高中数学选修1-1《导数及其应用》知识点讲义

第三章导数及其应用一、变化率与导数00000000000000010,0limlimlim.xxxxxyfxxxxxyyxxxxxyxxfxxfxyxxyxxfxyfxxfxfxx＇＇＇、定义：设在处取得一个增量.函数值也得到一个增量称为从到的平均变化率.若当时时，有极限存在，则称此极限值为函数在处的瞬时变化率，记为，也称为函数在处的导数，记作或,即0yfxxx说明：导数即为函数在处的瞬时变化率.00.PTxfxPPTfxk＇2、几何意义:时，Q沿图像无限趋近于点时，切线的斜率.即003==limlim.xxfxxfxyyfxyfxyxx＇＇＇＇、导函数（简称为导数）称为导函数，记作，即二、常见函数的导数公式1若()fxc(c为常数)，则()0fx；2若()fxx,则1()fxx;3若()sinfxx,则()cosfxx4若()cosfxx,则()sinfxx;5若()xfxa,则()lnxfxaa6若()xfxe,则()xfxe7若()logxafx,则1()lnfxxa8若()lnfxx,则1()fxx三、导数的运算法则1.[()()]()()fxgxfxgx2.[()()]()()()()fxgxfxgxfxgx3.2()()()()()[]()[()]fxfxgxfxgxgxgx四、复合函数求导()yfu和()ugx,称则y可以表示成为x的函数,即(())yfgx为一个复合函数，则五、导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:（1）在某个区间(,)ab内，如果()0fx，那么函数()yfx在这个区间单调递增；如果()0fx，那么函数()yfx在这个区间单调递减.33=0000,000,fxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxxffxfxx＇＇＇＇＇＇＇＇说明：①若在定义域区间上不是单调的，则常常用的点划分的单调区间.②若在某个区间恒有，则是常函数；若在某个区间内只有有限个点使，其余恒有则仍为增函数.例如：在R上有，其余恒有，仍为R上的增函数，其函数图像为：20.0.fxfxfxfx＇＇＇（）求单调区间的步骤：①求的定义域；②求导；③令，解集在定义域内的部分为增区间④令，解集在定义域内的部分为减区间“”“”“”“”.说明：当函数有多个递增区间或递减区间时，不能用、或相连，应该用，隔开或用和(())()yfgxgx3“00?fxfxfxfx＇＇（）一种常见的题型：已知函数的单调性求参数的取值范围，利用若单调递增，则；若单调递减，则来求解，注意等号不能省略，否则可能漏解！2.函数的极值与导数（1）极大、极小值得定义：00000=0.xfxfxfxfxfxx①若对附近的所有的点，都有且，则称是函数的一个极大值称是极大值点.00000=0.xfxfxfxfxfxx②若对附近的所有的点，都有且，则称是函数的一个极小值称是极小值点.说明：极大值与极小值统称为极值，极大值与极小值点统称为极值点，极值点是实数而不是点.（2）求函数的极值的步骤：00000000=0I0,0,;II0,0,;IIIfxfxxxfxxfxfxfxxfxfxfxxfxx＇＇＇＇＇＇＇①确定定义区间，求导；②求方程的解；③检查左右两边的符号：、如果在附近的左侧右侧那么是极大值、如果在附近的左侧右侧那么是极小值、如果在左右两侧导函数不改变符号，那么在处无极值.说明：在解答过程中通常用列表：3、函数的最值与导数求函数()yfx在[,]ab上的最大值与最小值的步骤①求函数()yfx在(,)ab内的极值；②将函数()yfx的各极值与端点处的函数值()fa，()fb比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.说明：“最值”是整体概念，“极值”是个局部概念.4、生活中的优化问题解决优化问题的基本思路：/////////11/“”102030xxnnnnfxfxefxefxfxxfxfxxfxxfxfxxfxnfxxfxxfxnxfxxxfxnfxx扩展：常见的导函数构造函数型：1、关系式为加型构造构造构造注意对的符号进行讨论///22///2//1//21“”102030xxxxxnnnnnfxfxefxefxfxfxfxeeefxxfxfxxfxfxxxfxxfxnxfxxfxnfxxfxnfxxxxx2、关系式为减型构造构造构造注意对的符号进行讨论