高阶差分方程

2020/3/5经济管理学院财务与投资系刘亚娟1第6章高阶差分方程2020/3/5经济管理学院财务与投资系刘亚娟2•在离散时间分析中可能出现这种情况：t期的经济变量，比如yt，不仅取决于yt-1，而且取决于yt-2。这样便引出了二阶差分方程。•严格地讲，二阶差分方程是一个包含表达式Δ2yt，但不含高于二阶差分的方程。Δ2yt读作yt的二阶差分。而符号Δ2是符号d2y／dt2在离散时间情况下的对应物，表示“取二阶差分”如下：•Δ2yt=Δ(Δyt)=Δ(yt+1-yt)•=(yt+2-yt+1)-(yt+1-yt)•=yt+2-2yt+1+yt2020/3/5经济管理学院财务与投资系刘亚娟3•因此，yt的二阶差分可以转换为包含两期时滞的项的和。因为像Δ2yt和Δyt这样的表达式写起来很麻烦，所以我们将二阶差分方程重新定义为包含变量的两期时滞的方程。类似地，三阶差分方程为包含三期时滞的方程；等等。•我们首先集中讨论二阶差分方程的解法，然后再在后面的章节中将其推广至高阶差分方程。为控制讨论的范围，在本章，我们仅讨论常系数线性差分方程。但对常数项和可变项两种形式，均作考察。2020/3/5经济管理学院财务与投资系刘亚娟4具有常系数和常数项的二阶线性差分方程•一类简单的二阶差分方程的形式为：•yt+2+a1yt+1+a2y=c•此方程为线性、非齐次，且具有常系数（a1，a2）和常数项c的差分方程。•二阶差分方程的通解是由余函数和特别积分构成：yt＝yc+yp。2020/3/5经济管理学院财务与投资系刘亚娟5•特别积分是1,12121aaaaycp2,1,21211aaaaytcp2,1,21212aaatycp2020/3/5经济管理学院财务与投资系刘亚娟6•为求出余函数，我们必须集讨论简化方程•yt+2+a1yt+1+a2y＝0•解一阶差分方程的经验告诉我们，Abt式在这种方程的通解中起非常重要的作用。因此，我们先试探形式为yt＝Abt的解，它自然意味着yt+1＝Abt+1，等等。我们的任务便是确定A和b的值。•将试探解代入简化方程，方程变成•Abt+2+a1Abt+1+a2Abt＝0•或在消去（非零）共同因子Abt后，有b2+a1b+a2＝02020/3/5经济管理学院财务与投资系刘亚娟7•此二阶差分方程的特征方程与二阶微分方程的特征方程具有可比性。它具有两个特征根：•对解Abt中的b而言，上述每个根都是可接受的。事实上，b1和b2均应在齐次差分方程的通解中出现，恰如在微分方程中的情况一样，此通解必然包括两个线性无关的部分，每一部分都有自己的任意乘积常数。•与微分方程特征根的三种情况一样，差分方程的特征根也有三种情况：两个不相等的实数根、两个相等的实数根和一对共轭复数根。24,221121aaabb2020/3/5经济管理学院财务与投资系刘亚娟8•第一种情况（不同的实根）：当a12＞4a2时，b1和b2为不同的实根。在这种情况下，b1t和b2t线性无关，余函数可以简单地写成b1t和b2t的线性组合，即yc=A1b1t+A2b2t。2020/3/5经济管理学院财务与投资系刘亚娟9•第二种情况（重实根）：当a12＝4a2时，特征根为重根：b（＝b1＝b2）＝-a1／2。现在若将余函数表示为如不同实根时的形式，则两部分将合并为一项：A1b1t+A2b2t＝（A1+A2）bt≡A3bt。•此式无效，因为现在缺一个常数。•为了补上缺失的部分（我们回顾一下，这部分应与A3bt项线性无关），还需要以变量t乘bt这个老方法。这样这个新的项可取A4tbt形式。它与A3bt项线性无关是很明显的，因为我们永远不能给A3bt项加上一个常系数而得到A4tbt。•A4tbt像A3bt一样，确实可以作为简化方程的解这一事实，可以很容易得到验证：只需将yt=A4tbt[和yt+1=A4（t+1）bt+1等]代入简化方程，便可以看到该方程是一个恒等式。