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《相交线》教案三维目标1．通过学习邻补角、对顶角等概念，进一步发展学生抽象概括能力．2．通过对相交线、邻补角、对顶角的研究，体会它们在解决实际问题中的作用，并能用它们解释生活中的一些现象．3．通过分组讨论，培养学生合作交流的意识和探索精神．4．通过对顶角、邻补角性质的研究，体会它们在解决实际问题中的作用，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．教学重点邻补角、对顶角的性质．教学难点发现两条直线相交时所形成的各类角的位置及数量关系．教学过程导入新课师：打开书欣赏第五章的章头图，雄伟壮丽的大桥上，有纵横交错的钢梁，以及像竖琴一样的钢索，你能从中抽象出什么样的几何形象？（同学们思考后回答）生：有很多的相交线和平行线．师：你能在身边再找一些相交线和平行线的实例吗？生：学校操场上的双杠．生：课桌面、黑板面相邻的两边和相对的两边．生：国际象棋、中国象棋的棋盘布满了纵横交错的横线和竖线，它们和平行、或相交．……师：在生活中相交线、平行线的实例比比皆是，因此从这节课开始，我们将要在前面《图形认识初步》的基础上，继续遨游于几何世界，探究两条直线相交都能够形成哪些角？这些角有什么特征？什么样的两条直线互相垂直？垂线有什么性质？什么样的两条直线互相平行？互相平行的直线有什么特征？……更为重要的是它们在生活中的作用，学会用数学的眼光去欣赏我们生活所在的丰富多彩的世界．这节课，我们先来研究相交线．推进新课这里有一把剪刀，握紧剪子（如图1）的把手，就能剪开物体，你能说出其中的道理吗？生：握紧把手时，随着两个把手之间的角逐渐变小，剪刀刃之间的角也相应变小，直到剪开物体．师：如果把剪子的构造抽象成一个几何图形，会是什么样的图形？请你在练习本上画出．（教师可进行巡视，给学习困难的学生以帮助．从现实生活中发现并提出简单的数学问题吸引学生的注意力，同时为得出相交线所成角的性质提供背景和生活素材）．师：同学们表现都很棒，剪子的构造可看作两条相交的直线，而剪刀两个把手之间的角，剪刀刃之间的角都是相交直线．．．．所成角．组织学生活动活动1．（1）任意画两条相交的直线，在形成的四个角中（如图2）各个角存在怎样的位置关系？根据这种位置关系将它们分类．（2）分别量一下各个角的度数，各个角度数有什么关系？为什么？（3）在图1转动剪子把手的过程中，这个关系还保持吗？（学生分组活动，动手操作，教师深入小组参与活动，倾听学生的交流，并指导、帮助学生完成任务）教师应重点关注：（1）学生能否根据各对角的位置关系进行分类；（2）在阐述各对角的位置关系时，语言是否规范；（3）在测量出各个角的大小关系时，能否用“同角的补角相等”为依据，得出正确结论．（为学生提供参与数学活动的时间和空间，调动学生的主观能动性，激发好奇心和求知欲．通过学生自身探求出结论，获得学习数学的成就感，提高学生的论证几何的能力）生：∠1和∠2、∠2和∠3、∠3和∠4、∠4和∠1它们属于同一种位置关系的角．它们共同的特点是每一对角都有一条公共边，而另一边互为反向延长线．生：以上四对角不仅有特殊的位置，而且它们的和都是180°，即它们互补．师：你能给它们每对角起个名字吗？生：我们前面学过互为补角：如果两个角的和是180°，则称它们互为补角．而上面的∠1和∠2、∠2和∠3、∠3和∠4、∠4和∠1不仅互补，而且“相邻”，我们称它们为“亲密补角”吧！师：这个名字是不是很温馨呢！（同学们鼓掌）实际上，在数学上，我们把具有上述位置和大小关系的角叫做互为邻补角．师：你还能找到哪些两两相配的角呢？它们又有何位置和大小特点？生：∠1和∠3、∠2和∠4它们分别有相同的位置关系．每对角都有一个公共顶点O，并且每对角的两边都互为反向延长线．师：很好．我们将具有这种位置关系的两个角叫做对顶角，它们的大小有何关系？生：每对对顶角都分别相等．如图2的∠1=∠3，∠2=∠4．