3.2_函数模型及其应用教案

1/6§3.2函数模型及其应用1．几类不同增长的函数模型及其增长差异分别作出函数y=2x，y=log2x，y=x2在第一象限的图象如图．函数y=log2x刚开始增长得最快，随后增长的速度越来越慢；函数y=2x刚开始增长得较慢，随后增长的速度越来越快；函数y=x2增长的速度也是越来越快，但越来越不如y=2x增长得快．函数y=2x和y=x2的图象有两个交点(2,4)和(4,16)．在x∈(2,4)时，log2x2xx2，在x∈(0,2)∪(4，+∞)时，log2xx22x，所以当x4时，log2xx22x.一般地，在区间(0，+∞)上，尽管函数y=ax(a1)，y=logax(a1)和y=xn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y=ax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=xn(n0)的增长速度，而y=logax(a1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x0，使当xx0时，就有logaxxnax.这一结论充分体现了指数函数的爆炸式增长．[例]下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是()A．y＝1，x∈ZB．y＝xC．y＝2xD．y＝ex解析指数函数模型增长速度最快，并且e2，因而y＝ex增长速度最快．答案D2．几类常见的函数模型(1)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)；(2)反比例函数模型：f(x)＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)；(3)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)；注意：二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型，在高考的应用题考查中最为常见．(4)指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a、b、c为常数，a≠0，b0，b≠1)；(5)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m、n、a为常数，a0，a≠1)；说明：随着新课标的实施，指数、对数函数模型将会起到越来越重要的作用，在高考的舞台上将会扮演愈来愈重要的角色．(6)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a、b、n为常数，a≠0，n≠1)；(7)分段函数模型：这个模型实际是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛．3．通过收集数据直接去解决问题的一般过程如下：(1)收集数据；(2)根据收集到的数据在平面直角坐标系内描点；(3)根据点的分布特征，选择一个能刻画其特征的函数模型；(4)选择其中的几组数据求出函数模型；(5)将已知数据代入所求出的函数模型进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则重复步骤(3)(4)(5)；若符合实际，则进入下一步；2/6(6)用求得的函数模型去解决实际问题．题型一一次函数模型的应用一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买进多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能获得的利润．解本题所给条件较多，数量关系比较复杂，可以列表分析．设每天从报社买进x(250≤x≤400，x∈N)份报纸.数量(份)价格(元)金额(元)买进30x0.206x卖出20x＋10×2500.306x＋750退回10(x－250)0.080.8x－200设每天从报社买进x份报纸时，每月所获利润为y元，则y＝[(6x＋750)＋(0.8x－200)]－6x＝0.8x＋550(250≤x≤400，x∈N)．∵y＝0.8x＋550在[250,400]上是增函数，∴当x＝400时，y取得最大值870.即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为870元．点评一次函数模型层次性不高，求解也较为容易，一般我们可以用“问什么，设什么，列什么”这一方法来处理．题型二二次函数模型的应用渔场中鱼群的最大养殖量为m(m0)，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x小于m，以便留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k(k0)．(1)写出y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域；(2)求鱼群年增长量的最大值；(3)当鱼群年增长量达到最大时，求k的取值范围．解(1)根据题意知空闲率是m－xm，得y＝kx·m－xm(0xm)．(2)∵y＝kx·m－xm＝－kmx2＋kx＝－kmx－m22＋mk4，∴当x＝m2时，ymax＝mk4.(3)根据实际意义：实际养殖量x与年增长量y的和小于最大养殖量m，即0x＋ym，∴0m2＋mk4m，解之得：－2k2.∵k0，∴0k2.点评解题的关键在于对“空闲率”的理解，正确理解题意，养成良好的阅读习惯是成功的一半．而二次函数模型常涉及顶点坐标、函数的单调性、区间最值等问题，学会二次函数的配方是比较有效的解题手段．题型三分段函数模型的应用3/6某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在图中的两条线段上．该股票在30天内(包括30天)的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示：第t天4101622Q(万股)36302418(1)根据提供的图象，写出该种股票每股的交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式；(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式；(3)用y(万元)表示该股票日交易额，写出y关于t的函数关系式，并求出这30天中第几天日交易额最大，最大值为多少？