福建省2013届新课标高考文科数学一轮总复习课件：第42讲 不等式的综合应用

培养不等式在数列、函数、方程中的应用及利用不等式解决实际问题的能力．1()()2数学识点联紧①运数问题单调②运问题③运关问题圆内圆数学关识点转为问题转径①义②别③应变④应数单调⑤应．不等式与各知系密，主要有：用不等式研究函性、最值等；用不等式研究方程解的；用不等式研究几何系如相切、相交、相离，、外．．有知化不等式，其化的途有：利用几何意；利用判式；用量的有界性；用函的性；用均值不等式．3()()应题创设个实际应数学关识来决问题题①读题关数图数关间关数来②数学应题数学经题时应题语数学数学语译数应题虽没数学这实际问题联．不等式用，即了一情境，用相知解．在解中要注意：懂目，收集相的据包括形、据、表格；其次，能理解和把握有量之的系，能用代式表示出．确定模型．在有的用中，模型已告知，解利用模型即可；有的用中用自然言告知了模型，用言翻即成或用待定系法确定模型；有的用然有告知模型，但种可以想转为数学问题③关数学问题与化熟悉的．解与不等式有的．1.已知x0是函数f(x)＝2x＋11－x的一个零点，若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则()A．f(x1)0，f(x2)0B．f(x1)0，f(x2)0C．f(x1)0，f(x2)0D．f(x1)0，f(x2)0【解析】易知f(x)＝2x＋11－x在(1，＋∞)上单调递增，且f(x0)＝0，故f(x1)0，f(x2)0.2.已知方程x2－2x＋lg(2a2－a)＝0有一正根与一负根，则a的取值范围是()A．－12＜a＜0B．0＜a＜12C．－12＜a＜0或12＜a＜1D．－12＜a≤0或12≤a＜1【解析】lg2a2－a0⇒2a2－a1⇒－12a12a2－a0⇒a0或a12⇒－12a0或12a1.3.(2011·淮南月考)设0x1，则a＝2x，b＝1＋x，c＝11－x中最大的一个是()A．aB．bC．cD．无法判断【解析】因为0x1，所以1＋x2x＝4x2x，所以只需比较1＋x与11－x的大小．因为1＋x－11－x＝1－x2－11－x＝－x21－x0，所以1＋x11－x.4.(2010·芜湖模拟)把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是()A．23cm2B.3cm2C．22cm2D.2cm2【解析】设两段长分别为xcm，(12－x)cm，则S＝34(x3)2＋34(12－x3)2＝318(x2－12x＋72)＝318[(x－6)2＋36]≥23.5.已知x∈(0，π2)，则M＝3sin2x＋3cos2x的取值范围是()A．[3，33]B．[3，23)C．[23，4]D．[23，4)【解析】M＝3sin2x＋3cos2x≥23，当且仅当x＝π4时取“＝”．故排除A、B，又取x＝0，得M＝1＋3＝4，所以排除D.一不等式与函数综合【例1】(2010·蚌埠模拟)已知函数f(x)＝x＋ax＋b(x≠0)，其中a、b∈R.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若对于任意的a∈[12，2]，不等式f(x)≤10在[14，1]上恒成立，求b的取值范围．【解析】(1)f′(x)＝1－ax2.当a≤0时，显然f′(x)0(x≠0)．这时f(x)在(－∞，0)、(0，＋∞)内是增函数．当a0时，令f′(x)＝0，解得x＝±a.当x变化时，f(x)的变化情况如下表：所以f(x)在(－∞，－a)，(a，＋∞)内是增函数，在(－a，0)、(0，a)内是减函数．(2)由(1)知，f(x)在[14，1]上的最大值为f(14)与f(1)中的较大者，对于任意的a∈[12，2]，不等式f(x)≤10在[14，1]上恒成立．当且仅当f14≤10f1≤10，即b≤394－4ab≤9－a对任意的a∈[12，2]成立，从而得b≤74，综上，b的取值范围是(－∞，74]．【点评】解这类题的关键是审清题意做一定的等价变形，把陌生问题转化为熟悉的问题．已知α∈(π2，π)，则不等式logsinα(1－x2)2的解集是()A．{x|－cosαxcosα}B．{x|xcosα或x－cosα}C．{x|－1x－cosα或cosαx1}D．{x|－1xcosα或－cosαx1}素材1【解析】因为α∈(π2，π)，所以sinα∈(0,1)，cosα∈(－1,0)，logsinα(1－x2)2⇔01－x2sin2α⇔－1x1xcosα或x－cosα⇔－1xcosα或－cosαx1.二不等式与方程综合【例2】试讨论实数a的取值，指出关于x的方程lg(2x)＝2lg(x＋a)何时有两个不同的实数解，有一个实数解，没有实数解．【解析】原方程等价于2x0x＋a02x＝x＋a2，等价于x0x＋a＝2x，即x0a＝－x＋2x，则a＝－(x)2＋2·x(x0)．