师：你能用前面的知识说明∠1=∠3的理由吗？生：因为∠1与∠2互补，∠3也与∠2互补，由“同角的补角相等”，可以得出∠1=∠3．类似地，可得出∠2=∠4．师：由此可得出结论……生：对顶角相等．师：你能用刚才的结论解释本节开头提出的现象吗？生：可以．通过上面的讨论我们知道了，剪子两个把手之间的角与剪刀刃之间的角是对顶角．在转动剪子把手的过程中，这对对顶角始终保持相等，直到把物体剪开．师生共析：下面我们共同填写下表（多媒体演示）两直线相交所形成角分类位置关系大小关系1432CDOAB∠1、∠2∠3、∠4活动2．问题：（1）图3中∠1和∠2是对顶角吗？若不是，请说明理由．（学生通过对上面问题的解释，进一步明确对顶角存在的条件，使学生的思维更严密、条理）．生：图3（1）中的∠1和∠2不是对顶角，是因为它们不是两条直线相交而成，即它们既无公共顶点，每个角的两边只有一边是互为反向延长线；图3（2）中的∠1和∠2虽有公共点，但∠2的一边不是∠1两边中的一条反向延长线；图3（4）中的∠1和∠2也不是对顶角，只有图3（3）中的∠1和∠2是对顶角．师：判断一对角是不是对顶角，我们应注意什么？生：首先看它们是否是两条直线相交而成的角，再看它们是否有公共顶点，两边是否互为反向延长线．（2）如图4，直线a、b相交，∠1=40°，求∠2、∠3、∠4的度数．（意在利用互为邻补角的大小关系，对顶角相等的性质．教师应先让学生自主解决，对个别学习有困难的学生加以辅导）生：解：如图4，由邻补角的定义，可得∠2=180°-40°=140°；由“对顶角相等”，可得∠3=∠1=40°，∠4=∠2=140°．运用数学知识，解决问题活动3．（多媒体演示）问题：（1）如图5（1），取两根木条a、b，将它们钉在一起，并把它们想象成两条直线，就得到一个相交线的模型，你能说出其中的邻补角与对顶角吗？如果其中一个角是35°，其他三个角各是多少度？这个角是90°、115°、m°呢？解：将两根木条抽象成相交直线，如图5（2），设直线a、b相交于点O．①当∠1=35°时，由邻补角的定义可得∠2=180°-35°=145°；由“对顶角相等”，可得∠3=∠1=35°，∠4=∠2=145°．②当∠1=90°，同（1）可得∠2=180°-90°=90°，∠3=∠1=90°，∠4=∠2=90°．③当∠1=115°时，∠2=180°-115°=65°，∠3=∠1=115°，∠4=∠2=65°．④当∠1=m°时，∠2=180°-m°，∠3=∠1=m°，∠4=∠2=180°-m°．（2）下列说法正确的是（）A．有公共顶点的两个角是对顶角B．相等的两个角是对顶角C．有公共顶点并且相等的角是对顶角D．两条直线相交成的四个角中，有公共顶点且没有公共边的两个角是对顶角答案：D注：①只有两条直线相交时，才能产生对顶角，对顶角是成对出现的；②对顶角的本质特征是：两个角有公共顶点，其两边互为反向延长线．（3）已知直线AB、CD相交于点O，∠AOC+∠BOD=240°，求∠BOC的度数．分析：如图6所示，∠AOC与∠BOD是对顶角，所以∠AOC=∠BOD；又∠AOC+∠BOD=240°，从而∠AOC=∠BOD=120°；又∠AOC和∠BOC是邻补角，所以∠BOC=180°-∠AOC=60°．解：因为直线AB、CD相交于点O，所以∠AOC和∠BOC是邻补角（对顶角的定义），∠AOC和∠BOC是邻补角（邻补角的定义），所以∠AOC=∠BOD（对顶角相等）．又因为∠AOC+∠BOD=240°（已知），所以∠AOC=∠BOD=120°．所以∠BOC=180°-∠AOC=60°（邻补角的定义）．（4）如图7，AB与CD是直线，图中共有对顶角________对．（）A．1B．2C．3D．4解析：在图中只有AB和CD两条直线相交，根据对顶角的特征：两个角有公共顶点，其两边互为反向延长线可知对顶角只有两对即∠AOC和∠BOD、∠AOD和∠BOC．答案：B（5）图8中是对顶角量角器，你能说出用它测量角的原理吗？解：设量角器的底边所在的直线为AB，指针所在直线为CD．