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菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标(理科)第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式考纲传真1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式,和二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.4.会利用两角和(差)、二倍角公式进行简单的三角恒等变换.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标(理科)1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)=;(2)cos(α±β)=;(3)tan(α±β)=.sinαcosβ±cosαsinβcosαcosβ∓sinαsinβtanα±tanβ1∓tanαtanβ菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标(理科)2.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α=;(2)cos2α=cos2α-sin2α==;(3)tan2α=.2sinαosα2cos2α-11-2sin2α2tanα1-tan2α菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标(理科)3.有关公式的变形、逆用(1)公式T(α±β)的变形:①tanα+tanβ=;②tanα-tanβ=.(2)公式C2α的变形:①sin2α=;②cos2α=.(3)公式的逆用①1±sin2α=(sinα±cosα)2;②sinα±cosα=2sinα±π4.tan(α+β)(1-tanαtanβ)tan(α-β)(1+tanαtanβ)12(1-cos2α)12(1+cos2α)菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标(理科)1.(固基升华)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立()(2)在锐角△ABC中,sinAsinB和cosAcosB大小不确定()(3)公式tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ可以变形为tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),且对任意角α,β都成立()菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标(理科)(4)公式asinx+bcosx=a2+b2sin(x+φ)中φ的取值与a,b的值无关()【解析】显然(1)正确,(3)错误α=π2不成立.对于(2),cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B)0,∴cosAcosBsinAsinB,则(2)不正确.在(4)中,φ的正切与ba有关,φ所在象限内a,b的符号确定,(4)错.【答案】(1)√(2)×(3)×(4)×菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标(理科)2.(人教A版教材习题改编)sin34°sin26°-cos34°cos26°的值是()A.12B.32C.-12D.-32【解析】sin34°sin26°-cos34°cos26°=-(cos34°cos26°-sin34°sin26°)=-cos60°=-12.【答案】C菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标(理科)3.(2013·课标全国卷Ⅱ)已知sin2α=23,是cos2α+π4=()A.16B.13C.12D.23【解析】∵sin2α=23,∴cos2α+π4=1+cos2α+π22=1-sin2α2=1-232=16.【答案】A菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标(理科)4.(2014·南昌质检)若sinα+cosαsinα-cosα=12,则tan2α=()A.-34B.34C.-43D.43【解析】由sinα+cosαsinα-cosα=12,得tanα+1tanα-1=12,解得tanα=-3,则tan2α=2tanα1-tan2α=34.【答案】B菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标(理科)5.(2012·大纲全国卷)当函数y=sinx-3cosx(0≤x2π)取到最大值时,x=________.【解析】∵y=sinx-3cosx(0≤x2π),∴y=2sin(x-π3)(0≤x2π).由0≤x2π知,-π3≤x-π35π3,∴当y取得最大值时,x-π3=π2,∴x=56π.【答案】56π菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标(理科)考向1三角函数式的化简【例1】化简:(1)(2013·重庆高考改编)4cos50°-tan40°;(2)1+sinθ+cosθsinθ2-cosθ22+2cosθ(0<θ<π).【思路点拨】(1)切化弦,逆用两角和的正弦公式;(2)统一为θ2的三角函数,变形化简.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标(理科)【尝试解答】(1)4cos50°-tan40°=4sin40°-sin40°cos40°=4sin40°cos40°-sin40°cos40°=2sin80°-sin40°cos40°=sin80°+sin60°+20°-sin60°-20°cos40°=sin80°+2cos60°sin20°cos40°=sin80°+sin20°cos40°=sin50°+30°+sin50°-30°cos40°=2sin50°cos30°cos40°=3·cos40°cos40°=3.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标(理科)(2)由θ∈(0,π),得0<θ2<π2,∴cosθ2>0.因此2+2cosθ=4cos2θ2=2cosθ2.又(1+sinθ+cosθ)(sinθ2-cosθ2)=(2sinθ2cosθ2+2cos2θ2)(sinθ2-cosθ2)=2cosθ2(sin2θ2-cos2θ2)=-2cosθ2cosθ.故原式=-2cosθ2cosθ2cosθ2=-cosθ.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标(理科)规律方法11.注意到第(2)题中有开方运算,联想二倍角公式的特征进行升幂,化为完全平方式.2.三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式.(2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”.(3)三看“结构特征”,分析结构特征,找到变形的方向.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标(理科)变式训练1化简:2+2cos8+21-sin8;【解】2+2cos8+21-sin8=21+cos8+21-2sin4cos4=2×2cos24+2sin4-cos42=-2cos4+2(cos4-sin4)=-2sin4.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标(理科)考向2三角函数的求值问题【例2】(2013·广东高考)已知函数f(x)=2cosx-π12,x∈R.(1)求f-π6的值;(2)若cosθ=35,θ∈3π2,2π,求f2θ+π3.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标(理科)【思路点拨】(1)把x=-π6代入函数解析式,借助特殊角的三角函数值和诱导公式求f-π6.(2)由cosθ求出sinθ,利用两角和的余弦公式和二倍角公式求f2θ+π3.【尝试解答】(1)因为f(x)=2cosx-π12,所以f-π6=2cos-π6-π12=2cos-π4=2cosπ4=2×22=1.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标(理科)(2)因为θ∈3π2,2π,cosθ=35,所以sinθ=-1-cos2θ=-1-352=-45,cos2θ=2cos2θ-1=2×352-1=-725,sin2θ=2sinθcosθ=2×35×-45=-2425.所以f2θ+π3=2cos2θ+π3-π12=2cos2θ+π4=2×22cos2θ-22sin2θ=cos2θ-sin2θ=-725--2425=1725.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标(理科)规律方法2给值求值问题,解决的关键是把所求角用已知角表示.(1)当已知角有两个时,所求角一般表示为两个已知角的和或差的形式.(2)当已知角有一个时,此时应着眼于所求角与已知角的和或差的关系,然后应用诱导公式把所求角变成已知角.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标(理科)变式训练2已知函数f(x)=Acos(x4+π6),x∈R,且fπ3=2.(1)求A的值;(2)设α,β∈0,π2,f4α+43π=-3017,f4β-23π=85,求cos(α+β)的值.【解】(1)∵f(x)=A·cosx4+π6,且fπ3=2,∴Acosπ12+π6=Acosπ4=2,则A=2.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标(理科)(2)由(1)知f(x)=2cos(x4+π6).解得sinα=1517,且cosβ=45.∵α,β∈0,π2,∴cosα=1-sin2α=817,sinβ=1-cos2β=35.∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=817×45-1517×35=-1385.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标(理科)考向3三角函数的给值求角【例3】已知0<α<π2<β<π,tanα2=12,cos(β-α)=210.(1)求sinα的值;(2)求β的值.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标(理科)【尝试解答】(1)由tanα2=12,得tanα=2tanα21-tan2α2=43,∴cosα=34sinα,①又sin2α+cos2α=1,②由①、②联立,得25sin2α=16,∵0<α<π2,∴sinα=45.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标(理科)(2)由(1)知,cosα=35,sinα=45,又0<α<π2<β<π,∴0<β-α<π.由cos(β-α)=210,得0<β-α<π2.∴sin(β-α)=9810=7210,∴sinβ=sin[(β-α)+α]=sin(β-α)cosα+cos(β-α)·sinα=7210×35+210×45=25250=22.由π2<β<π得β=34π.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标(理科)规律方法31.“给值求角”的求解思路:(1)求角的某一三角函数值,(2)讨论角的范围(第(2)问易忽视角的范围致误),确定角的大小.其中求角的某一三角函数值时,应选择在该范围内是单调函数,若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的
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