令t＝x，则t0，则a＝－t2＋2t(t0)，画出函数y＝－t2＋2t的图象(t0)．从图象易知当0a12时，原方程有两个不同的实数解；当a≤0或a＝12时，原方程只有一个实数解；当a12时，原方程无实数解．【点评】重视数形结合的应用，有利用理清思路，做分类讨论时，可防止发生重、漏的现象．已知集合P＝{x|12≤x≤2}，y＝log2(ax2－2x＋2)的定义域为Q.(1)若P∩Q≠∅，求实数a的取值范围；(2)若方程log2(ax2－2x＋2)＝2在[12，2]内有解，求实数a的取值范围．素材2【解析】(1)由已知Q＝{x|ax2－2x＋20}，若P∩Q≠∅，则说明在[12，2]内至少有一个x值，使不等式ax2－2x＋20，即在[12，2]内至少有一个x值，使a2x－2x2成立．令u＝2x－2x2，则只需aumin.又u＝－2(1x－12)2＋12，当x∈[12，2]时，1x∈[12，2]，从而u∈[－4，12]．所以a－4.(2)因为方程log2(ax2－2x＋2)＝2在[12，2]内有解，所以ax2－2x＋2＝4即ax2－2x－2＝0在[12，2]内有解，分离a与x，得a＝2x＋2x2＝2(1x＋12)2－12，因为32≤2(1x＋12)2－12≤12，所以32≤a≤12，即a的取值范围是[32，12]．三不等式的实际应用问题【例3】设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ(λ＜1)，画面的上、下各留8cm的空白，画面的左、右各留5cm的空白．(1)怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画的纸张面积最小？(2)如果要求λ∈[23，34]，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？【解析】(1)设画面高为xcm，宽为λxcm，则λx2＝4840.设所用纸张面积为Scm2，则S＝(x＋16)(λx＋10)＝λx2＋(16λ＋10)x＋160，将x＝2210λ代入上式，得S＝5000＋4410(8λ＋5λ)≥5000＋4410·28λ·5λ＝6760.当且仅当8λ＝5λ，即λ＝58＜1时取等号．所以Smin＝6760cm2，此时x＝88cm，λx＝55cm.故当画面高为88cm，宽为55cm时，能使宣传画所用纸张面积最小．(2)设S(λ)＝5000＋4410(8λ＋5λ)，取23≤λ1＜λ2≤34，则S(λ1)－S(λ2)＝4410(8λ1＋5λ1－8λ2－5λ2)＝4410(λ1－λ2)(8－5λ1λ2)．因为λ1λ2＞23＞58，所以8－5λ1λ2＞0.又λ1－λ2＜0，所以S(λ1)－S(λ2)＜0，即S(λ1)＜S(λ2)．所以函数S(λ)在[23，34]上单调递增．故当λ＝23时，能使宣传画所用纸张面积最小．【点评】用均值不等式求最值时，如果满足“一正、二定、三相等”，则可直接求解；如果不符合条件中的相等，则应先判断函数的单调性后再求解．某地区有四个村庄A、B、C、D恰好坐落在边长为2km的正方形顶点上，为发展经济，政府决定建立一个使得任何两个村庄都有通道的道路网，道路网有一条中心道及四条支道组成，使各农庄到中心道的距离相等，如图所示．若道路网总长度不超过5.5km，试求中心道长的取值范围.素材3【解析】设中心道长为2xkm(0x1)，依题意得2x＋41＋1－x2≤5.5，解得14≤x≤712，所以中心道长的取值范围为[12，76]．【点评】解答本题首先要理解题意并正确列出函数式．备选例题(2011·阜阳模拟)假若你已经参加了工作，为了工作需要，花了10000元买了一台较高档的组装电脑，随着电脑的更新换代及工作的需要，从购买的第二年起，每年用于电脑更新换代的钱以200元的速度逐年递增，该电脑在三年内卖给别人肯定不划算(卖不出好价钱)，而三年后卖给别人最多只能卖2000元，那么你计划该电脑用了几年后报废才划算呢？【解析】设用了n年后报废划算，则这n年中用于电脑更新换代的钱中，第一年0元，第二年200元，第三年400元，…，第n年200(n－1)元，共有200＋400＋…＋200(n－1)＝100n(n－1)元．所以平均每年的费用为(n3)：y＝10000＋100nn－1－2000n＝8000n＋100n－100≥8005－100，当且仅当8000n＝100n，即n＝80时等号成立．而n∈N，且n＝9时，y≈1689元；n＝8时，y＝1700元，故计划用9年报废它最划算．123(参数围问题过识变数结从参数围积问题应题过阅读给寻间内联统关应质属数学结从数学识题问题证．求取值范的是通几何知列出不等式，然后求解不等式或分离量或形合，而得出的取值范．．几何中距离、面等最值，可以用重要不等式求解．．不等式用要通、理解所定的材料，找量与量之的在系，抽象出事物系的主要特征与系，建立起相的能反映其本性的构，而建立起模型，然后利用不等式的知求出中的如解不等式、不等式的明、均值不等式)等．