因此，重实根情况下的余函数为：yc=A3bt+A4tbt2020/3/5经济管理学院财务与投资系刘亚娟10•例：求下列方程的通解•（1）；•（2）；•（3）14161012yyyttt125612yyyttt8212yyyttt2020/3/5经济管理学院财务与投资系刘亚娟11•解：（1）该方程的特别积分为：•该方程的特征方程为：b2-10b+16=0，所以特征根为：•所以，•因此，方程的通解为若给定y0=10和y1=36，可求出该方程的特解：21610114yp8,22610216410010,21bb)8()2(21ttcAAy2020/3/5经济管理学院财务与投资系刘亚娟12•令t=0和t=1则：按照初始条件，•令y0=10和y1=36，则•A1+A2+2=10•2A1+8A2+2=36•联立方程求解A1＝5和A2=3，最后把它代入通解中可得特解：222102010)8()2(AAAAy2282)8()2(2112111AAAAy235)8()2(ttty2020/3/5经济管理学院财务与投资系刘亚娟13•（2）该方程的特别积分为：•该方程的特征方程为：b2-6b+5=0，所以特征根为：•所以，•因此，方程的通解为ttyp362125,1246254366,21bb)5()5()1(2121tttcAAAAyttcAAy3)5(212020/3/5经济管理学院财务与投资系刘亚娟14•(3)该方程的特别积分为：•该方程的特征方程为：b2-2b+1=0，所以特征根为：•所以，•因此，方程的通解为ttyp224281222144221bbttAAAAyttc2121)1()1(tAAytc22142020/3/5经济管理学院财务与投资系刘亚娟15•第三种情况（复数根）：当a12＜4a2时，b1和b2为一对共轭复数根。具体地，根的形式为h±vi，其中•因此，余函数变成：yc=A1b1t+A2b2t=A1(h+vi)t+A2(h-vi)t•上式表明，解释yc并不容易。但幸运的是，由于棣莫弗定理，此余函数很容易化为三角函数，而三角函数我们已知如何解释。具体如下。24,22121aaavh2020/3/5经济管理学院财务与投资系刘亚娟16•若令v=Rsinθ，h=Rcosθ，则共轭复数可以变换如下：h±vi＝Rcosθ±Risinθ＝R（cosθ±isinθ）。•进而，由欧拉关系（即eiθ=cosθ+isinθ，e-iθ=cosθ-isinθ）可再写成h±vi＝Re±iθ•则相应地（h+vi）n＝(Reiθ)n=Rneinθ类似地，（h-vi）n＝(Re-iθ)n=Re-inθ•所以(h±vi)n＝[R(cosnθ±isinnθ)]n＝Rn(cosnθ±isinnθ)•此即为棣莫弗定理。•根据棣莫弗定理，可以写出(h±vi)t＝[R(cosnθ±isinnθ)]t＝Rt(costθ±isintθ)2020/3/5经济管理学院财务与投资系刘亚娟17•其中，θ为（0，2π）内的角，以弧度度量。它满足条件aaaavhR2212212244aaaaRvandRh2212141sin2cos2020/3/5经济管理学院财务与投资系刘亚娟18•因此，余函数可以变换如下：•yc=A1Rt(cosθt+isinθt)+A2Rt(cosθt-isinθt)＝Rt[(A1+A2)cosθt+（A1-A2）isinθt)]＝Rt（A5cosθt+A6sinθt)•该余函数表达式与其在微分方程中的对应物有两点重要区别。–首先，表达式cosθt和sinθt巳取代了原来使用的cosvt和sinvt。–其次，乘积因子Rt(以R为底的指数)已取代了自然指数式eht。•总之，我们已由复根的笛卡尔坐标系(h和v)转换到极坐标系(R和θ)。一旦h和v已知，则R和θ的值可由此确定，或可由参数a1和a2直接确定。