根据对顶角相等，可知∠BOD=∠AOC，因此只要读出∠AOC的度数，也就知道了∠BOD的度数．课堂小结本节课讨论了两条直线相交所成的角的问题；重点研究了邻补角、对顶角的位置关系、大小关系，并用它们解决了生活和数学中的一些简单问题，相信同学们在今后的学习过程中，会进一步体会到邻补角和对顶角性质在解题中的作用．布置作业习题5．11、2．活动与探究两条直线相交于一点，有______对对顶角，三条直线相交于一点，有_____对对顶角．……n条直线相交于一点，共可组成______对对顶角．[过程]让学生在讨论的过程中，学会归纳．两条直线相交于一点和三条直线相交于一点较简单，可得出，那么n条直线呢？设n条直线为a1，a2，…，an，以a1为边所得到的对顶角数为2（n-1）；以a2为边所得到的新对顶角数为2（n-2）；…以an-2为边得到的新对顶角数为2×2；以an-1为边得到的新对顶角数为2×1．加起来得n（n-1）对对顶角．[结果]两条直线相交于一点，有2对对顶角，三条直线相交于一点，有6对对顶角，n条直线相交于一点，共有n（n-1）对对顶角．备课资料一、参考例题【例1】如图9，AB、BC、AC都是直线，且∠1=∠2，那么∠3=∠1吗？为什么？解：因为∠1=∠2（已知），∠3=∠2（对顶角相等），所以∠3=∠1．注：在图形中，要正确地辩认对顶角．【例2】如图10，已知直线AB、CD、EF相交于点O，∠AOC=60°，∠AOE=70°，求：（1）∠AOD的度数；（2）∠DOF的度数．分析：（1）方法一：据∠AOC=60°，由邻补角的定义，可求出∠AOD的度数．方法二：据平角的定义，可先求出∠EOD的度数，再由∠EOD与∠AOE的和求∠AOD的度数．（2）方法一：由∠AOE与∠AOC相加求出∠EOC的度数，再根据对顶角相等求出∠DOF的度数．方法二：利用对顶角相等求出∠BOF，∠BOD，再相加即可．方法三：先求出∠EOD的度数，再根据邻补角的定义求∠DOF．方法四：先求出∠COF的度数，再根据邻补角的定义去求∠DOF．解：略．答案：（1）120°；（2）130°．【例3】如图11，直线a、b被直线c所截，构成八个角，已知∠1=∠5=58°，求∠2，∠3，∠4，∠6，∠7，∠8的度数，并说明理由．理由：∵∠1=58°（已知），∴∠3=∠1=58°（对顶角相等）．∴∠2=180°-∠1=180°-58°=122°（邻补角的定义）．∴∠4=∠2=122°（对顶角相等）．同理可求∠7=58°，∠6=∠8=122°．答：∠2=∠4=∠6=∠8=122°，∠3=∠7=58°．注：正确应用对顶角，邻补角，补角的性质可以计算角的度数．本题还有多种解法，你能再找出几种不同的解法吗？【例4】如图12，直线AB与CD相交于点O，且∠BOD的度数是∠AOD的2倍．求：（1）∠AOD、∠BOD的度数；（2）∠BOC、∠AOC的度数．解：（1）因为AB是一条直线（已知），所以∠AOD+∠BOD=180°（邻补角的定义）．设∠AOD的度数为x，则∠BOD的度数为2x．所以x+2x=180°，x=60°，即∠AOD=60°，∠BOD=120°．（2）因为AB、CD相交于点O（已知），所以∠BOC=∠AOD，∠AOC=∠BOD（对顶角相等）．因为∠AOD=60°，∠BOD=120°（已知），所以∠BOC=60°，∠AOC=120°．【例5】判断下列说法是否正确，并说明理由．（1）有公共顶点的两个角是对顶角；（2）相等的两个角是对顶角；（3）互为对顶角的两个角的余角相等．解：（1）不正确．对顶角的定义是“如果一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角”．有公共顶点的两个角，其中一个角的两边不一定是另一个角的两边的反向延长线（如图13）．（2）不正确．对顶角是两个角处于一种特殊的位置关系，相等的角是两个角的大小比较，是两个角的度量关系，这是两个不同范畴的概念，如，等边三角形的每个内角都是60°，但不是对顶角．（3）不正确