《状元之路》2014届高考数学(全国通用)二轮复习钻石卷高频考点训练3-2

高考专题训练时间：45分钟分值：75分一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5ak8，则k＝()A．9B．8C．7D．6解析由an＝S1n＝1Sn－Sn－1n≥2，n∈N*＝－8n＝1，2n－10n≥2，n∈N*，得an＝2n－10(n∈N*)，由52k－108，得7.5k9，因为k∈N*，所以k＝8.答案B2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋n，数列{bn}满足bn＝1anan＋1(n∈N*)，Tn是数列{bn}的前n项和，则T9等于()A.919B.1819C.2021D.940解析∵数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋n，∴n＝1时，a1＝2；n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，∴an＝2n(n∈N*)，∴bn＝1anan＋1＝12n2n＋2＝141n－1n＋1，T9＝141－12＋12－13＋…＋19－110＝14×1－110＝940.答案D3．已知数列{an}中，a1＝0，an＋1＝an＋2n，则a2013等于()A．2011×2010B．2013×2012C．2014×2013D．20132解析由an＋1＝an＋2n，∴an＋1－an＝2n，∴a2－a1＝2，a3－a2＝4，……a2013－a2012＝4024.累加得a2013－a1＝2＋4＋6＋…＋4024＝2012×40262＝2012×2013，又a1＝0，故a2013＝2012×2013.答案B[来源:学|科|网]4．(2013·山东日照一模)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－6n，则{|an|}的前n项和Tn＝()A．6n－n2B．n2－6n＋18C.6n－n21≤n≤3n2－6n＋18n3D.6n－n21≤n≤3n2－6nn3解析由Sn＝n2－6n得{an}是等差数列，且首项为－5，公差为2.∴an＝－5＋(n－1)×2＝2n－7.∴n≤3时，an0；n3时，an0.∴Tn＝6n－n21≤n≤3，n2－6n＋18n3.答案C5．已知曲线C：y＝1x(x0)及两点A1(x1,0)和A2(x2,0)，其中x2x10.过A1，A2分别作x轴的垂线，交曲线C于B1，B2两点，直线B1B2与x轴交于点A3(x3,0)，那么()A．x1，x32，x2成等差数列B．x1，x32，x2成等比数列C．x1，x3，x2成等差数列D．x1，x3，x2成等比数列解析由题意，B1，B2两点的坐标分别为x1，1x1，x2，1x2，所以直线B1B2的方程为y＝－1x1x2(x－x1)＋1x1，令y＝0，得x＝x1＋x2，∴x3＝x1＋x2，因此，x1，x32，x2成等差数列．答案A6．等比数列{an}的各项均为正数，akak－2＝a26＝1024，ak－3＝8，若对满足at128的任意t，k＋tk－t≥m都成立，则实数m的取值范围是()A．(－∞，－6]B．(－∞，－8]C．(－∞，－10]D．(－∞，－12]解析akak－2＝a26＝1024⇒k＝7，a6＝32，又ak－3＝a4＝8，an0，所以q＝2，an＝2n－1.由at＝2t－1128＝27⇒t≥9，由题意知m≤k＋tk－tmin，而k＋tk－tmin＝7＋97－9＝－8，故选B.答案B二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上．7．(2013·全国卷Ⅰ)若数列{an}的前n项和Sn＝23an＋13，则{an}的通项公式是an＝________.解析n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝23an＋13－23an－1＋13，化简得：an＝－2an－1，又a1＝S1＝23a1＋13，得a1＝1，故{an}为以1首项，以－2为公比的等比数列，所以an＝(－2)n－1.答案(－2)n－18．已知等差数列{an}的公差不为零，a1＋a2＋a513，且a1，a2，a5成等比数列，则a1的取值范围为________．解析设{an}的公差为d(d≠0)，则a2＝a1＋d，a5＝a1＋4d.又a22＝a1·a5，且d≠0，∴d＝2a1.∴a1＋a2＋a5＝13a113，∴a11.答案(1，＋∞)9．设数列{an}，若an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则称数列{an}为“凸数列”，已知数列{bn}为“凸数列”，且b1＝1，b2＝－2，则数列{bn}前2013项的和为________．解析由“凸数列”的定义，可写出数列的前几项，即b1＝1，b2＝－2，b3＝－3，b4＝－1，b5＝2，b6＝3，b7＝1，b8＝－2，…故数列{bn}是周期为6的周期数列．又b1＋b2＋b＋b4＋b5＋b6＝0，故S2013＝S335×6＋3＝b1＋b2＋b3＝1－2－3＝－4，故填－4.答案－4三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．(本小题10分)(2013·安徽凤阳二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝12，Sn＝n2an－n(n－1)，n＝1,2，…….(1)证明：数列n＋1nSn是等差数列，并求Sn；(2)设bn＝Snn3＋3n2，求证：b1＋b2＋…＋bn512.[来源:学*科*网Z*X*X*K]证明(1)由Sn＝n2an－n(n－1)知，当n≥2时，Sn＝n2(Sn－Sn－1)－n(n－1)，即(n2－1)Sn－n2Sn－1＝n(n－1)，∴n＋1nSn－nn－1Sn－1＝1，对n≥2成立．又1＋11S1＝1，∴n＋1nSn是首项为1，公差为1的等差数列．∴n＋1nSn＝1＋(n－1)·1.∴Sn＝n2n＋1.(2)bn＝Snn3＋3n2＝1n＋1n＋3＝121n＋1－1n＋3，∴b1＋b2＋…＋bn＝1212－14＋13－15＋…＋1n－1n＋2＋1n＋1－1n＋3＝1256－1n＋2－1n＋3512.[来源:学科网ZXXK]11．(本小题10分)(2013·山东卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＋an＋12n＝λ(λ为常数)．令cn＝b2n(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Rn.解(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.由S4＝4S2，a2n＝2an＋1得4a1＋6d＝8a1＋4d，a1＋2n－1d＝2a1＋2n－1d＋1.解得a1＝1，d＝2.因此an＝2n－1，n∈N*.(2)由题意知Tn＝λ－n2n－1，所以n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝－n2n－1＋n－12n－2＝n－22n－1.故cn＝b2n＝2n－222n－1＝(n－1)14n－1，n∈N*，所以Rn＝0×140＋1×141＋2×142＋3×143＋…＋(n－1)×14n－1，[来源:学_科_网Z_X_X_K]则14Rn＝0×141＋1×142＋2×143＋…＋(n－2)×14n－1＋(n－1)×14n，[来源:学科网]两式相减得34Rn＝141＋142＋143＋…＋14n－1－(n－1)×14n＝14－14n1－14－(n－1)×14n＝13－1＋3n314n，整理得Rn＝194－3n＋14n－1.所以数列{cn}的前n项和Rn＝194－3n＋14n－1.12．(本小题10分)(2013·天津卷)已知首项为32的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Tn＝Sn－1Sn(n∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．解(1)设等比数列{an}的公比为q，因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，于是q2＝a5a3＝14.又{an}不是递减数列且a1＝32，所以q＝－12，故等比数列{an}的通项公式为an＝32×－12n－1＝(－1)n－1·32n.(2)由(1)得Sn＝1－－12n＝1＋12n，n为奇数，1－12n，n为偶数.当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1Sn≤S1＝32，故0Sn－1Sn≤S1－1S1＝32－23＝56.当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以34＝S2≤Sn1，故0Sn－1Sn≥S2－1S2＝34－43＝－712.综上，对于n∈N*，总有－712≤Sn－1Sn≤56.所以数列{Tn}的最大项的值为56，最小项的值为－712.