2020/3/5经济管理学院财务与投资系刘亚娟19•例：求yt+2+1/4yt=5的通解。•这里，系数a1＝0和a2＝1/4，这是一个a12＜4a2的复根的例子。•根的实数和虚数部分分别为h＝0，v＝1/2。并可得•因为θ值可满足两个方程•则θ＝π/2210)21(2R1sin0cosRvandRh2020/3/5经济管理学院财务与投资系刘亚娟20•因而，余函数为•为求yp，我们在完备方程中尝试常数解yp＝k。这产生k＝4，因此yp＝4，且通解可以写成：)2sin2cos(65)21(ttAAytc4)2sin2cos(65)21(ttAAytt2020/3/5经济管理学院财务与投资系刘亚娟21时间路径的收敛性•同在一阶差分方程中的情况一样。时间路径yt的收敛性仅取决于当t→∞时，yc是否趋近于零。因此，我们在关于t的7个区域分布图中所了解的关于bt式的各种图形仍可应用，尽管在这里我们必须考察两个特征根，而非一个特征根。2020/3/5经济管理学院财务与投资系刘亚娟22时间路径的收敛性•首先考察不同实根的情况：b1≠b2。•若│b1│＞1，│b2│＞1，则余函数中的两项A1b1t和A2b2t将是放大的，因此yc必然是发散的。•相反，若│b1│＜1，│b2│＜1，当t无限增大时，yc中的两项将收敛于零，yc也将收敛丁零。•但若│b1│＞1而│b2│＜1，会如何呢？在这种中间情况下，很明显，A2b2t项将会“消失”，而另一项会越来越偏离零值。由此可知，A1b1t最终必将控制局势，并使路径发散。2020/3/5经济管理学院财务与投资系刘亚娟23•我们将绝对值较大的那个根称作强根。由此看来，实际决定时间路径的特征，至少是关于其敛散性这一特征的是强根。•因此，我们可以这样表述；无论初始条件如何，当且仅当强根的绝对值小于1时，时间路径将是收敛的。•但要注意，尽管收敛性最终仅取决于强根，但非强根也会对时间路径施加一定的影响，至少在起始阶段是如此。因此yt的确切图形仍取决于两个根。2020/3/5经济管理学院财务与投资系刘亚娟24•其次考察重根的情况，此时余函数包含项A3bt和A4tbt。前者我们早巳熟悉，但对后者(它包含一个乘积因子)仍需做一点解释。•如果│b│＞1，bt项将放大，而乘积项t随着t的增加，会进一步增强放大性。•另一方面，如果│b│＜1，则bt部分(当t增加时m它趋于零)和t部分变化方向相反，即t值将会抵销而非强化bt。那么，哪种力量更强一些呢?•答案是，bt的衰减力量总是会超过t的放大力量。因此，在重根情况下对收敛性的基本要求仍是根的绝对值小于1。2020/3/5经济管理学院财务与投资系刘亚娟25•例：的解为：•其特征根分别为2和8，瞬时均衡值为2。因为强根的绝对值大于1，所以时间路径发散。•的解为：•其特征根为1和5，还存在一个移动均衡3t。因为强根的绝对值大于1，所以时间路径也发散。21610114yp235)8()2(tttyttyp36212ttcAAy3)5(212020/3/5经济管理学院财务与投资系刘亚娟26•现在我们考察复数根的情况。•由余函数的一般形式yc＝Rt（A5cosθt+A6sinθt)可知，括号中的表达式，像连续时间状态中的表达式一样，将产生一种周期性波动形式；但因在这里，变量t仅取整数值0，1，2，…，我们仅能捕捉并利用三角函数图形中点的子集。在每个这样的点上，直到达到下一个相关的点以前，y值在一个完整的时期内都是有效的。2020/3/5经济管理学院财务与投资系刘亚娟272020/3/5经济管理学院财务与投资系刘亚娟28•如图17.1所描述的那样，所产生的路径既不是通常的振荡形式(在紧邻的时期中，不在yp值的上下交替)，也不是通常的波动形式(非平滑)，而是表现出一种阶梯波动。•就收敛性而言，尽管决定性的因素实际上是R