解(1)设表示前20天每股的交易价格P(元)与时间t(天)的一次函数关系式为P＝k1t＋m，由图象得2＝k1×0＋m6＝k1×20＋m，解得k1＝15m＝2，即P＝15t＋2；设表示第20天至第30天每股的交易价格P(元)与时间t(天)的一次函数关系式为P＝k2t＋n，由图象得6＝k2×20＋n5＝k2×30＋n，解得k2＝－110n＝8，即P＝－110t＋8.综上知P＝15t＋2，0≤t20－110t＋8，20≤t≤30(t∈N)．(2)由表知，日交易量Q与时间t满足一次函数关系式，设Q＝at＋b(a、b为常数)，将(4,36)与(10,30)的坐标代入，得4a＋b＝3610a＋b＝30，解得a＝－1b＝40.所以日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式为Q＝40－t(0≤t≤30且t∈N)．(3)由(1)(2)可得y＝15t＋2×(40－t)，0≤t20－110t＋8×(40－t)，20≤t≤30(t∈N)．即y＝－15t2＋6t＋80，0≤t20110t2－12t＋320，20≤t≤30(t∈N)．4/6当0≤t20时，函数y＝－15t2＋6t＋80的图象的对称轴为直线t＝15，∴当t＝15时，ymax＝125；当20≤t≤30时，函数y＝110t2－12t＋320的图象的对称轴为直线t＝60，∴该函数在[20,30]上单调递减，即当t＝20时，ymax＝120.而125120，∴第15天日交易额最大，最大值为125万元．点评分段函数及其应用问题是当前最热的函数类型，这是由分段函数的特点决定的．由于分段函数兼具多种初等函数的性质，因此可以将多种函数的性质考查到，这在要求能力的高考命题中无疑是重要的命题素材．题型四、指数函数模型例4某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)分析每次过滤杂质含量降为原来的23，过滤n次后杂质含量为2100·23n，结合按市场要求杂质含量不能超过0.1%，即可建立数学模型．解依题意，得2100·23n≤11000，即23n≤120.则n(lg2－lg3)≤－(1＋lg2)，故n≥1＋lg2lg3－lg2≈7.4，考虑到n∈N，即至少要过滤8次才能达到市场要求．点评一般地，形如y＝ax(a0且a≠1)的函数叫做指数函数，而在生产、生活实际中，以函数y＝b·ax＋k作为模型的应用问题很常见，称这类函数为指数函数模型．以指数函数、对数函数为模型的实际应用问题通常与增长率、衰减率有关，在现实生活和科学技术领域，诸如人口普查中的人口增长、细胞分裂次数的推算、考古中根据碳－14的衰减推算年代以及药物在人体内残留时间的推算等问题都属于这一模型．变式迁移22004年全国人口普查时，我国人口数为13亿，如果从2004年开始按1%的人口年增长率来控制人口增长，那么，大约经过多少年我国人口数达到18亿？解设大约经过n年，我国人口由2004年的13亿增加到18亿，则13×(1＋1%)n＝18.∴1.01n＝1813，即n＝log1.011813＝lg1813lg1.01＝lg18－lg13lg1.01≈1.2553－1.11390.0043＝32.8837≈33(年)即从2004年开始，大约经过33年，我国人口总数可达18亿．题型五、对数函数模型的应用例5燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2Q10，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？分析由题目可获取以下主要信息：①已知飞行速度是耗氧量的函数；5/6②第(1)问知v，求Q；第(2)问知Q，求v.解答本题的关键是给变量赋值．解(1)由题知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入题给公式可得：0＝5log2Q10，解得Q＝10.即燕子静止时的耗氧量是10个单位．(2)将耗氧量Q＝80代入题给公式得：v＝5log28010＝5log28＝15(m/s)．即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15m/s.点评直接以对数函数为模型的应用问题不是很多．此类问题一般是先给出对数函数模型，利用对数运算性质求解．变式迁移3在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v(m/s)和燃料的质量M(kg)、火箭(除燃料外)的质量m(kg)的关系v＝2000ln1＋Mm.当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可达12km/s?解由12000＝2000ln1＋Mm，即6＝ln1＋Mm，1＋Mm＝e6，利用计算器算得Mm≈402.即当燃料质量约是火箭质量的402倍时，火箭的最大速度可达12km/s.1．根据实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确的函数模型．同时，要注意利用函数图象的直观性，来确定适合题意的函数模型．2．常见的函数模型及增长特点(1)直线y＝kx＋b(k0)模型，其增长特点是直线上升；(2)对数y＝logax(a1)模型，其增长缓慢；(3)指数y＝ax(a1)模型，其增长迅速．题型六函数建模例6个体经营者把开始六个月试销A、B两种商品的逐月投资与所获利润列成下表：投资A种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.651.391.8521.841.40投资B种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.250.490.7611.261.51该经营者准备下个月投入12万元经营这两种商品，但不知投入A、B两种商品各多少才最合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下个月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)．解以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在直角坐标系中描点如图．据此，可考虑用下列函数分别描述上述两组数据之间的对应关系．6/6y=-a(x-4)2+2(a0)①y＝bx②把x＝1，y＝0.65代入①式，得0．65＝－a(1－4)2＋2，解得a＝0.15.故前六个月所获纯利润关于月投资A种