抛物线测试题(含答案)

第1页共4页抛物线测试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．抛物线22xy的焦点坐标是（）A．)0,1(B．)0,41(C．)81,0(D．)41,0(2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点)3,(mP到焦点的距离为5，则抛物线方程为（）A．yx82B．yx42C．yx42D．yx823．抛物线xy122截直线12xy所得弦长等于（）A．15B．152C．215D．154．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是（）A.yx292或xy342B.xy292或yx342C.yx342D.xy2925．点)0,1(P到曲线tytx22（其中参数Rt）上的点的最短距离为（）A．0B．1C．2D．26．抛物线)0(22ppxy上有),,(),,(2211yxByxA),(33yxC三点，F是它的焦点，若CFBFAF,,成等差数列，则（）A．321,,xxx成等差数列B．231,,xxx成等差数列C．321,,yyy成等差数列D．231,,yyy成等差数列7．若点A的坐标为（3，2），F为抛物线xy22的焦点，点P是抛物线上的一动点，则PBPA取得最小值时点P的坐标是（）A．（0，0）B．（1，1）C．（2，2）D．)1,21(8．已知抛物线)0(22ppxy的焦点弦AB的两端点为),(),,(2211yxByxA,则关系式2121xxyy的值一定等于（）A．4B．－4C．p2D．－p9．过抛物线)0(2aaxy的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别是qp,，则qp11=（）A．a2B．a21C．a4D．a410．若AB为抛物线y2=2px(p0)的动弦，且|AB|=a(a2p)，则AB的中点M到y轴的最近距离是（）A．2aB．2pC．2paD．2pa二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）第2页共4页11、抛物线xy2上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为______________．12、直线xy10截抛物线yx28，所截得的弦中点的坐标是13、抛物线ypxp220()上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则此抛物线焦点与准线的距离为14、设F为抛物线24yx的焦点，ABC，，为该抛物线上三点，若FAFBFC0，则FAFBFC15、对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件；（1）焦点在y轴上；（2）焦点在x轴上；（3）抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；（4）抛物线的通径的长为5；（5）由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）．其中适合抛物线y2=10x的条件是(要求填写合适条件的序号）______．三、解答题16．（12分）已知点A（2，8），B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线pxy22上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）（1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；（2）求线段BC中点M的坐标；（3）求BC所在直线的方程.17．（12分）已知抛物线12axy上恒有关于直线0yx对称的相异两点，求a的取值范围.第3页共4页18．（12分）抛物线x2=4y的焦点为F，过点(0，－1)作直线L交抛物线A、B两点，再以AF、BF为邻边作平行四边形FARB，试求动点R的轨迹方程.19、（12分）已知抛物线C的方程C：)0(22ppxy过点A（1，-2）.（I）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于55？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.第4页共4页20．（13分）已知抛物线y2=4ax(0＜a＜1＝的焦点为F，以A(a+4,0)为圆心，｜AF｜为半径在x轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M和N，设P为线段MN的中点．（1）求｜MF｜+｜NF｜的值；（2）是否存在这样的a值，使｜MF｜、｜PF｜、｜NF｜成等差数列?如存在，求出a的值，若不存在，说明理由.21．（14分）如图,直线y=21x与抛物线y=81x2－4交于A、B两点,线段AB的垂直平分线与直线y=－5交于Q点.（1）求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含A、B）的动点时,求ΔOPQ面积的最大值.第5页共4页参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号12345678910答案CDABBACBCD二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．)42,81(12．13．15．（2），（5）三、解答题（本大题共6题，共76分）15．（12分）[解析]：（1）由点A（2，8）在抛物线pxy22上，有2282p，解得p=16.所以抛物线方程为xy322，焦点F的坐标为（8，0）.（2）如图，由于F（8，0）是△ABC的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的定比分点，且2FMAF，设点M的坐标为),(00yx，则02128,8212200yx，解得4,1100yx，所以点M的坐标为（11，－4）．（3）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴.设BC所在直线的方程为：).0)(11(4kxky由xyxky32),11(42消x得0)411(32322kyky，所以kyy3221，由（2）的结论得4221yy，解得.4k因此BC所在直线的方程为：.0404yx16．（12分）[解析]：设在抛物线y=ax2－1上关于直线x+y=0对称的相异两点为P(x,y),Q(－y,－x)，则1122ayxaxy②①，由①－②得x+y=a(x+y)(x－y),∵P、Q为相异两点，∴x+y≠0，又a≠0，∴a1y,1xayx即，代入②得a2x2－ax－a+1=0，其判别式△=a2－4a2(1－a)＞0，解得43a．17．（12分）[解析]：设R(x,y),∵F(0,1),∴平行四边形FARB的中心为)21,2(yxC，L:y=kx－1,代入抛物线方程得x2－4kx+4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=4，且△=16k2－16＞0，即|k|＞1①，第6页共4页2442)(4221221222121kxxxxxxyy，∵C为AB的中点.∴1222122222222kyyykxxx3442kykx，消去k得x2=4(y+3),由①得，4x，故动点R的轨迹方程为x2=4(y+3)(4x)．18．19．（14分）[解析]：（1）F（a,0）,设),(),,(),,(002211yxPyxNyxM，由16)4(4222yaxaxy0)8()4(222aaxax，)4(2,021axx，8)()(21axaxNFMF（2）假设存在a值，使的NFPFMF,,成等差数列，即42PFNFMFPFax4042)2(41616)24(16)(212221221202202022020yyyyyyyaayyayax212121212)(444244xxaxxaaxaxaxax=aaaaa82)4(22aaaaa82)4(222416aa1a100000202121ayxxxx矛盾.∴假设不成立．即不存在a值，使的NFPFMF,,成等差数列．或解:4PFax4040ax知点P在抛物线上.矛盾.20．（14分）【解】(1)解方程组481212xyxy得2411yx或4822yx即A(－4,－2),B(8,4),从而AB的中点为M(2,1).由kAB==21,直线AB的垂直平分线方程第7页共4页y－1=21(x－2).令y=－5,得x=5,∴Q(5,－5)．(2)直线OQ的方程为x+y=0,设P(x,81x2－4).∵点P到直线OQ的距离d=24812xx=3282812xx,25OQ,∴SΔOPQ=21dOQ=3281652xx.∵P为抛物线上位于线段AB下方的点,且P不在直线OQ上,∴－4≤x43－4或43－4x≤8.∵函数y=x2+8x－32在区间[－4,8]上单调递增,∴当x=8时,ΔOPQ的面积取到最大值30．