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第一章常用逻辑用语1．1命题及其关系1.1.1命题(1)理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假．(2)能把命题改写成“若p，则q”的形式．【问题导思】观察下列实例：①4是集合{1,2,3,4}的元素；②若x∈R，方程x2－x＋2＝0无实根；③2013年中国发射了嫦娥三号；④作△ABC∽△A′B′C′.上述语句中，哪些能判断真假？【提示】①，②，③能判断真假，④是祈使句不能判断真假．例1判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由：(1)求证3是无理数．(2)若x∈R，x2＋4x＋4≥0.(3)你是高一的学生吗？(4)并非所有的人都喜欢苹果．(5)若x＋y和xy都是有理数，则x、y都是有理数．(6)60x＋94.题型一命题的判定解(1)是祈使句，不是命题．(2)x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，可以判断真假，是命题，且是真命题．(3)是疑问句，不是命题．(4)是真命题，有的人喜欢苹果，有的人不喜欢苹果．(5)是假命题，如：3＋(－3)和3·(－3)都是有理数，但3和－3都是无理数．(6)不是命题，这种含有未知数的语句，未知数的取值能否使不等式成立，无法确定．小结判断一个语句是否是命题关键看它是否符合两个条件：“是陈述句”和“可以判断真假”，而祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．【变式训练】判断下列语句是否为命题，并说明理由．(1)一条直线l，与平面α不是平行就是相交；(2)若xy＝1，则x，y互为倒数；(3)作平行四边形ABCD.【解】(1)是命题．直线l与平面α有相交、平行、l在平面α内三种关系，为假．(2)是命题．因xy＝1时，x，y互为倒数，为真．(3)不是命题，祈使句不是命题.例2.判断下列语句是否为命题，若是，判断其真假，并说明理由．(1)函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；(2)若x＝4，则2x＋1＜0；(3)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；(4)求证：x∈R时，方程x2－x＋2＝0无实根．题型2命题真假的判定【解析】(1)(2)(3)是命题，(4)不是命题．命题(1)中，y＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos2x，显然其最小正周期为π，为真命题．命题(2)中，当x＝4时，2x＋1＞0，是假命题．命题(3)中，若等比数列的首项a1＜0，公比q＞1时，该数列为递减数列，是假命题．(4)是一个祈使句，没有作出判断，不是命题．【小结】1．真命题的判定方法：真命题的判定过程实际就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑论证的一个过程．判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法．2．假命题的判定方法：通过构造一个反例来否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．例3.把下列命题改写成“如果p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)两个周长相等的三角形面积相等；(2)已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；(3)当m＞1时，x2－2x＋m＝0无实根；(4)当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0.题型3命题的形式及改写例3．把下列命题写成“若p，则q”的形式：(1)acbc⇒ab；(2)已知x、y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；(3)当m14时，mx2－x＋1＝0无实数根；(4)负数的立方是负数．解(1)若acbc，则ab.(2)已知x、y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3且x＝2.(3)若m14，则mx2－x＋1＝0无实数根．(4)若一个数是负数，则这个数的立方是负数．题型3命题的形式及改写【小结】1．解决本例问题的关键是找准命题的条件和结论，进而化成“如果p，则q”的形式．2．对于命题的大前提，应当写在前面，不要写在条件中；对于改写时语句不通顺的情况，要适当补充使语句顺畅．【变式训练】将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)6是12和18的公约数．(2)当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根．(3)负数的立方仍是负数．【解】(1)若一个数为6，则它是12和18的公约数．真命题．(2)若a＞－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根．假命题．(3)若一个数是负数，则它的立方仍是负数．真命题.课堂小结•1．根据命题的意义，可以判断真假的陈述句是命题，命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可．•2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式．含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式，大前提应保持不变.1．下列语句为命题的是()A．对角线相等的四边形B．同位角相等C．x≥2D．x2－2x－30解析A不是陈述句，C、D无法判断真假．B2．下列命题中是假命题的是()A．5是15的约数B．对任意实数x，有x2＜0C．对顶角相等D．0不是奇数【解析】对任意实数x，有x2≥0，所以B为假命题．A，C，D均为真命题．【答案】B3．把命题“垂直于同一平面的两条直线互相平行”改写成“若p，则q”的形式为________．【答案】若两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行4．判断下列语句是否为命题，若是命题，判断其真假．(1)x2＋2x－3＜0；(2)二次函数的图象太完美了！(3)4是集合{1,2,3}的元素．【解】(1)不是命题，因为在x未赋值之前，不能判断其真假；(2)感叹句，不是命题；(3)是命题，且是假命题．由于4∉{1,2,3}，所以为假命题.