：直接从命题给出的条件出发，运用概念、公式、定理等进行推理或运算，得出结论，选择正确答案，这就是传统的解题方法，这种解法叫直接推演法。（2）验证法（也称代入法）：由题设找出合适的验证条件，再通过验证，找出正确答案，亦可将供选择的答案代入条件中去验证，找出正确答案，此法称为验证法。当遇到定量命题时，常用此法。（3）特殊值法：有些选择题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，或将字母参数换成具体数值代入，把一般形式变为特殊形式，再进行判断往往十分简单。（4）排除、筛选法：对于正确答案有且只有一个的选择题，根据数学知识或推理、演算，把不正确的结论排除，余下的结论再经筛选，从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选法。（5）图解法：在解答选择题的过程中，可先根椐题意，作出草图，然后参照图形的作法、形状、位置、性质，综合图象的特征，得出结论。图解法是解选择题常用方法之一。