4弯曲内力计算

三、梁的弯曲应力梁在荷载作用下，横截面上一般都有弯矩和剪力，相应地在梁的横截面上有正应力和剪应力。3.1梁的弯曲正应力(normalstress)1、变形几何关系弯曲平面假设：变形后，横截面仍保持平面，且仍与纵线正交。ydddy)(2、物理关系yE三、梁的弯曲应力3、静力学关系0NAFdAAydAzM00AAydAEdA0dAyMAzz轴必须通过截面的形心三、梁的弯曲应力0AAyzdAEdA横截面对y和z轴的惯性积为零，y和z轴为主轴dAyEdAyMAA22ZAydAIzEIM1yIMz三、梁的弯曲应力最大弯曲正应力maxmaxmaxyIMyIMzzmaxyIWzzzWMmax三、梁的弯曲应力62bhWz323dWz43132DWz圆形截面的抗弯截面系数矩形截面的抗弯截面系数空心圆截面的抗弯截面系数三、梁的弯曲应力例1图所示悬臂梁，自由端承受集中荷载F作用，已知：h=18cm，b=12cm，y=6cm，a=2m，F=1.5KN。计算A截面上K点的弯曲正应力。三、梁的弯曲应力解：先计算截面上的弯矩kNmFaMA325.1截面对中性轴的惯性矩(momentofinertia)473310832.51218012012mmbhIZMPayIMZAk09.36010832.510376A截面上的弯矩为负，K点在中性轴(neutralaxis)的上边，所以为拉应力。三、梁的弯曲应力3.2平面图形的几何性质反映截面形状和尺寸的某些性质的一些量，统称为截面的几何性质。形心和静矩形心(Centroids)坐标公式：AdAyyAzdAzACAC,静矩又称面积矩AyAzzdASydAS三、梁的弯曲应力CACAAzzdAAyydACAyCAzAzzdASAyydASiniizyAS1iniiyzAS1iiiCAyAziiiCAzAy组合图形是几个规则而成的图形。图形组合的静矩：图形组合的形心坐标公式：三、梁的弯曲应力惯性矩、惯性积和平行移轴定理惯性矩(MomentsofInertia)定义为：22,zAyAIydAIzdA惯性积(ProductsofInertia)定义为：AzyzydAI极惯性矩(PolarMomentsofInertia)定义为：222()zyAAIdAzydAII三、梁的弯曲应力同一截面对不同的平行的轴，它们的惯性矩和惯性积是不同的。byyazzAAAAAydAazdAadAzdAazdAzI22222)(AaIIycy2AbIIzcz2abAIIzcycyz平行移轴公式三、梁的弯曲应力例2计算图示T形截面的形心和过它的形心z轴的惯性矩。选参考坐标系oz´y´三、梁的弯曲应力（2）计算截面惯性矩49214923249231101.211032.131732008008002001211075.727710010001001000121mmIIImmImmIzzzzz05731026004001016008501010002222211CCCiiiczmmAyAyAAyAy三、梁的弯曲应力3.3梁的弯曲剪应力(Shearingstress)当梁的跨度很小或在支座附近有很大的集中力作用，这时梁的最大弯矩比较小，而剪力却很大，如果梁截面窄且高或是薄壁截面，这时剪应力可达到相当大的数值，剪应力就不能忽略了。矩形截面梁的弯曲剪应力三、梁的弯曲应力dAyIMdANz1zzIMSN1zzQzzISdxFMISdMMN)()(2bISFzzQIz代表整个横截面对中性轴矩z的惯性距；而Sz*则代表y处横线一侧的部分截面对z轴的静距。