2012年上半年线性代数练习题

12012年上半年线性代数复习题一、填空题1、若1234567800030045x，则x。2、设矩阵Aabcd，其中0adbc，则1A。3、设123A，321BT，则AB；BA。4、设为n阶方阵A的一个特征值，则22AA+E的一个特征值为。（其中E为n阶单位矩阵）5、设123123,114,203αααTTT，则它们线性。6、设123123,435,246αααTTT，则它们线性。7、设矩阵310211211344A，则矩阵A的秩Ar。8、设A为n阶方阵，且Aa，则2A；2A。9、设12000000Anaaa，其中0,1,2,,iain，则1A。10、已知三阶方阵A的特征值为1,3,2，则AE的特征值为；*A的特征值为；2*AE的特征值为。11、设向量组1230,0,0αααTTTacbcab线性无关，则,,abc满足。12、二次型2221231231223,,36742fxxxxxxxxxx的矩阵是。13、当a时，向量组1231,1,1αααaaaaaa线性相关。214、已知矩阵11020421Ax的特征值为1,3,2，则x。15、已知0是矩阵10102010Aa的一个特征值，则a。16、设行列式304222,532D其第3行各元素的代数余子式之和为__________.17、设方程组123123123000xxxxxxxxx有非零解，且数0,则__________.18、设3阶方阵A的秩为2，且250,AA则A的全部特征值为__________.19、设矩阵21100413aA有一个特征值2,对应的特征向量为12,2x则数a=__________.20、设A是m×n矩阵，r(A)=r,则Ax=0的基础解系中含解向量的个数为__________．二、计算题1、设矩阵422202111A，（1）求A的特征值和特征向量；（2）判断A能否相似对角化，若可以，写出可逆矩阵P及对角矩阵Λ，使得1PAPΛ。2、设矩阵111242335A，（1）求A的特征值和特征向量；（2）判断A能否相似对角化，若可以，写出可逆矩阵P及对角矩阵Λ，使得1PAPΛ。33、设3元线性方程组1231231232124551xxxxxxxxx,（1）确定当λ取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解？（2）当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）.4、问a为何值时，线性方程组63222243232132321xxxaxxxxx有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）。5、设向量组：12(1,0,1,0)(2,1,1,2)TT，，3(1,1,0,2)T，4(1,1,1,1)T，5(1,1,0,0)T.求向量组的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示,6、设向量组1234(3,1,2,0),(0,7,1,3),(1,2,0,1),(6,9,4,3),求其一个极大线性无关组，并将其余向量通过极大线性无关组表示出来．7、用配方法化二次型2221231121323(,,)222fxxxxxxxxxx为标准型，写出所用的线性变换矩阵8、.计算行列式bacccbcabbaacba2222229、计算4阶行列式D=1234234134124123.10、求解矩阵方程100152131X=31524111、.计算5阶行列式D=20001002000002010002412、已知矩阵A=100210321，B=315241.（1）求A-1；（2）解矩阵方程AX=B。13、.用配方法求二次型3231232221321424),,(xxxxxxxxxxf的标准形，并写出相应的线性变换。三、证明题1、已知1，2，3线性无关，证明：21，3223，3212线性无关。2、设12,3,线性无关，试证明122331,,线性相关。3、设n阶方阵A满足23AAE=O，证明AE可逆，并求1AE。4、设方阵A满足27AAE=O，证明方阵,3,2AAEAE均可逆并求其逆。5、若α1，α2，α3是Ax=b(b≠0)的线性无关解，证明α2-αl，α3-αl是对应齐次线性方程组Ax=0的线性无关解.