(第四章)大数定率与中心极限定理习题

第四章大数定律及中心极限定理导学——极限论在概率研究中的应用本章是承前启后的一章：明晰了“频率与概率的关系”，这是一个遗留问题。并将《概率论》部分划上了一个句号，这是承前；说它启后，有定理设定：,21,,,nXXX独立同分布，这一设定在《数理统计》部分一直沿用了下去。全章由四节组成，§1节特征函数，§2节大数定律，讲了三个定理，§3节随机变量序列的两种收敛性，§4节中心极限定理。三个定理。“大数”及“极限”均要求n，在实际问题中，n充分大即可。§2节主要研究对象为：算术平均值nXXnX11；§4节的主要研究对象为：nniiXXX11，比nX1少了。§2节的学习，不妨先从复习入手。第二、三章已熟悉了DE及,先推算出21)(,)(nXDXE这是核心推导之一，后面学《数理统计》会反复使用，再由契比雪夫不等式及夹逼原理，可推出定理一，其中NXD2)(中的n1很宝贵。定理二是由定理一推得的，关键点为：nAXXXn21及XXnnnniiA11，于是可用定理一了。推导本身是一件很愉快的事。§2节的三个定理可在比对中学习。定理一（契）不要求,21,,,nXXX一定为同分布，（贝）是由定理一（契）的特例。定理二（马）不要求,21,,,nXXX独立或同分布。定理三（辛）不要求)(XD一定存在，“契”“马”与“辛”的结论均为：PX,即算术平均值依概率收敛于数学期望。“贝”的结论为：pnnPA，即频率依概率收敛于概率。这个结论很精致，十分简单了。我的努力求学没有得到别的好处，只不过是愈来愈发觉自己的无知。——笛卡儿翻开§4节，一堆一堆的符号映入眼中，让人头大。其实，若标准化方法娴熟，这一节并不难。)(~)(111xFXDXEXYnniiniiniinxtnndtexF2221)(lim上面这些，可概括为：n充分大时，)1,0(~)(1NXnii近似。1()niiX是1niiX的标准化，有：nnXXDXEXXniiniiniiniinii~)()(11111棣莫佛—拉普拉斯定理改写为：若),(~pnbn，则当n充分大时，)1,0(~Nn近似。由得定义有：)1()()(pnpnpDEnnnnn有件事发人深思：),(),(~pnbbaUXi或，但当n充分大后，)1,0(~)(1NXnii近似，即正态近似~1niiX。这表明，当n充分大后，单个的iX是什么，已不重要，而它们的“合力”niiX1所演绎的是：正态分布。在《数理统计》部分，正态分布是绝对的主角。一填空题1.设随机变量X服从几何分布：1()(1),1,2,kPXkppk，则X的特征函数为。2.随机变量X服从帕斯卡分布：1()1,,1,1krrkPXkppkrrr，则X的特征函数为。3.设2~(,)XN，则X的3阶中心矩为，4阶中心矩为。4.有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m，现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m的概率为。5.某电子计算机有100个终端，每个终端有80%的时间被使用。若各个终端是否被使用是相互独立的，则至少有15个终端空闲的概率为。6.掷一颗骰子100次，记第i次掷出的点数为,1,2,,100iXi，点数之平均为10011100iiXX，则概率(34)PX=。7.汽车销售点每天出售的汽车数服从参数为2的泊松分布。若一年365天都经营汽车销售，且每天出售的汽车数是相互独立的。则一年中售出700辆以上汽车的概率为。8．一仪器同时收到50个信号,1,2,,50.iUi设它们相互独立，且都服从（0，1）内的均匀分布，则501300iiPU=。二计算题1.据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，先随机地取36只，设它们的寿命是相互独立的。求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率。2．一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望为2mm，均方差为0.05mm，规定总长度为（200.1）mm时产品合格，试求产品合格的概率。3.计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数。设所有舍入误差是独立的且在（-0.5，0.5）上服从均与分布。（1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？（2）最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90？4.设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg，问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少？5.某单位设置一电话总机，共有200架电话分机。设每个电话分机是否使用外线通话是相互独立的。设每时刻每个分机有5%的概率要使用外线通话。