对于矩形截面，三、梁的弯曲应力)4(2)2(21)2(22yhbyhyhbSz)41(2322hybhFQ矩形截面梁的弯曲剪应力沿截面高度呈抛物线分布；在截面的上、下边缘剪应力τ=0；在中性轴(y=0),剪应力最大，三、梁的弯曲应力剪应力最大公式：bhFQ23max工字形截面梁的弯曲剪应力bISFzzQ腹板上的弯曲剪应力沿腹板高度方向也是呈二次抛物线分布，在中性轴处(y=0)，剪应力最大，在腹板与翼缘的交接处(y=±h/2)，剪应力最小三、梁的弯曲应力8)(822maxhbBBHbIFzQ)88(22minBhBHbIFzQ近似地得表示腹板的剪应力bhFQ或bSIFZQmax三、梁的弯曲应力圆形截面梁的弯曲剪应力bISFZZQy在中性轴上，剪应力为最大值τmaxAFrFQQ34342max一般公式：三、梁的弯曲应力例3梁截面如图8.16(a)所示，横截面上剪力FQ=15KN。试计算该截面的最大弯曲剪应力，以及腹板与翼缘交接处的弯曲剪应力。截面的惯性矩Iz=8.84×10-6m4。最大弯曲剪应力发生在中性轴上。中性轴一侧的部分截面对中性轴的静矩为：解：1.最大弯曲剪应力。342max,10025.9220)4512020(mmmmmmmmmmSz三、梁的弯曲应力最大弯曲剪应力：MPammmmmmNbISFzZQ66.7)20)(1084.8()10025.9)(1015(46343max,max(2).腹板、翼缘交接处的弯曲剪应力341040.8)3512020(mmmmmmmmSZ交接处的弯曲剪应力MPammmmmmNbISFzzQ13.7201084.8)1040.8)(1015(46343三、梁的弯曲应力3.4梁的强度条件(strengthcondition)为了保证梁的安全工作，梁最大应力不能超出一定的限度，也即，梁必须要同时满足正应力强度条件和剪应力强度条件。弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件为：maxmaxzWM要求梁内的最大弯曲正应力σmax不超过材料在单向受力时的许用应力[σ]三、梁的弯曲应力利用上述强度条件，可以对梁进行三方面的计算：正应力强度校核、截面选择和确定容许荷载。弯曲剪应力强度条件最大弯曲剪应力作用点处于纯剪切状态，相应的强度条件为：maxmaxmaxbISFzzQ要求梁内的最大弯曲剪应力τmax不超过材料在纯剪切时的许用剪应力[τ]三、梁的弯曲应力在一般细长的非薄壁截面梁中，最大弯曲正应力远大于最大弯曲剪应力。但是，对于薄壁截面梁与弯矩较小而剪力却较大的梁，后者如短而粗的梁、集中荷载作用在支座附近的梁等，则不仅应考虑弯曲正应力强度条件，而且弯曲剪应力强度条件也可能起控制作用。例4图所示外伸梁，用铸铁制成，横截面为T字形，并承受均布荷载q作用。试校该梁的强度。已知荷载集度q=25N/mm，截面形心离底边与顶边的距离分别为y1=95mm和y2=95mm，惯性矩Iz=8.84×10-6m4，许用拉应力[σt]=35MPa，许用压应力[σc]=140Mpa。三、梁的弯曲应力三、梁的弯曲应力解：（1）危险截面与危险点判断。梁的弯矩如图示，在横截面D与B上，分别作用有最大正弯矩与最大负弯矩，因此，该二截面均为危险截面。截面D与B的弯曲正应力分布分别如图示。截面D的a点与截面B的d点处均受压；而截面D的b点与截面B的c点处均受拉。即梁内的最在弯曲压应力σc,max发生在截面D的a点处。至于最大弯曲拉应力σt,max,究竟发生在b点处，还是c点处，则须经计算后才能确定。由于|MD||MB|，|ya||yd|,因此|σa||σd|三、梁的弯曲应力（2）强度校核。