问总机需要多少外线才能以不低于90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用？6.一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1（元）、1.2（元）、1.5（元）各个值的概率分别为0.3、0.2、0.5.某天售出300只蛋糕。（1）求这天的收入至少400（元）的概率；（2）求这天售出价格为1.2（元）的蛋糕多于60只得概率。7.(1)一复杂的系统由100个相互独立起作业的部件所组成。在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.10.为了使整个系统起作用，至少必须有85个部件正常工作，求整个系统起作用的概率。（2）一复杂的系统由n个相互独立起作用的部件所组成，每个部件的可靠性（即部件正常工作地概率）为0.90.且必须至少有80%的部件工作才能使整个系统工作，问n至少为多大才能使系统的可靠性不低于0.95。8.某药厂断言，该厂生产地某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8。医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。（1）若实际上次药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？（2）若实际上次药品对这种疾病的治愈率为0.7，问接受这一断言的概率是多少?9.随机地选取两组学生，每组80人，分别在两个实验室里测量某种化合物的pH值。各人测量的结果是随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望为5，方差为0.3，以YX,分别表示第一组和第二组所得结果的算术平均。（1）求}1.59.4{XP；（2）求}1.01.0{YXP。10.某种电子器件的寿命（小时）具有数学期望（未知），方差4002。为了估计，随机地取n只这种器件，在时刻t=0投入测试（设测试是相互独立的）直到失效，测得其寿命为nkknXnXXXX1,211,...,,以作为的估计。为了使95.01XP，问n至少为多少？11.一家有500间客房的大旅馆的每间客房装有一台2kw的空调机。若开房率为80%，需要多少kw的电力才能有99%的可能性保证足够的电力使用空调机。12.某工厂每月生产10000台液晶投影机，但它的液晶片车间生产合格品率为80%。为了以99.7%的可能性保证出厂的台液晶投影机都能装上合格的液晶片，试问该液晶片车间每月至少应该生产多少片液晶片？13.某产品的合格品率为99%。问包装箱中应该装多少此种产品，才能有95%的可能性使每箱中至少有100个合格产品。14.为确定某城市成年男子中吸烟者的比例p，任意调查n个成年男子，记其中的吸烟人数为m。问n至少为多大才能保证/mn与p的差异小于0.01的概率大于95%。15.设X1,X2,…,X99相互独立,且服从不同的0--1分布11,100iiiPXp试求99160iiXP。三证明题1.试用特征函数的工具证明：（1）二项分布的可加性；（2）泊松分布的可加性；（3）正态分布的可加性；（4）伽玛分布的可加性。2.设iX独立同分布，且~(),1,2,,iXExpin。试用特征函数法证明：1~(,)nniiYXGan。3.设为独立随机变量序列,且112(0)1,(),(0)1,2,3,.nnPXPXnPXnnn证明{Xn}服从大数定律。4.在贝努利试验中，事件A出现的概率为p，令1,10,nnnAX若在第次及第次试验中出现；其他。证明{Xn}服从大数定律。5.设{Xn}为独立同分布的随机变量序列,4nEX。若令2(),()nnEXVarX，2,1,2,nnYXn，则{Yn}服从大数定律.6.设{Xn}为一同分布、方差存在的随机变量序列,且Xn仅与Xn-1和Xn+1相关,而与其他的Xi不相关.则{Xn}服从大数定律.7.设{Xn}是方差一致有界的随机变量序列，且当kl时，一致地有(,)0klCovXX，证明{Xn}服从大数定律。8.设随机变量nX服从柯西分布，其密度函数为22(),.(1)nnpxxnx试证：0PnX。9.设{Xn}为独立同分布的随机变量序列,其共同的密度函数为1/,0;()0,xpx其他,其中常数0。令12max,,,nnYXXX，试证：PnY。10.设{Xn}为独立同分布的随机变量序列,其共同的密度函数为(),;()0,xaexpx其他,令12min,,,nnYXXX，试证：PnY。11.设分布函数列()nFx弱收敛于分布函数()Fx，且()nFx和()Fx均是连续、严格单调函数，又设~(0,1)U，试证：11()()PnFxFx。12.设随机变量序列{Xn}独立同分布，数学期望、方差存在,且2()0,()nnEXVarX。试证：2211nPiiXn。13.设随机变量序列{Xn}独立同分布，且2()nVarX存在，令221111,.nniniiiXXSXXnn试证：22PnS。14.设随机变量~(,)XGa，证明：当时，随机变量()/X依分布收敛于标准正态分布。