MPammmmNmmIyMzaDa8.591084.8)950)(1056.5(466MPaIyMMPaIyMzcBczbDb6.333.28tctcacMPaMPa6.338.59max,max,梁的弯曲强度符合要求三、梁的弯曲应力例5悬臂工字钢梁AB，长l=1.2m，在自由端有一集中荷载F，工字钢的型号为18号，已知钢的许用应力[σ]=170Mpa，略去梁的自重，(1)试计算集中荷载F的最大许可值。(2)若集中荷载为45kN，确定工字钢的型号。三、梁的弯曲应力解：1.梁的弯矩图如图示，最大弯矩在靠近固定端处，其绝对值为：Mmax=Fl=1.2FN·mF的最大许可值为：KNNF2.26102.262.1170185][3max由附录中查得，18号工字钢的抗弯截面模量为Wz=185×103mm3公式(8.16)得：1.2F≤(185×10-6)(170×106)三、梁的弯曲应力(2)最大弯矩值Mmax=Fl=1.2×45×103=54×103N·m按强度条件计算所需抗弯截面系数为：3356max3181018.31701054cmmmMPaNmmMWZ查附录可知，22b号工字钢的抗弯截面模量为325cm3，所以可选用22b号工字钢。三、梁的弯曲应力例6例8.5中的18号工字钢悬臂梁，按正应力的强度计算，在自由端可承受的集中荷载F=26.2KN。已知钢材的抗剪许用应力[τ]=100Mpa。试按剪应力校核梁的强度，绘出沿着工字钢腹板高度的剪应力分布图，并计算腹板所担负的剪力FQ1。三、梁的弯曲应力解：（1）按剪应力的强度校核。截面上的剪力FQ=26.2kN。由附录查得18号工字钢截面的几个主要尺寸Iz=1660×104mm4,mmSIzz154腹板上的最大剪应力MPaMPamNdSIFzzQ1002.26)/(102.26)105.6)(10154(102.26)(26333max三、梁的弯曲应力腹板上的最小剪应力为MPamNbISFZZQ2.21/102.21261min（3）腹板所担负剪力的计算)/(10389010)2.212.26()106.158(32)106.158)(102.21(363361mNAkNNbAFQ3.25)(103.253111可见，腹板所担岁的剪力占整个截面剪力FQ的96.6%。三、梁的弯曲应力3.5提高梁强度的措施在横力弯曲中，控制梁强度的主要因素是梁的最大正应力，梁的正应力强度条件WMmaxmax（1）合理安排梁的受力情况三、梁的弯曲应力（2）选用合理的截面形状矩形截面比圆形截面好，工字形截面比矩形截面好得多三、梁的弯曲应力（3）采用变截面梁三、梁的弯曲应力3.6应力状态与强度理论(选讲）（1）应力状态的概念一点的应力状态是研究通过受力构件内任一点的各个不同截面上的应力情况。应力状态分为空间应力状态和平面应力状态。全部应力位于同一平面内时，称为平面应力状态；全部应力不在同一平面内，在空间分布，称为空间应力状态。应力状态分类：三、梁的弯曲应力在三对相互垂直的相对面上剪应力等于零，而只有正应力。这样的单元体称为主单元体，这样的单元体面称主平面。主平面上的正应力称主应力。通常按数值排列，用字母σ1、σ2和σ3分别表示。主应力、主平面：应力状态按主应力分类：（1）单向应力状态。在三个相对面上三个主应力中只有一个主应力不等于零。（2）双向应力状态。在三个相对面上三个主应力中有两个主应力不等于零。三、梁的弯曲应力（3）三向应力状态。其三个主应力都不等于零。例如列车车轮与钢轨接触处附近的材料就是处在三向应力状态下.（2）强度理论A、最大拉应力理论（第一强度理论）：理论认为最大拉应力是引起断裂的主要因素。最大拉应力σ1达到该材料在简单拉伸时最大拉应力的危险值材料引起断裂。其强度条件为：σ1≤[σ]理论理论能很好的解释石料或混凝土等脆性材料